Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
8ª aula
Valores Próprios
e
Vectores Próprios
Definição:
Seja  um número real e A uma matriz
quadrada nn. Diz-se que  é um valor
próprio da matriz A se existir uma matriz
coluna não nula Xn1 tal que
AX=X
À matriz coluna X chama-se vector
próprio associado ao valor próprio .
Exemplo:
 2 1 1 3 1
 1 4 1  3  31

   
3 é valor próprio
Um vector próprio associado é
1
1

Como determinar os valores próprios e
os vectores próprios de uma matriz?
Como determinar os valores próprios e
os vectores próprios de uma matriz?
AX  X  AX  X  0  AX  IX  0

 A  I  X  0
Como determinar os valores próprios e
os vectores próprios de uma matriz?
AX  X  AX  X  0  AX  IX  0

 A  I  X  0
Este sistema homogéneo tem que ser
indeterminado pois queremos X0
Definições:
(A -  I) – matriz característica de A
det (A -  I) – polinómio característico de A
det (A -  I) = 0 – equação característica de A
Como determinar os valores próprios e
os vectores próprios de uma matriz?
 A  I X  0
Este sistema homogéneo tem que ser
indeterminado pois queremos X0
então
det (A -  I) = 0
Como determinar os valores próprios e
os vectores próprios de uma matriz?
 A  I X  0
det (A -  I) = 0
então
Os valores próprios são as raízes do
polinómio característico.
 2 1
A

  1 4
 2 1
A

  1 4
  2 1
1 0 

det(A  I )  det 








1
4
0
1




 2 1
A

  1 4
  2 1
1 0 

det(A  I )  det  








1
4
0
1




1
2  
 det 

 1 4   
 2 1
A

  1 4
  2 1
1 0 

det(A  I )  det  







0 1  
   1 4
1
2  
 det 
 2   4     1 

 1 4   
 2 1
A

  1 4
  2 1
1 0 

det(A  I )  det 








1
4
0
1




1
2  
 det 
 2   4     1 

 1 4   
   6  9    3
2
2
Os valores próprios de
são as raízes de
 3
 2 1
A

  1 4
  3
2
é a única raiz deste polinómio:
tem multiplicidade 2
Os valores próprios de
são as raízes de
 3
 2 1
A

  1 4
  3
2
é a única raiz deste polinómio:
tem multiplicidade 2
Diz-se que  é valor próprio
com multiplicidade algébrica 2
Como encontrar o vector próprio
associado?
( A  3I ) X  0
  2 1  3 0 


  1 4  0 3  X  0
 


Como encontrar o vector próprio
associado?
( A  3I ) X  0
  2 1  3 0 

X  0




 1 4

0
3
 


a 
X  
b 
 1 1
 1 1 X  0


Deve ser tal que – a + b = 0
O conjunto de todos os vectores
próprios associados ao mesmo valor
próprio é um subespaço vectorial que
se designa por subespaço próprio
associado a  e se representa por E
No exemplo:
Tem um valor próprio  = 3
 2 1
  1 4



Os valores próprios associados
têm que ser da forma
a 
com
X  
b 
–a+b=0

E3  a, b    : a  b 
2
 a, a  : a   
 1,1
No exemplo:
E3  1,1
dim E3  1
Definição:
Chama-se
multiplicidade geométrica
de um valor próprio à dimensão
do subespaço próprio associado
Teorema:
A
multiplicidade algébrica
de um valor próprio é maior ou igual à sua
multiplicidade geométrica
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
6  
det   7  8  
 7 
 7
7 6   
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
6  
 6
det   7  8  
 7   det  1  
 7
 7
7 6   
7
1 
7
7 
0 
6   
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
6  
 6
det   7  8  
 7  det  1  
 7
 7
7 6   
7 
 6   1 
det  1  
0
0 
 7
0
6   
7 
1  
0  
7
6   
7
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
7
7 
6  
 6
det   7  8  
 7  det  1    1  
0  
 7
 7
7 6   
7
6   
7 
 6   1 
0 
 1  
1 2


det  1  
0
0   1    1 det 

7
6




 7
0
6   
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
7
7 
6  
 6
det   7  8  
 7  det  1    1  
0  
 7
 7
7 6   
7
6   
7 
 6   1 
0 
 1  
1 2


det  1  
0
0   1    1 det 


7
6  

 7
0 6   
1    1 1   6   
7
7
 6
 7  8  7 


 7
7
6
7
7
7
7 
6  
 6




det   7  8  
 7  det  1    1  
0 
 7
 7
7 6   
7
6   
7 
 6   1 
0 
 1  
1 2


det  1  
0
0   1    1 det 


7
6  

 7
0 6   
1    1 1   6     1    6   
2
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
1   6   
2
 = 6 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 1
 = -1 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 2
Determinação dos subespaços próprios:
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
  1
7
7   x1 
 7
 A  I X   7  7  7  x2   0  x1  x2  x3  0
 7
7
7   x3 

 x , x , x   

E1  x1 , x2 , x3    : x1  x2  x3  0 
3
1
2
3
3

: x1   x2  x3 
  x2  x3 , x2 , x3  : x2 , x3   
  1,1,0,  1,0,1
Determinação dos subespaços próprios:
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 6
7
7   x1 
 0
 1 0  1  x1 
 A  I X   7  14  7  x2   0  0 1 1  x2   0
 7
0 0 0  x3 
7
0  x3 
 x1  x3  x2   x3


E6  x1 , x2 , x3   3 : x1  x3  x2   x3 
 1,1,1
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
E1  1,1,0, 1,0,1
1,1,0, 1,0,1, 1,1,1
É uma base de 3
E6  1,1,1
x, y, z   a(1,1,0)  b(1,0,1)  c(1,1,1)
 a  b  c  x
a  x  2 y  z


 b   x  y
a  c  y
b  c  z
c  x  y  z


Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio
 = 0 então:
det(A – 0 I) = 0  det(A) = 0
Conclusão: a matriz não é invertível.
Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio
 = 0 então:
det(A – 0 I) = 0  det(A) = 0
Conclusão: a matriz não é invertível.
TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se
não tem o valor próprio 0.
Diagonalização de matrizes
Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma
matriz B se existir uma matriz invertível P tal que
B = P-1 A P.
Se A é semelhante a B então B é semelhante a A.
PBP-1 = PP-1 A PP-1 PBP-1 = A
Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se
for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se
houver uma matriz diagonal D e uma matriz
invertível P tais que: D = P-1 A P
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I)
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) =
det(P-1 A P - P-1 P ) =
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) =
det(P-1 A P - P-1 I P ) = det(P-1 (A - I ) P ) =
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) =
det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =
det(P-1) det (A - I) det(P)
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) =
det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =
det(P-1) det (A - I) det(P) =
det(P-1) det(P) det (A - I)
Teorema: Duas matrizes semelhantes
têm os mesmos valores próprios
det(B -  I) = det(P-1 A P -  I) =
det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =
det(P-1) det (A - I) det(P) =
det(P-1) det(P) det (A - I) =
det (A - I)
Teorema: A matriz A-1 tem os valores
próprios inversos dos valores próprios
de A
Seja  valor próprio de A. Então:
A X =  X  A-1 A X =  A-1 X  X =  A-1 X
Se A é invertível todos os valores próprios são
diferentes de 0
X =  A-1 X 
1
1

X  A1 X
ou
A1 X 

X
Valores próprios de uma matriz
diagonal:
Os valores próprios de uma matriz diagonal
são os elementos da diagonal.
EXEMPLO:
2 0 0
0 1 0


0 0 3
0
0 
2  
det  0
1 
0  
 0
0
3   
 (2   )(1   )(3   )
Teorema: Uma matriz quadrada de
ordem n é semelhante a uma matriz
diagonal se e só se existir uma matriz
invertível P cujas colunas são vectores
próprios da matriz
D = P-1 A P  PD = AP
AP = [ AP1 AP2 . . . APn]
AP1 = 1P1 AP2 = 2P2 . . . APn = nPn
Teorema: Sendo A uma matriz
quadrada de ordem n, existe uma
matriz invertível cujas colunas são
vectores próprios de A se e só se a
soma das multiplicidades algébricas
dos valores próprios de A é n e as
multiplicidades
algébricas
e
geométricas coincidem.
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
7
7   1  1 1
 1 2 1  6
P 1 AP   1  1 0  7  8  7   1 0  1
 1 1 1  7
7
6  0
1 1
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
7
7   1  1 1
 1 2 1  6
P 1 AP   1  1 0  7  8  7   1 0  1
 1 1 1  7
7
6  0
1 1
6
 1 2 1  1 1
P 1 AP   1  1 0  1 0  6
 1 1 1  0  1
6
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
7
7   1  1 1
 1 2 1  6
P 1 AP   1  1 0  7  8  7   1 0  1
 1 1 1  7
7
6  0
1 1
6
 1 2 1  1 1
P 1 AP   1  1 0  1 0  6
 1 1 1  0  1
6
 1 0 0
P 1 AP   0  1 0
 0 0 6
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 =
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
P-1 D I D P . . . P-1 D I D P =
Uma aplicação:
Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
P-1 D I D P . . . P-1 D I D P = P-1 D32 P
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1 0 0
P 1 AP   0  1 0
 0 0 6
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
1
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
1
P AP  D  A  PDP
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1 0 0
P 1 AP   0  1 0
 0 0 6
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
1
1
P AP  D  A  PDP
7
7
 6
 1  1 1  1 0 0  1 2 1
A32   7  8  7   1 0  1  0  1 0  1  1 0 
 7
 0
7
6
1 1  0 0 6  1 1 1
32
32
 1  1 1
P   1 0  1
 0
1 1
7
7
 6
A   7  8  7 
 7
7
6
 1 0 0
P 1 AP   0  1 0
 0 0 6
 1 2 1
P 1   1  1 0
 1 1 1
1
1
P AP  D  A  PDP
7
7
 6
 1  1 1  1 0 0  1 2 1
A32   7  8  7   1 0  1  0  1 0  1  1 0 
 7
 0
7
6
1 1  0 0 6  1 1 1
0  1 2 1
 1  1 1  1 0
  1 0  1 0 1
0  1  1 0
 0
1 1 0 0 632   1 1 1
32
32