SÍNTESE
1. RADICAIS
EDF
M AT A:1
RADICAL DE UM NÚMERO
Os radicais são números de forma:
p
n
x e lê-se radical de índice n de x
Raiz quadrada de um número x é um número não negativo y que, elevado a dois, é igual a x:
Se
p
x=y
com x; y 2 R+
0
então x = y 2 ;
Raiz cúbica de um número x é um número y que, elevado a três, é igual a x:
p
3
Se
então x = y 3 ;
x=y
com x; y 2 R
Nota que no conjunto dos números reais não podemos falar de raiz quadrada de um número
negativo, mas podemos falar de raiz cúbica de qualquer número, em particular de um número
negativo.
Exemplo:
p
3
p
8=2
64 =
porque 23 = 8
4
( 4)3 = 8
porque
De um modo geral,
Raiz de índice n (com n 2 Nn f1g)de um número real x é um número real y que, elevado
a n, é igual a x
p
n
Se n é par
então
x = y ) y n = x; 8x; y 2 R+
0
p
n
n
Se n é ímpar
então
x = y , y = x; 8x; y 2 R+
0
Nota que:
p
( 5)2 = 25 no entanto
25 6=
5
EQUAÇÕES DO TIPO xn = k ; n 2 Nn f1g e k 2 R
Se n é par e k > 0
p
k _ x= nk
p
Exemplo: x4 = 8 , x = 4 8 _ x =
xn = k , x =
p
n
p
4
8
Se n é par e k < 0
xn = k , x 2 fg
Exemplo:
x6
, x6 =
(equação impossível)
+1=0,
1
, x 2 fg
1
Se n é ímpar e k 2 R
xn = k , x =
x3
Exemplo:
p
n
k
=4,x=
p
3
x5 = 10 , x =
p
, x = 5 10
4
p
3
10
Se n 2 Nn f1g e k = 0
xn = 0 , x = 0
RADICAL COMO POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
OPERAÇÕES COM RADICAIS
Radicais e potências
Seja n 2 Nn f1g e x 2 R: Da de…nição de radical de um número resulta que:
p
p n
se x 0, então ( n a) = n an = a
p
p n
se x < 0 e n é um número ímpar, então ( n a) = n an = a
p n
se x < 0 e n é um número par, então ( n a) = jaj
Nota que:
q
4
p
4
( 3)4
3
4
=3
não está de…nido uma vez que
p
4
3:
Radical como potência de expoente racional
Seja n 2 Nn f1g e x 2 R:
p
n
1
x = xn
p n
(1) ( n x) = x, por de…nição de radical de um número
(2)
1
n
n
= x n = x1 = x
xn
De (1) e (2) vem
p
n
1
x = x n , para n 2 Nn f1g e x a validar a expressão.
Se n é um número par e x < 0;
Exemplo:
p
p
n
1
x não está de…nido, ou seja x n não é um número real.
1
5 = 52
p
4
3 4
7 = 73
1
p
34 = 4 3
p
3
5
4 5 = 43
2
Operações com radicais
Seja n 2 Nn f1g e
p
n
xe
p
n
y números reais.
Multiplicação
p
p
p
n
x n y = n xy
Divisão
p
r
n
x
x
n
=
; y 6= 0
p
n y
y
Potenciação
p
p m
( n x) = n xm ; com m 2 Z
Radiciação
p
p
p
n m
x = n m x; com m 2 Nn f1g
Radicais
p equivalentes
p
n
x = n m xm
Adição de radicais
p
p
p
a n x + b n x = (a + b) n x
Exemplo:
p
p
p
3
4 3 5 = 3 20
Exemplo:
p
40
p
5=
r
40 p
= 8
5
Exemplo:
p
p
4
3
3
2 = 24
Exemplo: r
p
p
40 p
40
5=
= 8
5
Exemplos:
p
p
p
3 2 2
3
7
=
7 = 6 49p
p
p
4 3
4 5
20 15
2 =p 23 5p
=
2
p
p
6
6 2 2 2
6
9 = 32 =
3
= 33
Exemplos:
p
p
p
p
3p 2 + 5 2 = (3 + 2) 2 = 8 2
3
p
1
1p
4 p
3
3
4=
1 34=
4
2
2
2
3
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
A racionalização do denominador consiste em transformar uma fracção cujo denomindador é um
número irracional, noutra fraccção equivalente mas sem denominador irracional.
a
Fraccções do tipo p ; com a 2 R; b 2 Rn f0g e x 2 R+
b x
p
Multiplicação do numerador e denominador por x
p
p
a
a x
a x
p p =
=
p
bx
b x ( x) b ( x)2
Exemplo:
p
p
p
p
p
p
3 5
3 5
6
3 30
3 30
30
p p =
=
=
p 2 =
2
6
12
4
2 6 ( 6)
2 6
p
c
p ; com a; b; c 2 R; x 2 R+
0 e a + b x 6= 0
a+b x
Multiplicação do numerador e do denominador pela expressão conjugada do denominador
p
(a b x)
p
p
c (a b x)
ac bc x
c
p
=
= 2
p
a
b2 x
a + b x (a bpx) a2 (b x)2
Fracções do tipo
Relembra o caso notável da multiplicação de polinómios:
(a
b) (a + b) = a2
b2
Exemplo:
p
p
3
1+4 2
3
3 + 12 2
p
=
=
1 16 2
31
1 4 2 (1+4p2)
p
p
p
p
p
2
5 2 2
10 2
2
p
p p p =
=
3
5 4 2
5 + 2 2 ( 5 2 2)
2
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
(passagem de um factor para fora de um radical)
p
n
p
n
xp = xq
xr , em que p = q
n+r
Lembra o algoritmo da divisão:
p
r
Exemplo:
p
3
n
q
logo p = q
p
3
714 = 74 72
n+r
uma vez que 14 = 4
3+2
4
14
2
3
4
=
4
p
3
10
1o método prático (exempli…cado)
No casopda raiz quadrada,
factorizar
e em que
p o radicando
p
p um dospfactores é um quadrado perfeito.
p
4 45 = 4 9 5 = 4
9
5= 4 3
5 = 12 5
No caso
opradicando eem
que um
p da raizpcúbica, factorizar
p
p
p dos factores é um cubo perfeito.
3
3
2 3 24 = 2 3 8 3 = 2
8 33=2 2
3=433
2o método prático (exempli…cado)
Decompor o radicando e agrupar em facotres de potência de expoente igual ao índice da raiz
p
3
24 =?
24
12
6
3
1
p
3
p
2
2
2
3
2
p
24 = 2 3 3
360 =?
360
180
90
45
15
5
1
p
360 = 2
3
p
2
2
2
3
3
5
2
3
p
5=6 5
5