COLÉGIO PEDRO II – Campus Niterói
Disciplina: Matemática
Professora: Graziele Souza Mózer
Série: 1ª
Turma: ______
Aluno (a): ________________________________________________________
__________________________________
____________
Nº: _____
RADICAIS – 1º Trimestre (Reforço)
INTRODUÇÃO
devemos pensar qual é o número positivo que
elevado a n é igual a a.
9 = 3 porque 32 = 9
Por isso,, ao calcularmos
9 , devemos
investigar, qual o número positivo que elevado a 2 dá
16 = 4 porque 42 = 16
9. Resposta: 3.
3
-125 = - 5 porque (- 5)3 = - 125
4
81 = 3 porque 34 = 81
2º caso: o radicando é negativo e o índice é um
5
32 = 2 porque 25 = 32
inteiro ímpar,, maior que 1.
Ex.:
De modo geral:
n
Na expressão
n
a = b porque bn = a
a)
3
-125 = - 5
c)
7
-128 = - 2
b) 5 -32 = - 2
3º caso: o radicando é negativo e o índice é um
a = b temos:
inteiro par, maior que 1.
Ex.:
n – índice
- 4 ∉ ℝ (Pois nenhum número real elevado a 2 é
a – radicando
igual a – 4.)
– radical
b – raiz n-ésima de a
4
- 81 ∉ℝ (Pois nenhum número real elevado a 4 é
RAIZ DE UM NÚMERO REAL
igual a – 81.)
1º caso: o radicando é maior que ou igual a zero e o
Observação: Daqui em diante sempre que falarmos
índice é um inteiro maior que 1.
do índice do radical, fica subentendido que este é um
Ex.:
número natural maior que 1.
9=3
a)
c)
3
125 = 5
b) 4 81 = 3
d)
5
32 = 2
ESCREVENDO UM RADICAL COMO POTÊNCIA
Obs.: Ao calcularmos, por exemplo, a raiz quadrada
m
p
de 9, um aluno poderia dizer que a resposta é ±3, já
2
que (- 3) também é igual a 9. Mas o resultado de
Ex.:
uma operação matemática deve ser único. Desta
forma, quando calcularmos
n
a , com n é par,
am = a p
3
a)
5
23 = 2 5
1
b)
8
a = a8
1
c)
5 = 52
1
4ª propriedade: Radical de um produto ou radical de
PROPRIEDADES
um quociente.
1ª propriedade: Quando o expoente do radicando é
igual ao índice.
n
a.b =
n
a.n b , onde a e b são maiores que ou
iguais a zero
n
n
a = a, com a positivo.
n
Ex.:
a)
3
53 = 5
b)
4
74 = 7
c)
a
=
b
n
n
a
, onde a e b são maiores que ou iguais a
b
zero e b é diferente de zero
62 = 6
Ex.:
Observação: Quando a é um número real qualquer e
a)
3
5.7 =
3
5.3 7
4
=
9
b)
n é par:
n
4
9
ATENÇÃO!
an = | a |.
a+b ≠
a +
b
a-b ≠
a -
b
Veja:
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
52 = | 5 | = 5
(- 5)2 = | - 5 | = 5 (Pois,
(- 5)2 = 25 = 5)
1º caso: O índice do radical e o expoente do
radicando possuem fator comum. ( Basta usar a 2ª
2ª propriedade: Quando multiplicamos ou dividimos
propriedade)
o índice do radical e o expoente do radicando por um
Ex.:
mesmo número natural maior que zero.
a)
8
a6 =
b)
15
210.x 5 =
p
p
am =
p:n
m
a =
p.n
a
m.n
am : n , onde n é divisor comum de m e p
a6 : 2 =
15 : 5
4
a3
210 : 5.x 5 : 5 =
3
22.x
2º caso: Quando um ou mais fatores do radicando
tem
expoentes
iguais
ou
múltiplos
do
índice.
(Externação de um fator do radicando.)
Ex.:
a)
5
a3 =
b)
10
b15 =
5.2
Ex.:
a 3.2 = 10 a6
10 : 5
b15 : 5 =
b3
3ª propriedade: Raiz de um radical.
n p
a =
n.p
a
a)
3
8x = 3 23.x = 2 3 x
b)
4
7x12 = x 3 4 7
c)
720ab 2 = 24.32.5.ab 2 = 22.3.b. 5.a = 12b 5a
ATENÇÃO!
a2 + b2 ≠ a + b
Ex.:
a)
8:2
3 2
e
a2 - b2 ≠ a - b
64 = 3.2 64 = 6 64
3º caso: Quando um ou mais fatores do radicando
b)
4 3
7 = 2.4.3 7 = 24 7
tem expoentes maiores que o índice.
2
Ex.:
3
50 = 25.2 = 25 . 2 = 5 2
16x 5 = 3 24.x 5 = 3 23.2.x 3 .x 2 = 2x 3 2x 2
8 = 4.2 = 4 . 2 = 2 2
INTRODUÇÃO DE UM FATOR NO RADICANDO
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE RADICAIS
Ex.:
Somamos (ou subtraímos os coeficientes) e
3
3
3
3
repetimos o radical.
a) 2 x = 2 .x = 8x
b) a 2b 3 3 c 2 = 3 a 6b9 c 2
Ex.:
REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Ex.:
Reduza ao mesmo índice os radicais:
3
25 e
4
32 .
a) 5 3 2 + 3 3 2 -
3
2 = 7 3 2 (Pois 5+3-1=7)
50 - 3 8 + 4 2 = 5 2 - 3.2 2 + 4 2 =
b)
=5 2-6 2 +4 2 =3 2
Solução:
Determinamos o MMC dos índices: MMC(3, 4) = 12
Daí:
3.4
5+3 2 -33 2+4 5=
c)
25.4 =
12
220
12
Resposta:
4.3
220 e
12
3 2.3 = 12 36
36
RADICAIS SEMELHANTES
= ( 5 +4 5 ) + ( 3 2 - 3 3 2 ) = 5 5 -2 3 2
ATENÇÃO!
2+ 3≠
a)
5
b) 2 + 3 ≠ 2 3
Dois ou mais radicais são semelhantes quando
possuem mesmo índice e mesmo radicando.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS
Ex.:
Aplicamos a 4ª propriedade. Se os índices
a) 5 2 , − 2 e
3
b)
5 e
3
2
são semelhantes.
3
2 não são semelhantes pois não possuem
radicandos iguais.
forem diferentes, reduzimos ao mesmo índice antes
de aplicar a propriedade.
Ex.:
3. 2 =
a)
3.2 =
6
b) 5 3 2 . 7 3 5 . (-2) = 5.7.(-2)
c)
3
2 e
5
2 não são semelhantes pois não
possuem índices iguais.
c)
3
5.
3 =
30 : 2 =
d)
6
52 .
6
33 =
30 : 2 =
6
3
2.5 = - 70
5 2 .3 3 =
6
3
10
675
15
Observação:
Em alguns casos os radicais possuem índices ou
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
radicandos diferentes, mas com as transformações
( a)
podemos obter radicais semelhantes.
n
Ex.:
50 e
8 podem ser transformados em radicais
semelhantes. Veja:
p
= n ap
Ex.:
( 5) =
3
a)
53 = 52.5 = 5 5
3
b)
(
3
)=
4
ab 2
3
( a.b )
2 4
= 3 a 2b 8
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
1º. caso: O denominador é um radical de índice 2.
Ex.:
5
5. 2
5 2
a)
=
=
2
2
2. 2
b)
3
5 7
=
3. 7
3 7 3 7
=
=
35
5 7. 7 5.7
=
b)
3
3
=
7
12
7
3
4
3.3 72
3
7.3 72
7
=
12. 3
7
4 7
=
3 3 72
3
3
3 . 3
73
=
12 3
7
3
3
7
7
=
3
12 3
= 4 7 33
3
5( 2 - 3)
= -5( 2 - 3)
-1
2
2.( 7 + 5 )
=
=
7 - 5 ( 7 - 5).( 7 + 5 )
b)
=
3 3 72
7
=
7
3
5
5.( 2 - 3)
5( 2 - 3)
=
=
=
2- 3
2 + 3 ( 2 + 3).( 2 - 3)
a)
2º. caso: O denominador é um radical de índice
diferente de 2.
Ex.:
a)
3º caso: O denominador é uma adição ou subtração
de dois termos, em que pelo menos um deles é
radical.
Ex.:
14 + 10
14 + 10
=
7-5
2
1
1.( 11+ 3)
=
=
11- 3 ( 11- 3).( 11+ 3)
c)
11+ 3
( 11)
2
=
- 32
11+ 3
11+ 3
=
11- 9
2
=
EXERCÍCIOS
1) Determine o valor, se existir, em ℝ :
a)
c)
4
100 =
b)
3
-8 =
256 =
d)
5
-1 =
e) − 144 =
1,44 =
g)
i) ± 25 =
f)
b)
4
32 =
c) 3 543 =
d)
12
23.a6 =
3) Transforme num único radical e simplifique,
quando possível:
h) − 4 -1 =
a)
3. 5 =
b)
j) 3 16 =
c)
2. 5. 7 =
d)
30
=
24
f)
25 - 49 =
j)
5
e)
3
k)
8 + 81 =
l) − 100 − 1000 =
m)
169 − 144 =
n)
0,04 + 0,36 =
3
5
4
3
o)
-9 =
72 =
a)
-27 − 3 -1 =
12. 15
=
8
i)
7. 3 11 =
20
=
24
4
3
5
h)
6
j)
2=
13 =
4 . 3 10
=
6
120
4) Decomponha o radicando em fatores primos e,
a seguir, simplifique os radicais:
a)
2) Simplifique os radicais:
7=
g)
3
c)
8
256 =
b)
3
343 =
d)
10
625 =
14
128 =
4
5) Simplifique os radicais:
a)
c)
e)
9a6
=
16
b)
16x 3 =
d) 3 72 =
105 =
f)
4
3
15
3
5
1
d)
5
7 8
1
e)
3 -1
c)
24.5 =
90 =
6) Introduza no radicando os fatores de cada um
dos radicais:
3
a) 2 7 =
3
b) 4 5 =
35 2
c) x x =
d) 5 10 =
3a b
f) 2b a =
x 5 x3 =
e)
GABARITO
7) Reduza os radicais ao mesmo índice, a seguir,
coloque-os em ordem crescente:
a)
6
1) a) 10
e) - 12
i) ± 5
m) 1
b) - 2
f) ∉ℝ
j) – 2
n) 0,8
c) 4
g) 1,2
k) 5
o) – 2
d) - 1
h) ∉ℝ
l) – 20
2) a) 7
b)
c) 54
d)
3) a) 15
b) 3 77
3
8) Determine as somas algébricas:
e)
4
5
f)
8
j)
6
2
4
7 -5 7 +2 7 =
3
3
3
b) -12 5 - 8 5 + 5 =
c) 32 + 18 =
a)
i)
5) a)
32 - 2 12 - 75 + 3 72 =
6) a)
15 . 6 =
5
d)
d)
a
3a
2
3
56
250
5
5
2
c) 7
d)
b) 4 5
c) 4x x
e) 10 3 100
f) 3 10
b)
3
e)
10
320
x
8
7) a)
10) Calcule as potências e simplifique quando
possível:
( 3) =
c) ( 5 ) =
3
a)
2
30
13
c)
5
x
2
17
9a
f)
4b
12
17 < 4 7 < 6 11
x3 . x2 . x =
(
b) 2 2
(
)=
7
d) 2 7 a5b 2
)=
8) a) -2 7
3
b) -19 5
e) 4 x + 3 y
2<45<34
b)
c) 7 2
d) 0
f) 22 2 − 9 3
9) a) 3 10
5
b) 12 30
c)
10) a) 3 3
10
2
b) 2
c)
11) a) 3 2
b)
6
72
3
5
12
11
d) x x
3
11) Racionalize o denominador das frações
abaixo:
6
2
5
b)
8 3
h)
6
1
3
6
g) 4 7
2
5
c) 70 d)
5
b) 3 6 . 4 5 =
c) 3 3 . 2 =
4
b)
d) 18 2
9) Determine os produtos:
a)
2a
3
4) a) 2
e) 3 x - 2 y + x + 5 y =
f)
45
2
40 + 250 - 360 + 490 - 640 =
d)
4
11, 4 7 , 12 17
2, 3 4 , 4 5
b)
4 3
2+ 3
f)
5 3
24
27
6
d) 8a ab
c) 3 3 5 2 d) 12 - 4 6
a)
5