Geometria Euclideana Plana
A partir de agora, iremos iniciar nosso estudo
axiomático da Geometria Euclidiana Plana. Vimos
que os postulados de Euclides não são suficientes
para demonstrar todos os resultados da geometria
plana. De fato, vimos que nos Elementos de
Euclides existem lacunas que não são possíveis
preenchê-las somente com o conteúdo dos
Elementos.
O que iremos fazer neste curso é axiomatizar a
geometria de tal forma que não deixemos lacunas.
Iremos usar um conjunto de axiomas que serão
suficientes para demonstrar todos os resultados
conhecidos desde o ensino fundamental.
Presupostos iniciais
Não podemos definir todos os termos que iremos usar. De fato,
para definir um termo devemos usar um outro termo, e para
definir esses termos devemos usar outros termos, e assim por
diante. Se não fosse permitido deixar alguns termos indefinidos,
estaríamos envolvidos em um processo infinito.
Euclides definiu linha como aquilo que tem comprimento sem
largura e ponto como aquilo que não tem parte. Duas definições
não muito úteis. Para entendê-las é necessário ter em mente
uma linha e um ponto. Consideraremos alguns termos,
chamados de primitivos ou elementares, sem precisar defini-los.
São eles:
1. ponto;
2. reta;
3. pertencer a (dois pontos pertencem a uma única
reta);
4. está entre (o ponto C está entre A e B);
O principal objeto de estudo da Geometria
Euclidiana Plana é o plano.
O plano é constituído de pontos e retas.
Axiomas de Incidência
Pontos e retas do plano satisfazem a cinco grupos de axiomas.
O primeiro grupo é constituído pelos axiomas de incidência.
Axioma de Incidência 1: Dados dois pontos distintos, existe
uma única reta que os contém.
Axioma de Incidência 2: Em toda reta existem pelo menos dois
pontos distintos.
Axioma de Incidência 3: Existem três pontos distintos com a
propriedade que nenhuma reta passa pelos três pontos.
Definição: Dizemos que um conjunto de pontos
A é colinear (ou que seus pontos são colineares)
se existe uma reta r tal que Ar.
Com esta definição podemos reescrever o
axioma de incidência 3 da seguinte forma:
Axioma de incidência 3: Existem pelo menos 3
pontos não colineares.
Observação: Destes três axiomas deduzimos
alguns fatos simples, porém importantes:
• Toda reta possui pelo menos dois pontos.
• Não existe uma reta contendo todos os
pontos.
• Existem pelo menos três pontos no plano.
Definição: Duas retas intersectam-se quando
elas possuem um ponto em comum. Se elas não
possuem nenhum ponto em comum, elas são
ditas paralelas.
Proposição . Duas retas distintas
ou
não
intersectam-se
ou
intersectam-se em um único
ponto.
Demonstração: Sejam m e n duas retas
distintas. Se m e n possuem pelo menos dois
pontos distintos em comum então, pelo Axioma
de Incidência 1, m e n coincidem, que é uma
contradição com o fato que m e n são retas
distintas.
Logo, m e n ou possuem um ponto em comum
ou nenhum.

Portanto a Proposição anterior diz que se duas
retas distintas não são paralelas, então elas têm
um ponto em comum.
Proposição . Para todo ponto P;
existem pelo menos duas retas
distintas passando por P:
P
Demonstração: Pelo Axioma de Incidência 3,
existe um ponto Q distinto de P. Pelo Axioma de
Incidência 1 existe uma única reta l que passa
por P e Q. Pelo Axioma de Incidência 3 existe um
ponto R que não pertence a l. Novamente pelo
Axioma de Incidência 1, existe uma reta r
distinta de l que contém os pontos P e R.

Proposição. Para todo ponto P existe pelo
menos uma reta l que não passa por P.
P
Demonstração. Pela Proposição anterior,
existem duas retas distintas l e m que passam
por P. Pelo Axioma de Incidência 2, em l existe
um ponto QP e em m existe um ponto RP.
Pelo Axioma de Incidencia 1, existe uma reta
passando por Q e R. Afirmamos que P não
pertence a t. De fato, suponha por absurdo que
P está em t, então t possui os pontos P e Q e
portanto t=l. De modo análogo, se como P e Q
estão em t, t=m. Concluimos portanto que l=m,
o que é uma contradição. Logo Pt.
Modelos para a geometria de
incidência