Simpósio Nacional da Formação do Professor de Matemática
Minicurso Desafios Intrigantes
11. Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. De todas elas,
3% adornam-se com um brinco. Das restantes 97%, metade usa
dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de
brincos usados por todas as mulheres?
Desafiando para ensinar a pensar
12. Uma população de plantas aquáticas cobre parte da superfı́cie de
um lago. A cada dia, as plantas se reproduzem, passando a cobrir
Prof. Luciano Monteiro de Castro
o dobro da superfı́cie que cobriam no dia anterior. Se em 20 dias
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o lago está completamente coberto, em quantos dias apenas a
metade do lago está coberta?
13. Para preparar seu café da manhã, uma pessoa decide ferver um
Desafios Gerais
ovo durante exatamente 15 minutos. Ela possui dois relógios de
areia: um marca 7 minutos e o outro, 11 minutos. Como deve
1. Durante uma viagem de férias, houve 5 dias de chuva. A chuva
proceder? Quantas vezes terá que virar os relógios?
acontecia de manhã ou à tarde, nunca o dia inteiro. Houve 6
manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem?
14. Josephus Flavius foi um famoso historiador judeu do século primeiro. Durante a guerra entre judeus e romanos, ele foi encurra-
2. Em um campeonato de futebol, cada equipe recebe 3 pontos por
lado pelos romanos em uma caverna, junto com um grupo de 40
vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Se um
soldados judeus. Conta a lenda que, preferindo a morte à captura
campeonato teve um total de 45 jogos e a soma das pontuações
pelos romanos, os soldados decidiram suicidar-se da seguinte ma-
totais de todas as equipes ao final dos 45 jogos foi 115, calcule o
neira: formaram um cı́rculo e, a partir de uma determinada pes-
número de jogos que terminaram empatados.
soa, cada um que estivesse vivo matava o soldado a sua esquerda.
3. Numa fazenda na África, existem búfalos, avestruzes e rinoceron-
Nada entusiasmado com a idéia de morrer, Josephus encontrou
tes, num total de 227 cabeças, 782 pés e 303 chifres. Quantos
rapidamente a posição no cı́rculo que o manteria vivo. Qual foi
animais de cada tipo existem na fazenda?
esta posição? Resolva o mesmo problema para um cı́rculo com
1999 pessoas.
4. Você dispõe de uma pilha com muitos tijolos maciços idênticos e
15. Dois jogadores jogam o seguinte jogo: Há 50 palitos sobre a mesa.
de uma régua. Descreva como medir o comprimento da diagonal
Eles jogam alternadamente e, na sua vez, cada jogador pode re-
de um tijolo.
tirar de 1 a 5 palitos. Aquele que retirar o último palito vence.
5. Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que
Qual dos dois tem uma estratégia segura para vencer? Qual é essa
tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos
estratégia?
63. Quais são nossas idades?
16. Existem 20 balas sobre uma mesa e duas crianças começam a
6. Dois Matemáticos, Nicolau e Edmilson, se encontram na rua.
comê-las, uma criança de cada vez. Em cada vez, cada criança
Após cumprimentarem-se, Edmilson pergunta: “Você tem 3 fi-
deve comer pelo menos uma bala e está proibida de comer mais
lhas, não é? Que idade elas têm?”. Ao que Nicolau prontamente
que a metade das balas que existem sobre a mesa. Nesta brinca-
responde: “O produto das idades de minhas 3 filhas é 36 e a soma
deira, ganha a criança que deixar apenas uma bala sobre a mesa.
dessas idades é o número desta casa aı́ em frente”. Após observar
Qual das duas crianças pode sempre ganhar na brincadeira: a
o número da casa e pensar um pouco Edmilson afirma: “Faltam
primeira ou a segunda a jogar? Como deve fazer para ganhar?
dados!”, e Nicolau responde: “Ah, sim, esqueci: A mais velha
17. Dona Zizi comprou 2 balas para cada aluno de uma 5a série. Mas
toca piano”. E com isso Edmilson foi capaz de dizer as idades das
como os meninos andavam meio barulhentos, ela resolveu redistri-
três filhas de Nicolau. Quais eram essas idades?
buir essas balas, dando 5 para cada menina e apenas 1 para cada
7. Eu chego ao metrô no exato momento em que sai um trem, e
menino. Qual a porcentagem de meninos na 5a série?
subo no próximo. Após completar a viagem, verifico que saio
18. Alexandre, consultando a programação de filmes, decidiu gravar
da estação de destino exatamente no mesmo horário que sairia
Contato, cuja duração é de 150 minutos. Para gravar numa única
se tivesse embarcado no primeiro trem. Os dois trens viajam à
fita, ele começou com velocidade menor (modo EP, que permite
mesma velocidade, e eu não tive que correr. Explique.
gravar 6 horas) e, num dado momento, mudou para a velocidade
8. Entre 8 pérolas idênticas em tamanho, forma e aspecto, há uma
maior (modo SP, que permite gravar 2 horas), de forma que a
falsa. Todas as verdadeiras têm exatamente o mesmo peso, porém
fita acabou exatamente no fim do filme. Do inı́cio do filme até o
a falsa é mais leve. Dispondo de apenas duas pesagens em uma
momento da mudança do modo de gravação, quantos minutos se
balança de pratos, como podemos identificar a pérola falsa?
passaram?
9. Vinte pessoas compareceram a um baile. Maria dançou com 7
19. Numa famı́lia, cada filha moça tem o mesmo número de irmãos
rapazes; Olga, com 8; Vera, com 9; e assim por diante, até Bruna
e irmãs e cada filho homem tem duas vezes mais irmãs do que
que dançou com todos. Quantos eram os rapazes?
irmãos. Quantas filhas moças e filhos homens há nesta famı́lia?
10. Uma raposa está adiantada de 60 pulos seus sobre um cão que
20. Eu não tenho relógio de pulso, mas tenho em casa um excelente
a persegue. Enquanto a raposa dá 10 pulos, o cão dá 8; cada 3
relógio de parede ao qual, às vezes, esqueço de dar corda. Uma vez,
pulos do cão valem 5 pulos da raposa. Quantos pulos dará o cão
quando isso aconteceu, fui à casa de um amigo que tem sempre
para alcançar a raposa?
um cronômetro marcando a hora exata e lá passei algum tempo.
Depois voltei para casa e acertei o meu relógio de parede. Como
pude fazê-lo se eu não sabia a duração da viagem?
1
21. No dia do Ano-Novo de 1953, A e B se conheceram numa viagem
quando X tinha duas vitórias e Y tinha uma, faltou luz no lo-
de trem. No decorrer da conversa, falaram da idade de cada um.
cal, e a rodada foi interrompida. Na impossibilidade de adiar a
Disse A: “Se você somar os 4 algarismos do ano em que nasci, você
continuação para outro dia, o diretor do torneio determinou que
saberá a minha idade”. Após pensar um pouco, B cumprimentou
o prêmio fosse dividido entre os dois finalistas. Qual é a forma
A pelo seu aniversário. Como B descobriu o aniversário de A?
correta de dividir o prêmio entre os dois jogadores?
Em que ano nasceu A?
31. Uma gaveta contém duas bolas brancas, e uma outra gaveta contém
22. O burro e o cavalo: Um burro e um cavalo caminhavam por uma
uma bola branca e uma preta. Escolhe-se uma gaveta ao acaso e
estrada carregando sacos de igual peso. O burro se queixava da
dela retira-se uma bola, também ao acaso. Sabendo que a bola
vida por achar que estava carregando peso demais. Diz então o
retirada é branca, qual a probabilidade de a outra bola da mesma
cavalo: “Pára de te lamuriar pois se eu te der um dos sacos que
gaveta também ser branca?
levo sobre meu lombo só aı́ ficaremos com cargas iguais. Por outro
32. Suponha que você está participando de um programa de televisão,
lado, se tu me deres um dos teus, a minha carga ficará o dobro
e tem a opção de escolher uma entre 3 portas fechadas, atrás de
da tua”. Dize-me agora, sábio matemático, quantos sacos levava
uma das quais encontra-se um carro. Após feita a sua escolha,
cada um?
o apresentador abre uma das outras duas portas e mostra que o
carro NÃO está ali, dando a você a opção de mudar sua escolha.
23. Temos 10 pilhas de livros, de aspecto igual. Em 9 dessas pilhas,
A mudança aumenta suas chances de ganhar o carro ou não?
cada livro pesa 1 kg e na pilha restante cada livro pesa 1, 1 kg.
Efetuando apenas uma pesagem em uma balança digital, deter-
33. (OBMEP) Pedro vai participar de um programa de prêmios em
minar em que pilha estão os livros mais pesados.
que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e
24. Um retângulo de chocolate está dividido em 20 quadradinhos,
desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele
formando 5 linhas de 4 quadradinhos cada. Queremos quebrar
decida ?car com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras
o chocolate, ao longo das linhas, até separar completamente os
bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada
quadradinhos. Qual é o número mı́nimo de vezes que precisamos
for maior que os das duas primeiras, ele ?cará com ela e, caso
quebrar o chocolate?
contrário, ?cará com a bola que restou. Qual é a probabilidade
de Pedro ?car com a bola de maior valor?
25. 15 meninas saem de um grupo de meninos e meninas. No grupo
restante, ficam dois meninos para cada menina. Aı́, então, 45
34. Duas pessoas marcam um encontro em determinado local, da se-
meninos abandonam o grupo. Ficam então 5 meninas para cada
guinte maneira: Ambos se comprometem a chegar ao local entre
menino. O número de meninas no grupo inicial era:
12 h e 13 h e esperar o outro durante 15 min, indo embora caso o
outro não apareça neste intervalo de tempo. Qual a probabilidade
de o encontro realmente ocorrer?
Desafios de Probabilidade
35. Quebra-se uma vareta de madeira em três pedaços, de forma
aleatória. Qual é a probabilidade de os três pedaços formarem
26. Uma urna contém 8 bolas, sendo 4 brancas e 4 pretas. Se 4
um triângulo?
pessoas, com os olhos vendados, retiram 2 bolas cada uma, qual
a probabilidade de todas elas retirarem bolas de cores diferentes
36. Uma urna contém 2n bolas, sendo n brancas e n pretas. Se n
(uma branca e uma preta cada uma)?
pessoas, com os olhos vendados, retiram 2 bolas cada uma, qual
3
27. O atirador A tem probabilidade de acertar um alvo e o atirador
5
4
B tem probabilidade de acertar o mesmo alvo. Se ambos atiram
7
juntos (um tiro cada um), qual a probabilidade de o alvo ser
a probabilidade de todas elas retirarem bolas de cores diferentes?
Qual a probabilidade de todas elas retirarem bolas de cores iguais?
37. Do total de mulheres na faixa dos 40 anos de idade que participam dos exames de rotina, 1% têm câncer de mama. 80% das
atingido?
mulheres que têm câncer de mama recebem resultado positivo no
28. Conta-se que em uma pequena cidade russa as jovens solteiras fa-
exame de mamografia. 9, 6% das mulheres que não têm câncer
zem a seguinte brincadeira para saber quem será a próxima a ca-
de mama também recebem resultado positivo no exame de ma-
sar: A candidata a noiva segura firmemente em sua mão esquerda
mografia. Uma mulher nessa faixa etária fez uma mamografia de
6 folhas compridas de capim, de forma que as pontas fiquem ex-
rotina e recebeu resultado positivo. Qual é a probabilidade de ela
postas dos dois lados. Então, suas amigas dão 3 nós de cada lado
realmente ter câncer de mama?
(cada nó une aleatoriamente duas pontas). Caso as 6 folhas de
capim assim amarradas formem um único anel, o casamento está
Desafios de Combinatória
próximo. Determine a probabilidade de isso ocorrer.
29. Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de pelo
38. Quantas pessoas são necessárias para garantir que, entre elas,
menos um dos resultados obtidos ser cara? E de pelo menos dois
encontrem-se pelo menos
dos resultados obtidos serem caras?
(a) duas que fazem aniversário no mesmo mês?
30. Dois jogadores de pingue-pongue X e Y jogaram entre si, no pas-
(b) duas que fazem aniversário no mesmo dia do mês?
sado, muitas partidas e cada um ganhou metade das partidas
disputadas. Na rodada final de um torneio recente, os mesmos
(c) duas que fazem aniversário no mesmo dia da semana?
jogadores, X e Y, disputam o prêmio de R$600, 00. Segundo as
(d) duas que fazem aniversário no mesmo dia?
regras, partidas serão realizadas até que um dos jogadores consiga
(e) três que fazem aniversário no mesmo mês?
3 vitórias, sendo declarado o vencedor do torneio. Entretanto,
(f) quatro que fazem aniversário no mesmo dia da semana?
2
(g) dez que fazem aniversário no mesmo dia do mês?
54. Um grupo de 15 amigos se reúne para jogar basquetebol. De
quantas maneiras eles podem formar 3 times de 5 jogadores cada?
39. Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual o número
mı́nimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:
55. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas
e 5 amigos (totalizando 12 amigos e 12 amigas diferentes). De
(a) as meias retiradas contêm um par de mesma cor?
quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada
(b) as meias retiradas contêm um par de cor branca?
um deve convidar 6 pessoas?
40. (OBM) Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30
56. De quantas maneiras podem ser distribuı́dos 20 brinquedos en-
são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e entre as 10 restantes,
tre 7 crianças? (Admita também a possibilidade de alguma(s)
algumas são brancas e outras são pretas. Determine o menor
criança(s) ficar(em) sem brinquedo).
número de bolas que devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor,
57. Num plano, um conjunto de 8 retas paralelas intersecta um con-
para termos a certeza de haver pelo menos 10 bolas da mesma
junto de outras n retas paralelas formando 420 paralelogramos ao
cor.
todo. Determine n.
41. Cada um dos possı́veis números naturais de 9 algarismos distintos
que podem ser formados com os algarismos de 1 a 9 é escrito em
58. Uma bola de futebol é feita com 32 peças de couro. Algumas
um cartão, e os cartões são todos colocados em uma urna. Qual
delas são pentágonos regulares e as outras são hexágonos também
é o número mı́nimo de cartões que devem ser retirados da urna
regulares. Os lados dos pentágonos são iguais aos dos hexágonos
para garantir que entre os números neles escritos existam, pelo
de forma que possam ser costurados. Cada costura une dois lados
menos, dois números que comecem com o mesmo algarismo?
de duas dessas peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação
de uma bola de futebol?
42. Mostre que, dado um conjunto de n pessoas, existem duas que
possuem o mesmo número de amigos entre as pessoas do conjunto.
59. Escrevem-se números de cinco algarismos (inclusive os começados
43. Mostre que se um subconjunto com n+1 elementos é escolhido do
para baixo e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9,
por zero) em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça
conjunto {1, 2, 3, . . . , 2n}, então esse subconjunto necessariamente
um só cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198
conterá um par de números primos entre si e também um par de
e 86190). Qual é o número mı́nimo de cartões para representar
números tal que um seja múltiplo do outro.
todos os números de cinco algarismos?
44. Dado um inteiro n, mostre que existe um múltiplo de n que se
60. Uma lanchonete vende 3 sabores de empada: palmito, camarão e
escreve com os algarismos 0 e 1 apenas. (Por exemplo, se n = 3,
frango. De quantas maneiras é possı́vel comprar 10 dessas empa-
temos 111 ou 1011, etc.)
das?
45. Considere 9 pontos de coordenadas inteiras no R3 . Mostre que
61. De quantas maneiras podemos formar uma fila com 7 homens e 5
o ponto médio de um dos segmentos de reta definidos por estes
mulheres, todos com alturas diferentes, de forma que os homens
pontos também tem coordenadas inteiras.
entre si e as mulheres entre si estejam em ordem crescente de
altura?
46. Mostre que em qualquer coleção de n > 2 inteiros existe um par
cuja soma ou diferença é divisı́vel por n.
62. Há 10 pessoas para telefonar e apenas 3 cabines telefônicas. De
quantas maneiras essas pessoas podem formar filas diante das ca-
47. Dois discos A e B são divididos em 2n setores iguais. No disco A,
bines (admita a possibilidade de haver filas vazias).
n setores são pintados de azul e n de vermelho. No disco B, os
setores são pintados de azul ou vermelho de forma completamente
63. Determine o número de maneiras de se cobrir um retângulo 2 × n
arbitrária. Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que
com dominós (retângulos 1 × 2), onde n é inteiro positivo.
pelo menos n setores tenham cores coincidentes.
64. (IMO 2008) Sejam n e k números inteiros positivos tais que k ≥ n
48. Seja x real. Prove que dentre os números x, 2x, . . . , (n − 1)x existe
1
um que difere de um inteiro por no máximo .
n
e k−n é um número par. São dadas 2n lâmpadas numeradas de 1 a
2n, cada uma das quais pode estar acesa ou apagada. Inicialmente
todas as lâmpadas estão apagadas. Uma operação consiste em
49. Dados cinco pontos no interior de um quadrado √
de lado 1, prove
2
que dois deles estão a uma distância menor que
.
2
alterar o estado de exatamente uma das lâmpadas (de acesa para
50. Mostre que em toda reunião com 6 pessoas existem 3 que se co-
operações.
apagada ou de apagada para acesa). Consideremos sequências de
nhecem mutuamente ou 3 que se desconhecem mutuamente.
Seja N o número de sequências com k operações após as quais as
lâmpadas de 1 a n estão todas acesas e as lâmpadas de n + 1 a
51. Mostre que em toda reunião com 10 pessoas existem 3 que se
2n estão todas apagadas.
conhecem mutuamente ou 4 que se desconhecem mutuamente.
Seja M o número de sequências com k operações após as quais as
52. (IMO 64) Cada par de pessoas de um grupo de 17 pessoas se
lâmpadas de 1 a n estão todas acesas e as lâmpadas de n + 1 a
correspondem sobre um entre 3 tópicos. Prove que há 3 pessoas
2n estão todas apagadas, e durante as quais todas as lâmpadas
que se correspondem sobre o mesmo tópico.
de n + 1 a 2n permanecem sempre apagadas.
53. Isabella dispõe de 8 torres em um tabuleiro de xadrez (8 × 8). De
Determine a razão
quantas maneiras ela pode arrumar essas peças no tabuleiro de
modo que não haja duas torres na mesma linha e nem na mesma
coluna?
3
N
.
M