Álgebra – Lista 3 Radicais Introdução Definição – Raiz Principal: Seja n um número inteiro maior que 1, e seja a um número real. √n a=0. (1) Se a = 0, então (2) Se a > 0, então √n a é o número real positivo b tal que bn =a . (3) (a) Se a < 0 e n é ímpar, então (b) Se a < 0 e n é par, então √n a é o número negativo real b tal que bn =a . √n a não é um número real. √ a em vez de √2 a . Chamamos √ a de raiz quadrada principal de a, ou 3 simplesmente raiz quadrada de a. O número √ a é chamado raiz cúbica (principal) de ª Se n = 2, escrevemos Exemplos: √ 16=4 , pois 42 =16. √ 5 1 1 1 2 1 = , pois = 32 2 2 32. () √3 −8=−2, pois (−2)3=−8. √4 −16 não é um número real. Observe que positivas. √ 16≠±4, pois, por definição, raízes de números reais positivos são sempre A expressão √n a é um radical. O número a é o radicando e n é o índice do radical. 2 Se √ a=b , então b2=a . Portanto, ( √ a) =a . O mesmo raciocínio se aplica a raízes com outros índices. Regras de √n a (n é um inteiro positivo) Regra n Exemplos 2 3 (1) ( √n a ) =a se √n a é um número real ( √ 5) =5 ( √3 −8) =−8 (2) √n an=a se a≥0 √n an=a se a< 0 e n é ímpar √n an=|a| se a<0 e n é par √ 52=5 √3 (−2)3 =−2 √(−3)2=|−3|=3 √3 23=2 √5 (−2)5 =−2 √4 (−2)4=|−2|=2 (3) (4) Propriedades dos Radicais Propriedade n n n √ 50=√ 25⋅2=√ 25 √2=5 √2 3 5 √3 5 √3 5 =3 = 8 √8 2 √ ab=√ a √b n a √n a (2) =n b √b (1) √ (3) m n Exemplos √ √ √ a= √ a 6 √ √64= √ 64=√ 2 =2 mn 3 2⋅3 6 Cuidado! As propriedades (1) e (2) envolvem somente produtos e quocientes. Tome cuidado quando houver somas ou subtrações no radicando. Se a≠0 e b≠0 Exemplos (1) √ a2 +b2 ≠a+b √ 32+ 4 2=√ 25=5≠3+4=7 (2) √ a+b≠√ a+ √b √ 4+ 9= √13≠√ 4+ √9=5 Removendo potências de n Se c é um número real e ocorre c n dentro de um radical de índice n, então nós podemos remover c do radicando. Se c > 0, ou se c < 0 e n é ímpar, temos: √n c n d =√n c n √n d=c √n d Se c < 0 e n é par, temos: √n c n d =√n c n √n d=|c| √n d Exemplos: 5 5 5 5 √5 7= √ x 5⋅x 2=√ x5 √ x 2=x √ x 2 3 3 3 √3 7= √ x 6⋅x=√(x 2 )3 x= √( x2 )3 √3 x=x 2 √3 x √ x2 y=√ x 2 √ y=|x|√ y √ x6 =√(x 3)2=|x3| √4 x6 y 3= 4√ x 4⋅x 2 y 3=√4 x 4 √4 x 2 y 3=|x|√4 x 2 y 3 Observação: Para facilitar, a partir de agora vamos considerar que todas as letras que aparecerem no radicando são números reais positivos, a não ser quando for especificado o contrário. Definição: Simplificar um radical significa remover os fatores do radical até que nenhum fator no radicando tenha expoente maior ou igual ao índice da raiz. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Simplifique os radicais. Todas as letras representam números reais positivos. a) √3 320 b) √3 16 x 3 y 8 z 4 c) √ 3 a2 b3 √ 6 a5 b Resolução: √3 320=√3 64⋅5 Obter o maior cubo possível que é fator de 320 a) =√3 4 3 √3 5 1ª propriedade dos radicais =4 √3 5 2ª regra de √n b) √3 16 x 3 y 8 z 4=√3 (23 x 3 y 6 z 3)(2 y 2 z) Reorganizar o radicando para aparecerem cubos 3 =√(2 x y 2 z)3 (2 y 2 z ) Propriedades 2 e 3 dos expoentes 3 3 =√(2 x y 2 z)3 √(2 y 2 z ) Regra 1 dos radicais 2 3 2 n =2 x y z √(2 y z ) Propriedade 2 de √ c) √3 a 2 b 3 √ 6 a 5 b=√ 3 a2 b3⋅2⋅3 a5 b Regra 1 dos radicais 2 6 4 =√(3 a b )(2 a) Reorganizar o radicando em quadrados =√(3 a 3 b 2)2 (2 a) Propriedades 2 e 3 dos expoentes =√(3 a 3 b 2)2 √ (2 a) Regra 1 dos radicais =3 a3 b2 √ (2 a) Propriedade 2 de √n Exercícios Simplifique as expressões. 1) √ 81 2) √3 −216 3) √5 −64 4) √4 512 5) √ 27 3 5 4 6) −√ 81 a b 7) √4 32a 9 b2 7 4 8) −√ 27 x y 9) 10) √ 5 a4 b6 √ 12 a10 b 2 √3 256 x7 y 8 z5