Álgebra – Lista 3
Radicais
Introdução
Definição – Raiz Principal:
Seja n um número inteiro maior que 1, e seja a um número real.
√n a=0.
(1) Se a = 0, então
(2) Se a > 0, então
√n a é o número real positivo b tal que bn =a .
(3) (a) Se a < 0 e n é ímpar, então
(b) Se a < 0 e n é par, então
√n a é o número negativo real b tal que bn =a .
√n a não é um número real.
√ a em vez de √2 a . Chamamos √ a de raiz quadrada principal de a, ou
3
simplesmente raiz quadrada de a. O número √ a é chamado raiz cúbica (principal) de ª
Se n = 2, escrevemos
Exemplos:
√ 16=4 , pois 42 =16.
√
5
1 1
1 2 1
= , pois
=
32 2
2
32.
()
√3 −8=−2, pois (−2)3=−8.
√4 −16 não é um número real.
Observe que
positivas.
√ 16≠±4, pois, por definição, raízes de números reais positivos são sempre
A expressão
√n a é um radical. O número a é o radicando e n é o índice do radical.
2
Se √ a=b , então b2=a . Portanto, ( √ a) =a . O mesmo raciocínio se aplica a raízes com
outros índices.
Regras de √n a (n é um inteiro positivo)
Regra
n
Exemplos
2
3
(1)
( √n a ) =a se √n a é um número real
( √ 5) =5
( √3 −8) =−8
(2)
√n an=a se a≥0
√n an=a se a< 0 e n é ímpar
√n an=|a| se a<0 e n é par
√ 52=5
√3 (−2)3 =−2
√(−3)2=|−3|=3
√3 23=2
√5 (−2)5 =−2
√4 (−2)4=|−2|=2
(3)
(4)
Propriedades dos Radicais
Propriedade
n
n
n
√ 50=√ 25⋅2=√ 25 √2=5 √2
3 5
√3 5 √3 5
=3 =
8 √8 2
√ ab=√ a √b
n a
√n a
(2)
=n
b √b
(1)
√
(3)
m n
Exemplos
√
√ √ a= √ a
6
√ √64= √ 64=√ 2 =2
mn
3
2⋅3
6
Cuidado!
As propriedades (1) e (2) envolvem somente produtos e quocientes. Tome cuidado quando houver
somas ou subtrações no radicando.
Se a≠0 e b≠0
Exemplos
(1)
√ a2 +b2 ≠a+b
√ 32+ 4 2=√ 25=5≠3+4=7
(2)
√ a+b≠√ a+ √b
√ 4+ 9= √13≠√ 4+ √9=5
Removendo potências de n
Se c é um número real e ocorre c n dentro de um radical de índice n, então nós podemos remover c
do radicando.
Se c > 0, ou se c < 0 e n é ímpar, temos:
√n c n d =√n c n √n d=c √n d
Se c < 0 e n é par, temos:
√n c n d =√n c n √n d=|c| √n d
Exemplos:
5
5
5
5
√5 7= √ x 5⋅x 2=√ x5 √ x 2=x √ x 2
3
3
3
√3 7= √ x 6⋅x=√(x 2 )3 x= √( x2 )3 √3 x=x 2 √3 x
√ x2 y=√ x 2 √ y=|x|√ y
√ x6 =√(x 3)2=|x3|
√4 x6 y 3= 4√ x 4⋅x 2 y 3=√4 x 4 √4 x 2 y 3=|x|√4 x 2 y 3
Observação:
Para facilitar, a partir de agora vamos considerar que todas as letras que aparecerem no radicando
são números reais positivos, a não ser quando for especificado o contrário.
Definição:
Simplificar um radical significa remover os fatores do radical até que nenhum fator no radicando
tenha expoente maior ou igual ao índice da raiz.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Simplifique os radicais. Todas as letras representam números reais positivos.
a)
√3 320
b)
√3 16 x 3 y 8 z 4
c)
√ 3 a2 b3 √ 6 a5 b
Resolução:
√3 320=√3 64⋅5 Obter o maior cubo possível que é fator de 320
a) =√3 4 3 √3 5 1ª propriedade dos radicais
=4 √3 5 2ª regra de √n
b)
√3 16 x 3 y 8 z 4=√3 (23 x 3 y 6 z 3)(2 y 2 z) Reorganizar o radicando para aparecerem cubos
3
=√(2 x y 2 z)3 (2 y 2 z ) Propriedades 2 e 3 dos expoentes
3
3
=√(2 x y 2 z)3 √(2 y 2 z ) Regra 1 dos radicais
2 3
2
n
=2 x y z √(2 y z ) Propriedade 2 de √
c)
√3 a 2 b 3 √ 6 a 5 b=√ 3 a2 b3⋅2⋅3 a5 b Regra 1 dos radicais
2 6 4
=√(3 a b )(2 a) Reorganizar o radicando em quadrados
=√(3 a 3 b 2)2 (2 a) Propriedades 2 e 3 dos expoentes
=√(3 a 3 b 2)2 √ (2 a) Regra 1 dos radicais
=3 a3 b2 √ (2 a)
Propriedade 2 de
√n
Exercícios
Simplifique as expressões.
1)
√ 81
2)
√3 −216
3)
√5 −64
4)
√4 512
5)
√ 27
3
5 4
6) −√ 81 a b
7)
√4 32a 9 b2
7 4
8) −√ 27 x y
9)
10)
√ 5 a4 b6 √ 12 a10 b 2
√3 256 x7 y 8 z5