Lista 2 - Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações
Professora: Thais Clara da Costa Haveroth
Unidade Curricular: Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = BA. Calcule (A + B)2 e (A + B)(A − B).
Justifique todas as passagens.
1 2
2. Seja B uma matriz real de ordem 2 tal que AB = BA, onde A =
. Encontre a e b tal que
0 3
1 0
B = aA + bI, onde A =
.
0 1
1 1
3. Seja A =
. Calcule todas as matrizes X tais que AX = XA.
0 0


1 0 0
4. Seja A =  a 1 0 . A é inversı́vel? Em caso afirmativo calcule A−1 .
b c 1
1 0
5. Seja A =
. Calcule An .
0 −1
a b
6. Seja A =
. Calcule det(adj(A)).
c d


1 1 1
7. Seja A =  x y z . Mostre que det(A) = (x − y)(y − z)(z − x).
x2 y 2 z 2
12
√
√ √
12
12
12
√3 12
√3 12
√5 8. Por que podemos afirmar sem fazer calculos que A = 3
3
5 = 0
2
2 x2
y
z


cos θ − sin θ 0
cos θ 0  é uma matriz ortogonal.
9. Mostre que a matriz M =  sin θ
0
0
1
10. Mostre que se A2 é simétrica então B T AB também é simétrica (B quadrada de mesma ordem que A).
2 −1
11. Se A−1 =
. Calcule A.
3 5
12. Seja A uma matriz de ordem 3 e k um número. Mostre que tr(AAt ) = tr(At A). (lembrando que traço
(tr) é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz).
13. Seja A uma matriz de ordem 3 e k um número. Mostre que tr(kA) = tr(kA)
14. Seja A2 . Mostre que det(A−1 ) =
1
det(A) .
15. Dê exemplos de sistemas lineares equivalentes e não equivalentes?
16. Mostre que o Teorema Aadj(A) = det(A)I é verdadeiro para uma matriz de ordem 2.
Algumas Respostas:
1. A2 + 2AB + B 2 ; A2 − B 2
2. a = y/2; b = x − y/2
1
3. b
1
0
1
0

+d
1 0
0 1

1
0 0
−a
1 0 
4. A−1 = 
−b + ac −c 1
1 0
1
5. An =
se n é par;
0 1
0
0
−1
se n é impar.
6. da − bc
7.
8.
9.
10.
11. A =
5/13 1/13
−3/13 2/13
2