Curso: Licenciatura em Matemática - Semestre 2011.2
Disciplina: Álgebra Linear
Professor: Robson Sousa
Aluno:
Matricula:
3a Avaliação - 13/03/2012
1. (2 pontos) Sejam V = R2 ; u = (x1 ; x2 ), v = (y1 ; y2 ) 2 V. Mostre que
hu; vi = x1 y1 + x2 y2
é um produto interno sobre V.
2. (2 pontos) Sejam V um espaço euclidiano e u; v 2 V . Mostre que:
ku + vk2 + ku
vk2 = 2 kuk2 + kvk2 :
3. (1,5 pontos) Com relação ao produto inteno usual do R2 , a partir da base
encontre uma base ortonornal para o R2 .
= f( 1; 1); (1; 1)g,
4. (1,5 pontos) Em relação ao produto interno usual do Rn , calcule a distância entre os seguintes
vetores:
a) u = (1; 2; 3) e v = ( 1; 0; 2) ;
b) u = (0; 1) e v = (1; 1) ;
5. (2 pontos) Seja V = R2 .
a) Com relação ao produto interno usual do R2 , calcule o ângulo formado por u = (2; 1) e v =
( 3; 1):
b) Com relaçaõ ao produto interno hu; vi = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 , onde u = (x1 ; x2 ) e
v = (y1 ; y2 ). Calcule o ângulo formado por u = (2; 1) e v = ( 3; 1):
6. (1 ponto) Seja V um espaço vetorial euclidiano.
a) Prove a Desigualdade de Minkowski, ou seja, que ku + vk
V.
Sugestão: Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz jhu; vij
b) A distância entre u e v é de…nida por
d(u; v) = ku
Mostre que: d(u; v) = d(v; u), para todos u; v 2 V .
vk :
kuk + kvk, para todos u; v 2
kuk kvk, para todos u; v 2 V .