Sexta lista de exercícios - MM4
Teorema Fundamental para as Integrais de Linha
Prof. Granero
1) A gura mostra uma
Z curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é
contínuo. Determine
c
∇f · d~r.
~ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
2) Determine se F
~ = ∇f .
f tal que F
~ (x, y) = (2x − 3y)î + (−3x + 4y − 8)ĵ
a) F
~ (x, y) = ex cos y î + ex sen y ĵ
b) F
~ (x, y) = ex sen y î + ex cos y ĵ
c) F
~ (x, y) = (yex + sen y)î + (ex + xcos y)ĵ
d) F
~ (x, y) = (ln y + 2xy 3 )î + (3x2 y 2 + x )ĵ
e) F
y
~ (x, y) =< 2xy, x2 > e três curvas que começam em
3) A gura mostra o campo vetorial F
(1, 2) e terminam em (3, 2).
Z
~ · d~r tem o mesmo valor para as três curvas.
a) Explique por que F
c
b) Qual é esse valor comum?
1
4) Para as funções vetoriais abaixo:
~ = ∇f .
i. Determine uma função f tal que F
Z
ii. Utilize o resultado acima para calcular
c
F~ · d~r sobre a curva C dada.
~ (x, y) = x2 î + y 2 ĵ , C é o arco de parábola y = 2x2 de (−1, 2) a (2, 8)
a) F
~ (x, y, z) = yz î + xz ĵ + (xy + 2z)k̂ , C é o segmento de reta de (1, 0, −2) a (4, 6, 3)
b) F
~ (x, y) = ey î + xey ĵ + (z + 1)ez k̂ , C : ~r = tî + t2 ĵ + t3 k̂ , 0 ≤ t ≤ 1
c) F
5) Mostre que
Z
2x sen y dx + (x2 cos y − 3y 2 ) dy , onde C é qualquer caminho de (−1, 0)
c
a (5, 1) é independente do caminho e calcule a integral.
√
~ (x, y) = 2y 3/2 î + 3x y ĵ ao mover
6) Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F
um objeto de P (1, 1) a Q(2, 4).
7) A partir do gráco de F você diria que o campo é conservativo? Explique.
~ = ∇f onde f (x, y) = sen(x − 2y). Determine curvas C1 e C2 que não sejam
8) Seja F
fechadas e satisfaçam a equação.
a)
Z
c1
b)
Z
c2
F~ · d~r = 0
F~ · d~r = 1
2
~ (x, y) =
9) Considere F
−y î+xĵ
x2 +y 2
.
∂P
∂Q
=
.
∂y
∂x
Z
~ · d~r não é independente do caminho.
b) Mostre que F
c Z
Z
~
F · d~r e F~ · d~r, onde C1 e C2 são as metades superior e inferior do
Sujestão: Calcule
a) Mostre que
c1
c2
círculo x2 + y 2 = 1 de (1, 0) a (−1, 0). Isso contrária algum teorema?
~ seja um campo vetorial com o inverso do quadrado, ou seja,
10) (a) Suponha que F
r
F~ (~r) = |~c~
r|3
para alguma constante c, onde ~r = xî + y ĵ + z k̂ . Determine o trabalho
~ ao mover um objeto de um ponto P1 por um caminho para o ponto P2 em
realizado por F
termos da distância d1 e d2 desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um capo vetorial com o inverso do quadrado é o campo gravitacional
G~
r
F~ = −mM
.
|~
r|
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Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo
gravitacional quando a Terra se move do afélio (em uma distânia máxima de 1, 52 × 108 km
do Sol) ao periélio (em uma distância mínima de 1, 47 × 108 km). Use: m = 5, 97 × 1024 kg,
M = 1, 99 × 1030 kg e G = 6, 67 × 10−11 N m2 /kg 2 .
~ = qQ~r . Suponha que um elétron com carga de
(c) Outro exemplo de campo é o F
3
|~r|
−1, 6 × 10 19 C esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é colocada à
−
distância de 10−12 m do elétron e se move para um posição que está a metade da distância
original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo
elétrico. Use = 8, 985 × 109 .
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