MAT 01375 – Matemática Discreta B
2015/1
Lista de Exercı́cios 3
1. Mostre os seguintes resultados sobre números pares e ı́mpares.
a) A soma de dois números pares é um número par.
b) A soma de dois números ı́mpares é um número par.
c) A soma de um número par com um número ı́mpar é um número ı́mpar.
d) A soma de três números ı́mpares é um número ı́mpar.
e) A soma de quatro números ı́mpares é um número par.
f) (∀n ∈ N) n é par ⇐⇒ n + 1 é ı́mpar
g) (∀n ∈ N) n é ı́mpar ⇐⇒ n é soma de dois números naturais consecutivos.
h) O produto de dois números pares é par.
i) O produto de dois números ı́mpares é ı́mpar.
2. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes proposições.
a) O produto de dois números naturais é par se e somente se os dois números são pares.
b) O produto de dois números naturais é ı́mpar se e só se os dois números são ı́mpares.
c) O cubo de um número natural é ı́mpar se e somente se o número é ı́mpar.
3. Demonstre os fatos abaixo. (Lembre que, para números inteiros x, y, a notação x | y
significa que x divide y e x - y significa que x não divide y.)
(a) Se a | b e b | c, então a | c.
(b) Se a, b ∈ Z e a ≥ 2, então a - b ou a - (b + 1).
4. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique ( No caso da
afirmação ser verdadeira demonstre-a, se falsa exiba um contra-exemplo).
(a) (∀a, b ∈ Z) a|b e b|a =⇒ a = b.
(b) Sejam a, b números inteiros tais que a | b. Então a2 | b2 .
√
(c) Sejam x e y números reais não-negativos. Então 2 · xy ≤ x + y.
5. Mostre que: (∀n ∈ N) n é um múltiplo de 3 ⇐⇒ n2 é um múltiplo de 3.
√
6. Use o exercı́cio anterior para mostrar que 3 é um número irracional.
√
Dica: faça uma prova semelhante a feita em aula para 2.
7. Mostre que: (∀n ∈ N) n é um múltiplo de 5 ⇐⇒ n2 é um múltiplo de 5.
√
8. Mostre que 5 é um número irracional.
primo então um dos primos é 2.
9. Mostre que existem infinitos números primos.
Dica: suponha que existe apenas um número finito de números primos.
10. Dizemos que um inteiro positivo n ≥ 2 possui a propriedade de divisão de fatores se,
para quaisquer inteiros a, b, vale que
[(n | a · b) −→ (n | a ou n | b)]
.
(a) Mostre que todo número primo possui a propriedade de divisão de fatores.
(b) Mostre que se um número inteiro positivo possui a propriedade de divisão de fatores
então ele é primo.
√
(c) Utilize esse fato para demonstrar que p æ irracional para todo primo p.
11. Existem sequencias arbitrariamente longas de números consecutivos compostos. Dica:
considere, para n ∈ N a sequência n! + 2, n! + 3, n! + 4, n! + 5, . . .
12. Sejam n, k, ak , ak−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ N tais que
n = ak 10k + ak−1 10k−1 + . . . + a2 102 + a1 10 + a0
e 0 ≤ ai < 10 ∀ i ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , k}, ou seja, n = ak ak−1 . . . a2 a1 a0 . Mostre que:
a) (∀n ∈ N) n é par ⇐⇒ a0 = 0 ∨ a0 = 2 ∨ a0 = 4 ∨ a0 = 6 ∨ a0 = 8.
b) (∀n ∈ N) n é divisı́vel por 5 ⇐⇒ a0 = 0 ∨ a0 = 5.
• Questão 3 Prova 1 de 2007/2 (2,5 pontos):
a) Mostre que a soma de três números naturais consecutivos é um número natural múltiplo
de três.
b) Mostre que se n ∈ N∗ é um múltiplo de três, então n é a soma de três números naturais
consecutivos.
c) Dado k > 2 um número natural. Será que a soma de k números naturais consecutivos é
sempre um múltiplo de k? Por quê?
• Questão 4 Prova 1 de 2010/2 (2,0 pontos): Sejam a, b ∈ N dois números ı́mpares. Mostre
que,
(i) a2 + b2 e a2 − b2 são números pares,
(ii) a2 + b2 não é múltiplo de 4, mas a2 − b2 é múltiplo de 4.