Exame final–MIECom - 2006/2007
Métodos Numéricos – Duração 3 horas
Época normal – 25 de Junho de 2007
APRESENTE TODOS OS CÁLCULOS QUE TIVER DE EFECTUAR
1. A pressão máxima, P , em Kg/mm2 que um cabo metálico suporta é dada por
P (d) = 25d2 + ln(d)
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma
pressão de 1.5×10−4 Kg/mm2 . A partir da aproximação inicial d1 = 0.2, use o método iterativo
que recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior
a 0.1. Faça no máximo duas iterações.
2. Considere as seguintes observações relativas à função f
xi
fi
-3
-10
0
a
2
0
5
b
Sabendo que a aproximação polinomial de grau 1 dos mínimos quadrados é p1 (x) = −4 + 2x,
determine a e b.
3. A tabela seguinte representa o crescimento de uma cultura de bactérias num líquido ao longo
de 20 dias
Dia
0
4
12
18
20
o
6
n de bactérias ×10 67.4 78.6 91.7 107.0 112.6
Obtenha uma aproximação para o número de bactérias no 13 dia, usando um polinómio interpolador de grau 2.
4. Dada a seguinte tabela de valores de uma função f
0.0
xi
f (xi ) 1.00
0.2
0.83
0.4
0.71
0.6
0.62
0.8
0.36
1.0
0.30
R1
(a) Será possível calcular um valor aproximado para o integral I = 0 f (x) dx com base nos
valores da tabela, com um erro de truncatura que não exceda 10−3 usando a fórmula
composta do trapézio? Justifique.
(b) Calcule um valor aproximado para I usando a informação disponível sobre f .
5. Considere a seguinte tabela da função f (x)
xi
0.0
f (xi ) 0.0000
(a) Determine um valor aproximado de I =
pézio com h = 1.
1.0
0.8415
R2
0
Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho
2.0
0.9093
f (x) dx, usando a fórmula composta do tra-
V.S.F.F.
(b) Sabendo que um valor aproximado de I, usando a fórmula composta do trapézio com
h = 0.5 é T (0.5) = 1.2667, determine uma nova aproximação de I, usando a fórmula
composta de Simpson com h = 0.5.
6. Considere uma empresa que aluga x1 unidades de máquina a r1 unidades monetárias (u.m.)
por ano e contrata x2 unidades de trabalho a uma renda de r2 u.m. por ano para poder colocar
exactamente Q produtos no mercado, em que
√
x1 +
√
x2 = Q.
Para Q = 10, r1 = 4 u.m. e r2 = 2 u.m., pretende-se calcular x1 e x2 de modo a minimizar os
custos da empresa.
(a) Comece por formular esta situação como um problema de optimização sem restrições de
uma só variável (por exemplo, x2 em função de x1 ).
(b) Resolva o problema resultante usando o método DSC (baseado em interpolação quadrática). Implemente apenas uma iteração. Com a aproximação calculada identifique os
valores obtidos para a outra variável e para o custo mínimo. Na implementação do DSC
inicie o processo iterativo com a aproximação inicial x1 = 13 e use δ = 1.
7. Uma empresa fabrica e comercializa dois tipos de computadores portáteis. O custo de fabrico
de cada um deles decresce à medida que o número de unidades produzidas aumenta e é dado
pelas seguintes relações empíricas:
c1 = 5 +
1500
,
x1
c2 = 7 +
2500
,
x2
em que x1 e x2 são o número de unidades de cada um dos portáteis produzidos. O custo de
reparação e manutenção do equipamento usado para a produção depende do número total de
portáteis produzidos e é dado pela seguinte equação:
r = (x1 + x2 )[0.2 + 2.3 × 10−5 (x1 + x2 ) + 5.3 × 10−9 (x1 + x2 )2 ].
O preço de venda dos computadores é tanto menor quanto maior for o número de unidades
produzidas, de acordo com as seguintes relações:
p1 = 15 − 0.001x1 ,
p2 = 25 − 0.0015x2 .
(a) Formule o problema de optimização que consiste em determinar quantas unidades de cada
computador a firma deve produzir de modo a maximizar os lucros.
(b) Desprezando os custos de reparação e manutenção (r = 0), resolva o problema usando
o método quasi-Newton. Implemente a segunda iteração do método, sabendo que
(x1 , x2 )(1) = (20, 30), ∇f (1) = (−3.7490, −2.7763)T , (x1 , x2 )(2) = (23.7490, 32.7763) e
∇f (2) = (−2.6585, −2.3256)T , em que ∇f representa o gradiente da função a minimizar.
No critério de Armijo tome µ = 0.001. Não precisa de verificar o critério de paragem.
(c) Com base na aproximação calculada na alínea anterior ao número de computadores produzidos, a empresa terá lucro?
Departamento de Produção e Sistemas - Escola de Engenharia - Universidade do Minho
FIM