MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
Exame Final de Época Especial – 18/Julho/2012
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica, Aeroespacial e LEANaval
Resolva e entregue os problemas em separado. Identifique todas as folhas da prova. Folhas
não identificadas não serão classificadas. Assinale na 1ª folha os problemas que resolveu.
Justifique todas as respostas. Não se limite a apresentar fórmulas e números. Apresente os
cálculos intermédios. O uso de calculadora gráfica é permitido. No entanto, ela não serve para
provar ou demonstrar algo que seja pedido no enunciado. Esta prova é com consulta e tem a
duração de 2 horas.
Problema I. (7,0 Val.) Considere os valores da função y = f(x) = exp(x) nos pontos de
abcissa x0 = 0 , x1 = 1 / 2 e x2 = 1 .
a) Obtenha o polinómio interpolador da função f(x) no intervalo [0,1].
b) Com base nos mesmos nós, calcule uma aproximação da derivada f ´(x) da
função, com a maior precisão possível, no ponto x=1/4.
c) Determine uma aproximação polinomial da função inversa x =ln (y) com base
nos mesmos três pontos.
d) Obtenha o valor aproximado de x =ln (2) por meio da interpolação inversa.
e) Qual o majorante do erro absoluto da interpolação inversa ? Compare-o com o
erro absoluto efectivamente cometido no cálculo da alínea d).
Problema II. (6,5 Val.) Pretende-se obter aproximações de π calculando o integral
∫
1
4
0
1+ x2
dx .
a) Calcule uma aproximação (I1) do integral pela regra de Simpson.
b) Obtenha o integral aproximado (I2) pela regra de 2 pontos de Gauss-Legendre.
c) Aproxime o integral (I3) pela regra do ponto médio composta com 2 subintervalos de igual comprimento.
d) Determine um majorante apropriado do erro absoluto associado ao método da
alínea c) no cálculo de I3. [Sug.: Admita que a derivada envolvida é monótona].
e) Calcule o erro relativo das aproximações I1, I2 e I3.
Problema III. (6,5 Val.) Pretende-se determinar um zero positivo da função f(x)=
exp(x) – x3.
a) Prove que existe um único zero no intervalo [1,3].
b) Partindo de x0=1.5 realize 3 iterações pelo método de Newton-Raphson para
encontrar uma aproximação (x3) do zero positivo de f(x).
c) Estabeleça um majorante do erro absoluto (tão pequeno quanto possível) da
aproximação (x3) ao zero da função f(x) no método de Newton-Raphson.
d) Defina um método do ponto fixo que seja convergente no intervalo [1,3]. Prove
que a função de iteração é contractiva neste intervalo.
e) Partindo de x0=2 realize 4 iterações com o método do ponto fixo convergente
para obter uma aproximação (x4) do zero pretendido.