Determinantes Propriedades dos determinantes • Matriz Transposta O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At Exemplo: 1 0 2 3 1 3 A= 4 5 2 det A = 9 1 3 4 At = 0 1 5 2 3 2 det At = 9 Determinantes Propriedades dos determinantes • Matriz triangular É aquela cujos os elementos situados “de um mesmo lado” da diagonal principal são iguais a zero. Seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal Exemplo: a11 3 A= 4 0 a22 5 0 0 a33 det A = a11 . a22 . a33 Determinantes Propriedades dos determinantes • Matriz de Vandermonde (ou das potências) São aquelas onde as colunas de uma matriz M, de ordem n, sã formadas potências de mesma base, cm expoente inteiro, variando desde 0 até n - (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1. Exemplo: 1 1 1 A = 2 3 4 4 9 16 Elementos característicos da matriz det A = (4-3).(4-2).(3-2) = 2 Determinantes Propriedades dos determinantes • Troca de filas paralelas Se B é uma matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então Exemplo: 1 0 2 3 1 3 A= 4 5 2 det A = 9 4 5 2 B = 3 1 3 1 0 2 det B = - 9 Determinantes Propriedades dos determinantes • Filas paralelas iguais Se uma matriz A possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas Formadas por elementos respectivamente iguais, então det A = 0 Exemplo: A= 0 2 5 0 2 1 4 0 1 0 1 25 54 13 14 0 3 3 5 1 35 0 41 3 5 Determinantes Propriedades dos determinantes • Multiplicação de uma fila por uma constante Se B é uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de suas filas( linha ou coluna) por uma constante k, Então: det B = k.det A Exemplo: A= 1 0 2 3 1 3 4 5 2 det A = 9 B= 1 0 2 9 3 9 4 5 2 det B = 27 det B = 3.det A Determinantes Propriedades dos determinantes • Multiplicação de uma fila por uma constante Exemplo: A= 1 0 2 3 1 3 4 5 2 det A = 9 B= 3 0 6 9 3 9 12 15 6 det B = kn.det A det B = 243 det B = 3.3.3.det A = det B = 33.det A Determinantes Propriedades dos determinantes • Fila Nula Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de um matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0 Exemplo: A 0 0 0 = 3 1 3 4 5 2 Determinantes Propriedades dos determinantes • Adição de determinantes Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que o elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e então: det A + det B = det C Exemplo: A= a r b s c t d e f a u B= b v c x d e f C= a r u b s v c t x d e f Determinantes Propriedades dos determinantes • Teorema de Jacobi O determinante não se altera quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. Exemplo: A= a d g b e h c f i a B= d g b e h c ma f md i mg Determinantes Propriedades dos determinantes • Teorema de Binet Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: det (A · B) = det A · det B. det (A.B) = det A.det B Exemplo: A= 1 0 2 3 1 3 4 5 2 det A = 9 B= 1 0 2 9 3 9 4 5 2 det B = 27 det (A.B) = 9 . 27 = 243 Determinantes Propriedades dos determinantes • Teorema de Binet Conseqüências: det (An) = (det A)n det (A-1) = 1 det A Só existe matriz inversa se det A ≠ 0 Determinantes Propriedades dos determinantes • Teorema da combinação linear Se uma matriz quadrada M, de ordem n, tem uma linha (ou co Que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), entã det (M) = 0 Exemplo: A= 2 3 5 4 1 3 5 4 9 3º coluna = 1. 1ºcoluna + 1 . 2º coluna 5 = 1. 2 + 1 . 3