1.1 Calcule:
(a) Re(
1
)
2+i
(b) Im(
2+i
)
3 + 4i
(c) Im(
1
)
z2
(d)
1 + 4i
4+i
(f) 3ei
5i
1 2i
3 + 2i
(e) jcos + i sen j
1.2 Efetue as operações indicadas:
(a) (2 + i) + (4
2i)
(b) (1
2i) (3 + i)
(c) 4
(d)
1.3 Represente no plano os números complexos z; z + w; z
w e w, sendo z = 2i e w = 3ei
=3 :
1.4 Demonstre as seguintes propriedades:
(a) z + w = z + w
(b) z w = z w
(c) z=w = z=w
(d) z = z:
1.5 Determine o argumento principal dos seguintes números complexos:
p
2
p
(a) z = 3 (b) z = 2 2i (c) z = 1 i 3 (d) z = 4i (e) z =
1+i 3
1.6 Veri…que que os números z = 1
i satisfazem à equação z 2
p
(f) z = ( 3
i)6 :
2z + 2 = 0:
1.7 Seja P (z) um polinômio com coe…cientes reais. Se z é uma raiz de P (z), mostre que o conjugado
z também o é.
1.8 Mostre que um número complexo z é real se, e somente se, z = z:
1.9 Usando a forma polar, deduza que:
p p
p
(a) i(1 i 3)( 3 + i) = 2 + 2i 3 (b)
5i
= 1 + 2i
2+i
(c) ( 1 + i)7 =
8 (1 + i)
1.10 Se z 2 = (z)2 , mostre que o número complexo z ou é real ou é imaginário puro.
z1
jz1 j
: (sug. use jj j j jj j
j)
z2 + z3
jjz2 j jz3 jj
p
1.12 Prove que jRe (z)j + jIm (z)j
2 jzj : (sug. use a desigualdade elementar 2ab a2 + b2 )
1.11 Se jz2 j =
6 jz3 j, mostre que
1.13 Estabeleça a fórmula: 1 + z + z 2 + z 3 +
+ zn =
1
z n+1
; z 6= 1: Usando o resultado, prove
1 z
que:
(a) 1 + cos x + cos 2x +
(b) sen x + sen 2x +
+ cos nx =
+ sen nx =
1
2
1
2
+
sen [(n + 1=2) x]
2 sen (x=2)
cotg (x=2)
cos [(n + 1=2) x]
2 sen (x=2)
CAPÍTULO 1
O PLANO COMPLEXO
2
1.14 Determine todos os valores de:
(a) (2i)1=2
(b) ( i)1=3
(c) 81=6
p
1+i 3
(d)
3=2
(e) ( 1)
3=4
1.15 Determine as 4 raízes complexas da equação z 4 + 4 = 0 e, usando o resultado, decomponha o
polinômio z 4 + 4 em fatores quadráticos com coe…cientes reais.
1.16 Se w é uma raiz n-ésima da unidade, w 6= 1, mostre que 1 + w + w2 + w3 +
+ wn
1
= 0:
1.17 Esboce e classi…que topologicamente os subconjuntos do plano complexo caracterizados por:
(a) jRe zj < 2
(a) jIm zj > 1
(e) Re z > 0
(f) jz
(a) jz
1 + 3ij
1
4j > 3
(g) 1 < jz
2ij < 2
(d)
< arg (z) < ; jzj > 2
(h) 0
arg (z)
=4; z 6= 0
1.18 Identi…que as curvas do plano complexo descritas por:
(a) jz
2j = jz
3ij
(d) jz
2j = 2 jz + 2ij
(b) jz
1 + ij = j3 + i
(e) Re (1
z) = jzj
zj
(c) jz
ij + jz + 2j = 3
(f) z = z0 + rei , 0 <
2 :
1.19 Resolva as seguintes equações:
(a) z 3 = 27
(b) z 4 + 5z 2 = 36
1.20 Demonstre a identidade:
identidade e resolva as equações:
(a) z 2 + z + 1 = i
(b) z 2
p
(c) z 4
z =
(1 + 4i) z 2 + 4i = 0:
hq
3z + 3 = i
1
2
(jzj + Re z) + i sgn (Im z)
(c) z 2
q
1
2
(jzj
i
Re z) . Use esta
(5 + i) z + 8 + i = 0:
1.21 Sejam R uma constante positiva e z0 um número complexo …xado. Identi…que o subconjunto
do plano complexo descrito pela equação jzj2 + 2 Re (zz 0 ) + jz0 j2 = R2 :
1.22 Se zw 6= 0, mostre que Re (zw) = jzj jwj se, e somente se, arg (z)
arg w = 2n ; n 2 Z e, nesse
caso, tem-se jz + wj = jzj + jwj.
1.23 Seja
2 C com j j < 1. Mostre que jz + j
se, e somente se, jzj = 1:
1 + z ; 8z 2 C. Mostre que ocorre a igualdade