Matemática —aula prática
E .— Para cada número real 𝜃 designe-se por 𝐹𝜃 ∶ ℝ􏺾 → ℝ􏺾 a transformação
linear representada pela matriz
𝑅(𝜃) = 􏿰
cos 𝜃 − sin 𝜃
􏿳
sin 𝜃 cos 𝜃
a) Mostre que 𝐹𝜃 ∘ 𝐹𝜃′ = 𝐹𝜃+𝜃′ .
b) Mostre que 𝐹𝜃−􏺽 = 𝐹−𝜃
c) Interprete geometricamente os resultados anteriores.
d) Seja 𝑆𝜃 (𝑥, 𝑦) a rotação do vector de coordenadas (𝑥, 𝑦) em torno do ponto de coordenadas (􏺾, 􏺾) descreva 𝑆𝜃 em termos de 𝐹𝜃 como uma transformação a m.
E .— Considere a transformação linear 𝑇 ∶ ℝ􏺿 → ℝ􏺿 de nida por 𝑇(⃗𝑒􏺽 ) = ⃗𝑒􏺾 −⃗𝑒􏺿 ,
𝑇(⃗𝑒􏺾 ) = ⃗𝑒􏺿 , 𝑇(⃗𝑒􏺿 ) = −⃗𝑒􏺿 , onde (⃗𝑒􏺽 ,⃗𝑒􏺾 ,⃗𝑒􏺿 ) é a base canónica de ℝ􏺿 . Determine o núcleo de 𝑇
e a imagem de 𝑇. Determine ainda as respectivas dimensões.
E .— Considere os vectores (􏺽, 􏺾) e (􏺽, 􏺽).
a) Mostre que ((􏺽, 􏺾), (􏺽, 􏺽)) é uma base de ℝ􏺾 .
b) Mostre que 𝑇 ∶ ℝ􏺾 → ℝ􏺾 de nida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, −􏺾𝑥) é uma transformação
linear.
c) Determine a matriz que representa 𝑇 relativamente à base ((􏺽, 􏺾), (􏺽, 􏺽)).
d) Usando a representação matricial determine 𝑇(􏺾, 􏺼).
