Análise Matemática IIC
Ficha 2 - Funções vectoriais de variável real
1. Considere a função vectorial ~r : [0, 2π] −→ R3 definida por ~r(t) =
(r1 (t), r2 (t), r3 (t)), em que r1 (t) = a cos t, r2 (t) = a sin t, r3 (t) =
bt (a, b ≥ 0). Seja C a curva de equações paramétricas x = r1 (t),
y = r2 (t), z = r3 (t).
(a) Determine a e b de forma a que a curva C seja fechada.
(b) Considere b = 1. Dê uma interpretação geométrica da curva C.
(c) Calcule ~r 0 (t) e ~r 00 (t) num ponto genérico t ∈ [0, 2π].
(d) Determine uma equação da recta tangente à curva C no ponto
~r( π2 ) = (0, a, b π2 ).
(e) Indique, justificando, se C é suave. C é regular? Justifique.
2. Considere a função vectorial de variável
real ~r(t) = (r1 (t), r2 (t)) definida

sin
t


se t < 0;

 t ,
1,
se t = 0;
por r1 (t) = log(t + 1) e r2 (t) =


2
cos
t


, se t > 0.
t+2
(a) Determine o domı́nio de ~r.
(b) Calcule lim ~r(t).
t→0
(c) Determine uma equação da recta tangente à curva associada a ~r
no ponto P0 = ~r(1).
3. Uma partı́cula P move-se no espaço e ocupa no instante t a posição
associada ao vector ~r(t) = (et cos t, et sin t, et ), t ∈ [0, +∞[.
(a) Determine a posição inicial de P .
(b) A partı́cula passa nalgum ponto mais do que uma vez? Justifique.
(c) Chama-se vector velocidade e vector aceleração da partı́cula
P no instante t, aos vectores, respectivamente, ~v (t) = ~r 0 (t) e
~a(t) = ~r 00 (t). Determine a velocidade e a aceleração de P no in3π
.
stante t =
2
1
(d) Determine uma equação da recta tangente à curva descrita por P ,
3π
.
no instante t =
2
(e) Diga, justificando, se a trajectória de P é regular ou suave.
4. (a) Faça um esboço gráfico das curvas parametrizadas por ~r = ~r(t),
tais que:
3π
i. ~r(t) = (1 + 3 cos t, 2 + 3 sin t), t ∈ 0,
;
2
ii. ~r(t) = (3 cos t, 4 sin t), t ∈ [0, 2π];
iii. ~r 0 (t) = (1, 2t), ~r(0) = ~0, t ∈ [−1, 2];
1
0
, ~r(1) = (1, 0), t ∈ [1, e].
iv. ~r (t) = 1,
t
(b) Para cada um dos casos anteriores, determine uma equação da
π
recta tangente à curva, no instante t = .
2
(c) Indique, das curvas anteriores, quais são regulares, suaves ou fechadas.
Justifique.
2