UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Métodos de Aproximação de Raízes de Funções
VICTOR VAZ DE CAMPOS
ANÁPOLIS
2015
VICTOR VAZ DE CAMPOS
Métodos de Aproximação de Raízes de Funções
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás, sob a orientação da Professora Ma.
Selma Marques de Paiva.
ANÁPOLIS
2015
Resumo
Este trabalho abrange algumas formas de aproximar raízes de funções utilizando métodos numéricos. Para isto,
apresentamos alguns pré-requisitos como: conjuntos, equação da reta, função, sequências, derivada, reta tangente,
erro de aproximação etc. Enunciamos quatro métodos para determinar os zeros de uma função: gráfico, bisseção,
Newton-Raphson e babilônico, com o intuito de resolver alguns problemas. Como ferramenta da pesquisa utilizamos recursos tecnológicos como softwares gráficos, planilhas eletrônicas e calculadora científica. Esta pesquisa
é bibliográfica e tem por objetivo principal comparar a eficiência dos métodos da bisseção e Newton-Raphson,
bem como as vantagens e desvantagens da utilização dos mesmos. Com o intuito de verificar que a matemática se
encontra em diversas áreas, mostramos algumas aplicações em física, química e engenharia.
Palavras-chave: Aproximação, Função, Raiz
Agradecimentos
À Deus, por não ter me deixado faltar saúde e ter me dado forças para realizar mais uma
conquista.
À minha família, que sempre esteve ao meu lado durante o curso.
À professora Selma Marques de Paiva, pela orientação, apoio e dedicação durante a execução deste trabalho. Pelo tempo disposto e contribuição à minha formação acadêmica, bem
como as discussões feitas no laboratório de matemática.
À todos os professores do curso de licenciatura em matemática da UEG/UnUCET por terem
me ensinado que a matemática é um desencadeamento de ideias e que o pleno entendimento de
um conceito depende da compreensão de conceitos anteriores, bem como pela paciência em
explicarem tais conceitos. Agradeço também a professora Eliane de Fátima Rodrigues Martins
que, mesmo com problemas de saúde, muito contribuiu e inspirou boa parte do trabalho.
Aos meus colegas e possíveis formandos 2014: Alessandro, Aymáas, Celiane, Daniela de
Jesus, Daniela Ferreira, Elizete, Érica, Evelyn, Juliana, Luana, Maysa, Mírian, Raquel, Renan
e Thaís, pela dedicação e compromisso durante o curso.
Agradeço a todos que, direta ou indiretamente, tornaram possível a realização deste trabalho.
“Não há ramo da matemática, por mais
abstrato que seja, que não possa um dia
vir a ser aplicado aos fenômenos do
mundo real”.
Nicolai Lobackevsky
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . .
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Conjuntos Numéricos . . . . .
1.2 Equação da Reta . . . . . . . . . . .
1.3 Função . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Sequência . . . . . . . . . . .
1.3.2 Derivada . . . . . . . . . . . .
1.4 Regras de Arredondamento . . . . .
1.5 Intervalo . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Erro de Aproximação . . . . . . . .
2 Apresentação dos Métodos . . . . . . . .
2.1 Método Gráfico . . . . . . . . . . .
2.2 Método da Bisseção . . . . . . . . .
2.3 Método de Newton-Raphson . . . .
2.4 Método Babilônico . . . . . . . . .
3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Problemas de Matemática Financeira
3.2 Problema de Física . . . . . . . . . .
3.3 Problema de Química . . . . . . . .
3.4 Problema de Engenharia . . . . . . .
Considerações Finais . . . . . . . . . . . .
Referências Bibliográficas . . . . . . . . .
Apêndice A — Calculadora Científica . . .
Apêndice B — Resolução Problema 1 . . .
Apêndice C — Resolução Problema 2 . . .
Apêndice D — Resolução Problema 3 . . .
Apêndice E — Resolução Problema 4 . . .
Apêndice F — Resolução Problema 5 . . .
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35
36
Introdução
Quem nunca calculou um zero de função? Ao menos na educação básica nos deparamos
com a conhecida “fórmula de Bháskara”, que nada mais é que um algoritmo para encontrar
as raízes da função quadrática. Aprofundando no assunto, temos a “fórmula de Cardano”,
que é um algoritmo para resolver equações cúbicas. A partir daí, polinômios do 4o grau, não
existem algoritmos que garantam um resultado exato para a raiz, entrando em cena os métodos
numéricos, que podem, e devem, ser usados com o objetivo de aproximar zeros de função,
com a tolerância desejada (na k-ésima casa decimal). Neste sentido, o presente trabalho pode
ser aplicado nos primeiros períodos dos cursos de ciências exatas, tendo como pré-requisito a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.
Muitos dos conceitos aqui tratados são estudados na disciplina de “Cálculo Numérico” e
para um melhor aproveitamento, faz-se necessário inserir as respectivas interpretações geométricas, pois necessitam de ilustração, como: o teorema de Bolzano, os métodos no sentido de
visualizar o comportamento da função, as tangentes etc. Obstante a isto, esta pesquisa quer
verificar a eficiência dos métodos da bisseção e de Newton-Raphson, bem como as vantagens e
desvantagens da utilização dos mesmos.
Este trabalho tem a pretensão de incentivar a pesquisa de tópicos de cálculo e suas aplicações, bem como ampliar a literatura, deixando algumas contribuições relevantes como a resolução dos problemas e um mini-manual ensinando a encontrar raízes de função pela calculadora
científica, feito no Apêndice A.
Usamos, como ferramentas de pesquisa, livros e recursos tecnológicos como softwares gráficos, planilhas eletrônicas e calculadora científica, com o intuito de que o leitor compreenda a
importância do assunto e que ao final da leitura perceba as várias faces do tema escolhido, isto
é, que há inúmeras aplicações cujo objetivo se reduz a encontrar raízes de funções.
No capítulo 1 apresentamos uma coletânea de alguns conteúdos importantes para o pleno entendimento do trabalho. Tais conteúdos são: conjuntos, conjuntos numéricos, equação da reta,
função, sequência, derivada da função polinomial, reta tangente, regras de arredondamento (de
acordo com a ABNT — Associação Brasileira de Normas Técnicas), intervalos da reta e erro de
aproximação. Queremos deixar claro que este capítulo é um apanhado da literatura matemática,
de maneira que, se o leitor se interessar, ou tiver maiores dúvidas durante a leitura dos capítulos
subsequentes, poderá consultar livros de matemática elementar, como por exemplo a “Coleção
Fundamentos de Matemática Elementar”, do autor Gelson Iezzi com a colaboração de diversos
coautores (11 volumes).
Já no capítulo 2, tratamos a respeito de alguns métodos de aproximação de raízes. Tais
métodos são divididos, segundo BARROSO, em “direto” e “iterativo”. O único método “direto”
abordado neste trabalho é o método gráfico. Outros, como o método da bisseção, método de
Newton-Raphson e método babilônico são “iterativos”, isto é, geram uma sequência de pontos
que convergem para o nosso objetivo: encontrar o zero da função.
No capítulo 3 mostramos algumas aplicações envolvendo zeros de função. Este capítulo,
tem por objetivo mostrar ao leitor algumas aplicações acerca do tema desta monografia. Foram
8
selecionados cinco problemas: dois de matemática financeira (sequências de pagamento), um
de física (lançamento horizontal), um de química (concentração de íons e pH) e um de engenharia (comprimento de cabo). Estes problemas foram resolvidos com a ajuda da tecnologia,
em particular, das planilhas eletrônicas e da calculadora científica, pelos métodos da bisseção e
Newton-Raphson, respectivamente. Quanto às resoluções, procuramos ser bem didáticos, explicando passo a passo todo o cálculo envolvido (a função objetivo, o zero da função, a derivada,
o método etc.), finalizando com a resposta do problema.
O uso da tecnologia para a resolução de métodos numéricos tem facilitado muito o processo,
no entanto, é necessário um conhecimento prévio acerca dos recursos tecnológicos escolhidos,
é o caso da calculadora científica e das planilhas eletrônicas. Neste sentido, achamos necessário preparar um material auto-explicativo que ensina os comandos da calculadora científica,
modelo “CASIO fx-82MS”, para a resolução dos problemas utilizando o método de NewtonRaphson. Quanto às planilhas eletrônicas, espera-se que o leitor tenha um conhecimento básico
das funções, já que as tabelas anexadas foram construídas utilizando o software “Microsoft
Office Excel”.
Capítulo 1
Conceitos Básicos
Pretendemos neste capítulo revisar os conceitos básicos que irão dar suporte à leitura dos
métodos numéricos enunciados no próximo capítulo. Os conceitos aqui tratados referem-se a
matemática elementar e alguns tópicos de cálculo diferencial.
1.1
Conjuntos
Segundo LIMA, em [9], um conjunto é uma coleção de objetos, conhecidos como elementos do conjunto. Normalmente, usam-se letras maiúsculas para denotar os conjuntos e letras
minúsculas para denotar os elementos do conjunto. As vogais formam um conjunto e pode ser
denotado da seguinte forma M = {a, e, i, o, u}.
Figura 1.1: M é o conjunto das vogais
Fonte: Elaborada pelo autor
1.1.1
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Conjunto dos Números Reais (R)
1.2
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }
Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
Q = {p/q, p ∈ Z, q ∈ Z ∗ }
p
I 6=
q
R=Q∪I
Equação da Reta
Segundo IEZZI, em [5], equação geral da reta pode ser definida através do seguinte teorema:
“A toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax+by+c = 0
onde a, b, c são números reais, a 6= 0 ou b 6= 0, e (x, y) representa um ponto genérico de r.”
10
A demonstração deste teorema encontra-se em [5], e se baseia na definição de pontos colineares. Assim, conhecendo a equação geral da reta ax + by + c = 0, admitindo b 6= 0 e isolando
y, obtemos a equação reduzida da reta:
c
a
y =− x+
b
b
Trocando − ab por m (Coeficiente Angular) e
obtemos a tradicional equação reduzida da reta:
c
b
(1.1)
por n (Coeficiente Linear) na equação (1.1)
y = mx + n
1.3
Função
Segundo IEZZI, em [6], o conceito de função pode ser escrito da seguinte forma: “Dados
dois conjuntos reais A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação
de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x ∈ A
existe um só y ∈ B tal que (x, y) ∈ f .”
Em notação matemática:
f é uma aplicação de A em B ⇐⇒ (∀x ∈ A)(∃! y ∈ B | (x, y) ∈ f )
Todo número cuja imagem é nula, recebe o nome de zero da função (ou raiz), em notação
f (x) = 0.
1.3.1
Sequência
Chama-se sequência xn de números reais uma função f : N −→ R, ou seja, uma função
cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Escreve-se:
(f (0), f (1), f (2), · · · , f (n), · · · )
Por convenção, escrevemos com outra notação:
(x0 , x1 , x2 , · · · , xn , · · · )
Dizemos que uma sequência converge quando existe um limite e escrevemos limn→∞ xn ou,
simplesmente lim xn . Isto é, dado um > 0, existe um índice n0 ∈ N tal que todos os termos a
partir de xn0 são valores aproximados de a com erro menor que . Em notação:
Dado > 0 ∃ n0 ∈ N; n > n0 ⇒ |xn − a| < 11
1.3.2
Derivada
Derivada da função polinomial
Toda função polinomial de grau n com coeficientes constantes ai ’s, é da forma:
p(x) =
n
X
ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
(1.2)
i=0
A derivada de (1.2) é definida por:
0
p (x) =
n
X
iai xi−1 = 0 + a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1
i=0
Reta Tangente
Dada a equação geral da reta y − y0 = m(x − x0 ), uma reta tangente ao ponto (x0 , y0 ) é
definida por:
y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 )
Onde f 0 (x0 ) é a derivada aplicada no ponto x0 , em outras palavras, é o coeficiente angular
m, ou melhor, a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
√
Exemplo. Na figura abaixo temos a função f (x) = x e a reta tangente, ao ponto (1, 1),
g(x) = x2 + 12 .
√
Figura 1.2: Reta tangente ao gráfico de f (x) = x no ponto (1, 1)
Fonte: Elaborada pelo autor
Nota: Gráfico construído utilizando o software “Winplot”
1.4
Regras de Arredondamento
Para esta seção pesquisamos diretamente nas normas da ABNT, em [1]. Tais regras são:
1a - “Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for
inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação.”
12
2a - “Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for
superior a 5, ou sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o
último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade.”
3a - “Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5
seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo
par mais próximo. Consequentemente, o último algarismo a ser retido, se for ímpar,
aumentará uma unidade.”
4a - “Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5
seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.”
1.5
Intervalo
Chama-se intervalo a todo subconjunto da reta real. Segundo LEITHOLD, em [7], o intervalo pode ser aberto, fechado, semiaberto a esquerda ou semiaberto a direita.
i. Intervalo aberto: É quando os extremos não pertencem ao subconjunto real.
Notação: (a, b) = {x|a < x < b}
ii. Intervalo fechado: É quando os extremos pertencem ao subconjunto real.
Notação: [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
iii. Intervalo semi-aberto a esquerda: É quando apenas o lado direito pertence ao subconjunto real.
Notação: (a, b] = {x|a < x ≤ b}
iv. Intervalo semi-aberto a direita: É quando apenas o lado esquerdo pertence ao subconjunto real.
Notação: [a, b) = {x|a ≤ x < b}
1.6
Erro de Aproximação
O erro que se comete numa aproximação é calculado pelo módulo da diferença entre o valor
real (y) e o valor aproximado (x). Em notação:
Erro = |y − x|
O erro é sempre um número positivo, chamado de tolerância e indicado por . Por exemplo:
Digamos que se queira aproximar uma raiz na 4a casa decimal, isto é equivalente a dizer que
queremos uma tolerância menor que 10−4 . Em Notação:
≤ 10−4
Finalizamos aqui este capítulo na esperança que o leitor tenha compreendido os conceitos
aqui tratados para serem utilizados no restante deste trabalho.
Capítulo 2
Apresentação dos Métodos
Este capítulo está dividido em quatro seções, tendo como principais referências BARROSO,
em [2], BOYER, em [3] e LIMA, em [8].
Primeiramente, abordaremos um método intuitivo que requer apenas a observação do gráfico
de duas funções.
Na segunda seção, discorreremos sobre o método da bisseção que consiste em “cortar” um
certo intervalo (a, b) ao meio com o objetivo de aumentar as chances de aproximar um zero
de função contido neste intervalo. Assim, cada vez que “cortamos” um intervalo e um novo
intervalo, iterativamente ao meio, estamos encontrando, com maior precisão, a raiz desejada.
Já na terceira seção, deduziremos a fórmula do método de Newton-Raphson ou método das
tangentes, já que utiliza este artifício para aproximar zeros de função.
Iremos também, deduzir um caso particular de Newton-Raphson: a fórmula do método
babilônico.
2.1
Método Gráfico
Uma raiz real de uma função é um ponto onde a função f (x) toca o eixo das abscissas
(eixo x). Para encontrarmos tal número é necessário esboçar o gráfico de f (x) e averiguar as
proximidades desse ponto que anula a função. Vamos enunciar o método:
Uma maneira de resolver este problema é encontrar duas funções g e h tal que:
g(x) − h(x) = f (x)
Assim, o ponto onde a função f zera é o ponto de interseção entre as funções g e h.
Digamos que a raiz da função f seja ξ, ou seja, f (ξ) = 0. O método acima garante encontrar um intervalo significativo que contenha esse zero de função uma vez que vale a seguinte
equivalência:
f (ξ) ⇐⇒ g(ξ) = h(ξ)
Exemplo. Encontrar intervalos significativos, que garantam boas aproximações, para as raízes
da equação 19 x3 − x + 13 = 0.
14
Com base no método gráfico, a raiz desejada pode ser encontrada através da comparação
dos gráficos das funções g(x) = 91 x3 e h(x) = x − 13 , visto que a equação 91 x3 − x + 31 = 0 é
equivalente a g(x) − h(x) = 0.
Figura 2.1: Interseções entre os gráficos de g(x) = 19 x3 e h(x) = x −
Fonte: Elaborada pelo autor
Nota: Gráfico construído utilizando o software “Winplot”
1
3
Assim, as interseções das funções g e h são as raízes da equação 19 x3 −x+ 31 = 0. Percebe-se,
pela análise do gráfico acima, que existem 3 raízes reais e distintas: ξ1 , ξ2 e ξ3 . Concluindo:
ξ1 ∈ (−4, −3); ξ2 ∈ (0, 1) e ξ3 ∈ (2, 3)
Os intervalos que encontramos estão bem construídos, já que as raízes da equação objetivo
são:
ξ1 = −3, 15452, ξ2 = 0, 33761 e ξ3 = 2, 81691
com uma aproximação de 5 casas decimais.
2.2
Método da Bisseção
Antes de apresentarmos o método da bisseção, vamos expor o teorema de Bolzano. Segundo
BARROSO, em [2], este teorema é uma condição necessária para a existência (ou não) de zeros
de função num certo intervalo (a, b).
Seja f (x) = 0 uma equação algébrica com coeficientes reais e x ∈ (a, b).
i. Se f (a) · f (b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando suas multiplicidades) no intervalo (a, b). Ver figura (2.2a);
ii. Se f (a) · f (b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando suas multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo (a, b). Ver figura (2.2b) e (2.2c).
15
(a) f (a) · f (b) < 0
(b) f (a) · f (b) > 0
(c) f (a) · f (b) > 0
Figura 2.2: Exemplos de gráficos envolvendo o teorema de Bolzano
Fonte: Adaptadas de BARROSO, 1987, p.92,94 e 95
Nos exemplos acima, verifica-se em (a) a primeira condição do teorema de Bolzano, visto
que no intervalo (a, b) existem um número ímpar de raízes. Já em (b) e (c) verifica-se a segunda
condição do teorema já que, respectivamente, não existe nenhuma raiz entre (a, b) e existe um
número par de raízes entre (a, b).
Motivados pelo teorema, vamos enunciar o método da bisseção:
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] e f (a) · f (b) < 0, queremos encontrar um
número ξ tal que f (ξ) = 0.
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio obtém-se x0 , havendo, pois, dois subintervalos, [a, x0 ] e
[x0 , b], a serem considerados.
i. Se f (x0 ) = 0, então, ξ = x0 (Ou seja, x0 já é a raiz);
ii. Caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos
extremos, ou seja, se f (a) · f (x0 ) < 0, então, ξ ∈ (a, x0 ); senão f (a) · f (x0 ) > 0 e
ξ ∈ (x0 , b).
O novo intervalo [a1 , b1 ] que contém ξ é dividido ao meio e obtém-se o ponto x1 . O processo
se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz ξ, com a precisão desejada.
16
Figura 2.3: Interpretação geométrica do método da bisseção
Fonte: Adaptado de BARROSO, 1987, p.107
Talvez por causa da semelhança com o teorema enunciado anteriormente, este método também é conhecido por método de Bolzano.
Análise da Convergência
Como a cada iteração dividimos ao meio o intervalo [a, b], na n-ésima iteração o comprimento do intervalo será:
|bn − an | =
b−a
2n
O mínimo de iterações necessárias é encontrado a partir da tolerância . Assim:
|bn − an | < b−a
<
2n
b−a
< 2n
b−a
ln
< n · ln 2
ln b−a
n>
ln 2
(2.1)
Assim, para calcularmos a raiz, com tolerância , de uma função serão necessárias, no mínimo, n iterações, onde n é dado pela expressão (2.1).
2.3
Método de Newton-Raphson
Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua e ξ seu único zero; as derivadas f 0 (x) e f 00 (x)
devem ser contínuas, com f 0 (x) 6= 0. Encontra-se uma aproximação xn para a raiz ξ fazendo
uma expansão em série de Taylor para f (x) = 0.
17
f (x) =
1
X
f (m) (xn )
(x − xn )m
m!
m=0
O somatório da equação acima é chamado de “polinômio de Taylor de ordem 1, centrado
em xn ”. Se desenvolvermo-lo, encontraremos um resultado bastante familiar, a reta tangente ao
ponto xn :
f (x) = f (xn ) + f 0 (xn )(x − xn )
Sabendo que a aproximação xn+1 é melhor que xn e f (xn+1 ) está suficientemente próximo
de zero:
(
f (x) = f (xn ) + f 0 (xn )(x − xn )
f (xn+1 ) = 0
(
f (xn+1 ) = f (xn ) + f 0 (xn )(xn+1 − xn )
⇒
f (xn+1 ) = 0
Obtemos:
f (xn+1 ) = f (xn ) + f 0 (xn )(xn+1 − xn ) = 0
xn+1 − xn = −
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
f (xn )
f 0 (xn )
(2.2)
A equação (2.2) é a fórmula do método de Newton-Raphson, também conhecido por método
das tangentes, visto que a aproximação se dá por retas tangentes. Na figura (2.4) observamos
que a reta tangente no ponto x1 nos dá uma aproximação melhor para a raiz ξ que no ponto x0 .
Para melhorarmos tal aproximação devemos construir uma reta tangente no ponto x2 e assim
sucessivamente, até que se obtenha uma aproximação com a precisão desejada.
Figura 2.4: Interpretação geométrica do método de Newton
Fonte: Adaptado de BARROSO, 1987, p.123
18
Escolha de x0
Segundo BARROSO, em [2], é condição suficiente para que o método de Newton-Raphson
venha a convergir que f 0 (x) e f 00 (x) sejam não nulas, e que preservem os sinal em [a, b]. A
escolha de x0 deve ser, tal que f (x0 ) · f 00 (x0 ) > 0.
Análise da Convergência
Sendo ξ o único zero em [a, b] e aplicando o limite na expressão de Newton-Raphson, obtemos:
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
lim xn+1 = lim xn − lim
ξ=ξ−
f (xn )
f 0 (xn )
f (ξ)
f 0 (ξ)
⇒ f (ξ) = 0
O que verifica a convergência do algoritmo de Newton-Raphson, isto é, converge para ξ.
Portanto, o método de Newton-Raphson consiste em:
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b], de classe C 2 (f 0 (x) e f 00 (x) contínuas) e ξ
um único zero neste intervalo. A equação (2.2) garante uma boa aproximação para ξ, isto é,
converge para a raiz de f .
2.4
Método Babilônico
Vamos encontrar um caso particular do método da seção anterior a partir da seguinte função
iterativa:
f (xn ) = x2n − a
(2.3)
f 0 (xn ) = 2xn
(2.4)
Derivando (2.3):
Substituindo (2.3) e (2.4) em (2.2), temos:
xn+1 = xn −
xn+1 =
x2n − a
2xn
2x2n − x2n + a
2xn
xn+1 =
x2n + a
2xn
19
a
xn
+
2
2xn
1
a
=
xn +
2
xn
xn+1 =
xn+1
(2.5)
A equação (2.5) nos dá uma boa aproximação para a raiz quadrada de a. Este resultado já era
conhecido pelos babilônicos (2000 a.C. - 600 a.C.) muito antes de Isaac Newton (1642-1727).
É um resultado prático, pois a melhor aproximação envolve apenas a média aritmética de xn e
a
.
xn
O algoritmo babilônico pode ser resumido através dos seguintes passos:
i. Inicie com um número arbitrário xn (Aproximação inicial);
ii. Substitua xn pela média aritmética de xn e xan ;
iii. Repita o segundo passo para obter uma melhor aproximação.
Vimos neste capítulo quatro métodos de aproximação de raízes de funções e apresentaremos
no capítulo seguinte algumas aplicações para que o leitor se familiarize mais com o conteúdo e
saiba aplicá-los em diferentes áreas.
Capítulo 3
Aplicações
Neste capítulo resolveremos aplicações de matemática financeira, física, química e engenharia. Utilizaremos como ferramentas para a resolução destes problemas a planilha eletrônica
“Microsoft Office Excel” e a calculadora científica (modelo CASIO fx-82MS), que serão resolvidos pelos métodos da bisseção e Newton-Raphson, respectivamente. Os enunciados dos
problemas foram retirados do capítulo três (Equações Algébricas e Transcendentes) da referência [2].
É recomendado o estudo do apêndice A antes da leitura deste capítulo, já que o mesmo
tem a pretensão de ensinar a resolver problemas de cálculo numérico, pelo método de NewtonRaphson, utilizando a calculadora científica.
Vale ressaltar que a escolha da aproximação inicial não foi tão rigorosa. Aconselhamos a
tentativa, sempre acompanhada do bom senso (teoria fundamentada e aplicação).
3.1
Problemas de Matemática Financeira
Problema 1. O preço à vista (PV) de uma mercadoria é R$ 312.000, 00 mas pode ser financiado
com uma entrada (E) de R$ 91.051, 90 e 12 (P) prestações mensais (PM) de R$ 26.000, 00.
Calcular os juros (j) sabendo que:
PV − E
1 − (1 + j)−P
=
j
PM
(3.1)
Antes da resolução do problema, façamos uma mudança de variável na equação (3.1). Cha−E
mando x = 1 + j e k = PPV M
, obtemos a seguinte função de x:
f (x) = 1 − x−P − k(x − 1)
(3.2)
f 0 (x) = P x−P −1 − k
(3.3)
Derivando (3.2):
Pelo método da bisseção
A tabela que resolve este problema pelo método da bisseção encontra-se no Apêndice B.
Pelo método de Newton-Raphson
Aproximação inicial: 2 (Armazenado na variável A)
21
Arredondamento: 4 casas decimais.
Substituindo (3.1) e (3.3) em (2.2) sendo P = 12 prestações mensais, obtemos:
xn+1 = xn −
1 − x−12 − k(x − 1)
12x−13 − k
(3.4)
Escrevendo (3.4) na calculadora científica:
A − ((1 − A−12 − B(A − 1)) ÷ (12A−13 − B))
Observação: A variável B é representada pela fração constante k =
P V −E
.
PM
Obtemos as seguintes iterações:
x0 = 2; x1 = 1, 1175; x2 = 1, 0712;
x3 = 1, 0592; x4 = 1, 0576; x5 = 1, 0575
∴ Resposta: Concluímos, pelos dois métodos, que a expressão (1 + j) vale 1, 0575. Logo,
os juros cobrados neste financiamento são de 0, 0575 ao mês (5,75% ao mês).
Problema 2. Quais serão os juros se o plano de pagamento for uma entrada de R$ 112.000, 00
e 18 prestações mensais de R$ 20.000, 00?
Pelo método da bisseção
A tabela que resolve este problema pelo método da bisseção encontra-se no Apêndice C.
Pelo método de Newton-Raphson
Aproximação inicial: 2 (Armazenado na variável A)
Arredondamento: 4 casas decimais.
Substituindo (3.1) e (3.3) em (2.2) sendo P = 18 prestações mensais, obtemos:
xn+1 = xn −
1 − x−18 − k(x − 1)
18x−19 − k
(3.5)
Escrevendo (3.5) na calculadora científica:
A − ((1 − A−18 − B(A − 1)) ÷ (18A−19 − B))
Observação: A variável B é representada pela fração constante k =
Obtemos as seguintes iterações:
x0 = 2; x1 = 1, 1000; x2 = 1, 0745;
P V −E
.
PM
22
x3 = 1, 0709; x4 = 1, 0708
∴ Resposta: Concluímos, pelos dois métodos, que a expressão (1 + j) vale 1, 0708. Logo,
os juros cobrados neste financiamento são de 0, 0708 ao mês (7,08% ao mês).
3.2
Problema de Física
Problema 3. Uma bola é arremessada para cima com velocidade v0 = 30 m/s a partir de uma
altura x0 = 5 m, em um local onde a aceleração da gravidade é g = −9, 81 m/s2 . Sabendo
que:
1
h(t) = x0 + v0 t + gt2
2
qual será o tempo gasto para a bola tocar o solo, desconsiderando o atrito com o ar?
Figura 3.1: Ilustração para a situação do Problema 3
Fonte: Elaborada pelo autor
A função correspondente ao problema é:
h(t) = 5 + 30t − 4, 905t2
(3.6)
Derivando (3.6):
h0 (t) = 30 − 9, 81t
Pelo método da bisseção
A tabela que resolve este problema pelo método da bisseção encontra-se no Apêndice D.
Pelo método de Newton-Raphson
23
Aproximação inicial: 10 segundos (Armazenado na variável A)
Arredondamento: 4 casas decimais.
Encontrar o tempo que a bola gasta para tocar o solo é o mesmo que encontrar a raiz de h(t).
A fórmula de Newton-Raphson associada ao problema é:
tn+1 = tn −
h(tn )
h0 (tn )
(3.7)
Escrevendo (3.7) na calculadora científica:
A − ((5 + 30A − 4, 905A2 ) ÷ (30 − 9, 81A))
Obtemos as seguintes iterações:
t0 = 10s; t1 = 7, 2761s; t2 = 6, 3965s; t3 = 6, 2806s; t4 = 6, 2786s
∴ Resposta: Concluímos, pelos dois métodos, que nesta situação, o tempo gasto para a bola
tocar o solo é de 6, 2786 segundos.
3.3
Problema de Química
Problema 4. O pH de soluções diluídas de ácido fraco é calculado pela fórmula:
[H3 O+ ]3 + Ka [H3 O+ ]2 − (Ka Ca + Kw )[H3 O+ ] − Kw Ka = 0
(3.8)
Onde:
pH = − log[H3 O+ ]
Ka : constante de dissociação do ácido;
Ca : concentração do ácido;
Kw : produto iônico da água.
Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 24◦ C, sabendo que:
Ka : 6, 5 · 10−10 M ;
Ca : 1, 0 · 10−5 M ;
Kw : 1, 0 · 10−14 M 2 .
A solução deste problema será dividida em duas partes: Encontrar a concentração de íons
ácido bórico (H3 O+ ). Depois, com este resultado, o pH de uma solução contendo ácido bórico
por meio da fórmula (3.9):
pH = − log[H3 O+ ]
(3.9)
Desta maneira, comecemos a mudança de variável. Adotemos [H3 O+ ] como x. Substituindo os dados do problema em (3.8) obtemos a seguinte função de x:
24
f (x) = x3 + 6, 5 · 10−10 x2 − 1, 65 · 10−14 x − 6, 5 · 10−24
(3.10)
O objetivo do problema é resolver f (x) = 0. Derivando (3.10):
f 0 (x) = 3x2 + 1, 3 · 10−9 x − 1, 65 · 10−14
Pelo método da bisseção
A tabela que resolve este problema pelo método da bisseção encontra-se no Apêndice E.
Pelo método de Newton-Raphson
Aproximação Inicial: 10−6 ;
Arredondamento: 2a casa decimal.
A fórmula de Newton-Raphson associada ao problema é:
xn+1 = xn −
f (x)
f 0 (x)
(3.11)
Escrevendo (3.11) na calculadora científica:
A−((A3 +6, 5E −10×A2 −1, 65E −14×A−6, 5E −24)÷(3A2 +1, 3E −9×A−1, 65E −14))
Obtemos as seguintes iterações:
x0 = 10−6 ; x1 = 6, 70 · 10−7 ; x2 = 4, 52 · 10−7 ; x3 = 3, 09 · 10−7 ; x4 = 2, 19 · 10−7 ;
x5 = 1, 64 · 10−7 ; x6 = 1, 37 · 10−7 ; x7 = 1, 29 · 10−7 ; x8 = 1, 28 · 10−7 ;
∴ Resposta: Assim, a concentração de íons ácido bórico é de 1, 28 · 10−7 . Substituindo este
resultado em (3.9), concluímos que o pH de uma sólução de ácido bórico é, pH ≈ 6, 8928.
3.4
Problema de Engenharia
Problema 5. Determinar o comprimento (L) de um cabo suspenso em dois pontos do mesmo
nível e distantes (2x) 400 m, com flecha (f ) de 100 m, sabendo que:
x
(3.12)
L = 2a sinh
a
sendo a a raiz da equação:
h
x
i
a cosh
−1 −f =0
(3.13)
a
25
Figura 3.2: Ilustração para a situação do Problema 5
Fonte: Adaptado de FRANCO, 2006, p.109
Substituindo os dados do problema em (3.13) obtemos:
200
− 1 − 100
f (a) = a cosh
a
Nosso problema decai em encontrar o zero de f (a). Derivando (3.14) obtemos:
200
200 200
0
f (a) = cosh
− 1 − a sinh
a
a
a2
(3.14)
(3.15)
A derivada (3.15) não é tão elementar, uma vez que exige conhecimentos básicos de cálculo
como a “regra do produto” e a “regra da cadeia para funções trigonométricas”, tópicos estes que
podem ser facilmente encontrados em livros de cálculo 1, por exemplo [7].
Pelo método da bisseção
A tabela que resolve este problema pelo método da bisseção encontra-se no Apêndice F.
Pelo método de Newton-Raphson
Aproximação inicial: 100;
Arredondamento: 4a casa decimal.
A fórmula de Newton-Raphson associada ao problema é:
xn+1 = xn −
f (a)
f 0 (a)
(3.16)
Escrevendo (3.16) na calculadora científica:
A − ((A(cosh(200 ÷ A) − 1) − 100) ÷ ((cosh(200 ÷ A) − 1) − A(sinh(200 ÷ A) × (200 ÷ A2 ))))
Obtemos as seguintes iterações:
a0 = 100; a1 = 139, 2338; a2 = 182, 2935; a3 = 208, 9070;
a4 = 214, 6665; a5 = 214, 8638; a6 = 214, 8640
26
∴ Resposta: Chegamos, pelos dois métodos, que a raiz da equação (3.13) é a = 214, 8640.
Substituindo este resultado em (3.12) e sabendo que x = 200, concluímos que L ≈ 460, 3164
metros.
Neste capítulo resolvemos cinco situações-problema pelos métodos da bisseção e NewtonRaphson. Para as considerações finais iremos comparar estes resultados e tirar algumas conclusões sobre algumas das vantagens e desvantagens da utilização de tais métodos.
Considerações Finais
Neste trabalho discorremos sobre quatro métodos de aproximação de raízes, com a preocupação de situar o leitor em diversos contextos matemáticos. Para isso, enunciamos os métodos
com o intuito de resolver as aplicações do capítulo três. Os cinco problemas deste capítulo
foram resolvidos por dois métodos, bisseção e Newton, com o objetivo de averiguarmos a eficiência dos mesmos, bem como suas vantagens e desvantagens.
A tabela abaixo mostra, resumidamente, quantas iterações foram necessárias para resolver
cada problema pelos dois métodos.
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Problema 5
Iterações
Bisseção Newton
13
5
13
4
16
4
10
8
20
6
Resultados do capítulo 3
Ao analisarmos esta tabela e o que abordamos neste trabalho, podemos concluir que:
1. O método de Newton tem uma convergência extraordinariamente rápida ao compará-lo
com o método da bisseção;
2. O algoritmo de Newton tem excessiva bagagem teórica, visto que o leitor deve compreender o conceito de derivada e associá-la à reta tangente;
3. Apesar do método da bisseção ser muito lento, ele é de fácil compreensão, isto é, não requer conceitos muito profundos, apenas conceitos básicos como intervalo de reta, divisão
do intervalo etc.
Percebe-se uma relação entre os métodos, isto é, um complementa o outro. Por exemplo,
para encontrarmos uma raiz podemos utilizar o método gráfico para uma primeira aproximação
e, assim, recorrer a um método iterativo para melhorá-la. Quanto aos outros métodos, caso o
leitor não conheça um intervalo significativo espera-se que utilize o método de Newton. Lembrando que o número de iterações depende sempre da aproximação inicial, por isso ressaltamos
a importância da análise de convergência bem como de uma boa escolha de x0 .
Este trabalho é mais um exemplo de que a matemática pode ser aplicada em outras áreas,
apresentamos aqui seu uso em física, química e engenharia. Percebemos também que o uso da
tecnologia para a resolução de métodos numéricos facilita e agiliza o processo de resolução dos
problemas.
Para finalizar, fica para o a leitor a sugestão de que ele pesquise outros métodos iterativos,
tais como: método das cordas, método Pégaso e o método da iteração linear.
Referências Bibliográficas
[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Online. NBR 5891: Regras de Arredondamento na Numeração Decimal. Rio de Janeiro, 1977. Disponível em
<https://www.abnt.org.br>, capturado em 08 ago. 2014.
[2] BARROSO, L. C. et al. Cálculo Numérico (Com Aplicações), 2a ed. São Paulo: Harbra
Editora, 1987. 366 p.
[3] BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza Furtado Gomide. 11a ed. São
Paulo: Edgard Blucher, 1974. 489 p.
[4] FRANCO, N. B. Cálculo Numérico, 2a ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 505 p.
[5] IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar 7: Geometria Analítica. 1a ed. São
Paulo: Atual Editora, 1977. 229 p.
[6] IEZZI, G., MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e
Funções. 3a ed. São Paulo: Atual Editora, 1977. 316 p.
[7] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica — Volume 1, 3a ed. São Paulo:
Harbra Editora, 1994. 685 p.
[8] LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio Volume 1. 2a ed. Rio de Janeiro: SBM,
1997. 233 p.
[9] LIMA, P. C. Fundamentos de Análise I. 1a ed. Belo Horizonte: CAED-UFMG, 2013. 131
p.
[10] PAPELARIA UNIVERSITÁRIA. Online. Calculadora Científica fx-82ms - Casio. Disponível em: <http://www.papelariauniversitaria.com.br/produtos/calculadora-cientifica-fx82ms-casio.htm>, Capturado em 03 set. 2014.
[11] SILVA, G. L. Online. Segredos da CASIO FX-82MS: Tudo o que o manual não ensina.
Engenharia Cotidiana, capturado do blog <http://www.engenhariacotidiana.com.br>, Obra
licenciada sobre Licença Creative Commons: 2012.
Apêndice A — Calculadora Científica
Neste apêndice iremos ensinar os comandos básicos da calculadora científica, modelo CASIO fx-82MS, para o cálculo aproximado de raízes de funções utilizando o método de NewtonRaphson. Adaptado de SILVA, referência [11].
Calculadora Científica Modelo CASIO fx-82MS
Fonte: Papelaria Universitária, capturada em 03 set. 2014
Usaremos√um exemplo para explicar. Digamos que nosso objetivo é encontrar uma aproximação para 5 2014. É equivalente a encontrar a raiz da função f (x) = x5 − 2014. Com um
pouco de esforço, percebemos que essa raiz se encontra no intervalo fechado [4, 5]. Consideremos o arredondamento na 4a casa decimal.
O primeiro passo é configurar a calculadora para fazer o arredondamento.
• Tecle MODE até aparecer FIX;
• Tecle 1 (Para selecionar FIX);
• Tecle 4 que são as 4 casas decimais.
O segundo passo é armazenar na calculadora a aproximação inicial, que no nosso caso é 4.
Assim, vamos armazenar essa aproximação na variável A.
• Digite 4;
• Tecle SHIFT;
• STO;
• A.
31
Agora, lembremos que a fórmula de Newton-Raphson é xn+1 = xn −
f (xn )
, onde:
f 0 (xn )
f (xn ) = x5n − 2014 e f 0 (xn ) = 5x4n
Onde xn é o valor gravado em A.
Feito isso, vamos escrever a fórmula de Newton-Raphson na calculadora. Cuidado, é um
procedimento que requer bastante cautela. Deve-se digitar a seguinte expressão na calculadora:
A − ((A5 − 2014) ÷ (5A4 ))
Lembrando que para digitar a letra A basta apertar a tecla ALPHA seguida de A.
Assim, apertando a tecla igual (=), teremos a primeira iteração (4, 7734). Para encontrar
as outras iterações devemos fazer o segundo passo novamente, só que com o 4,7734 no visor.
Ou seja, tecle SHIFT + STO + A. Depois é só apertar “igual” novamente. Todas as vezes que
apertar “igual” será feita uma iteração. No nosso exemplo temos:
1. 4, 7734
2. 4, 5946
3. 4, 5795
4. 4, 5794
A partir de 4, 5794 as iterações começam a repetir, pois a calculadora já encontrou todos os
possíveis resultados com √
4 casas decimais.
Daí concluímos que, 5 2014 = 4, 5794 com uma precisão de 4 casas decimais.
Apêndice B — Resolução Problema 1
k
a
b
x
f (a)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,0001
1,0001
1,0001
1,0001
1,0001
1,0313
1,0470
1,0548
1,0548
1,0567
1,0567
1,0572
1,0575
1,0575
2,0000
1,5001
1,2501
1,1251
1,0626
1,0626
1,0626
1,0626
1,0587
1,0587
1,0577
1,0577
1,0577
1,0576
1,5001
1,2501
1,1251
1,0626
1,0313
1,0470
1,0548
1,0587
1,0567
1,0577
1,0572
1,0575
1,0576
1,0575
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0431
0,0244
0,0072
0,0072
0,0022
0,0022
0,0009
0,0002
0,0002
f (b)
f (x)
b−a
-7,4982 -3,2571 0,9999
-3,2571 -1,1938 0,5000
-1,1938 -0,3061 0,2500
-0,3061 -0,0145 0,1250
-0,0145 0,0431 0,0625
-0,0145 0,0244 0,0312
-0,0145 0,0072 0,0156
-0,0145 -0,0031 0,0078
-0,0031 0,0022 0,0039
-0,0031 -0,0005 0,0020
-0,0005 0,0009 0,0010
-0,0005 0,0002 0,0005
-0,0005 -0,0001 0,0002
-0,0001 0,0000 0,0001
Resolução do problema 1 pelo método da bisseção
Fonte: Elaborada pelo Autor
Nota: Tabela construída pelo software “Microsoft Office Excel”
Apêndice C — Resolução Problema 2
k
a
b
x
f (a)
f (b)
f (x)
b−a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,0001
1,0001
1,0001
1,0001
1,0626
1,0626
1,0626
1,0704
1,0704
1,0704
1,0704
1,0704
1,0706
1,0708
2,0000
1,5001
1,2501
1,1251
1,1251
1,0938
1,0782
1,0782
1,0743
1,0724
1,0714
1,0709
1,0709
1,0709
1,5001
1,2501
1,1251
1,0626
1,0938
1,0782
1,0704
1,0743
1,0724
1,0714
1,0709
1,0706
1,0708
1,0708
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0388
0,0388
0,0388
0,0021
0,0021
0,0021
0,0021
0,0021
0,0009
0,0002
-9,0000
-4,0012
-1,5187
-0,3707
-0,3707
-0,1374
-0,0400
-0,0400
-0,0183
-0,0080
-0,0029
-0,0004
-0,0004
-0,0004
-4,0012
-1,5187
-0,3707
0,0388
-0,1374
-0,0400
0,0021
-0,0183
-0,0080
-0,0029
-0,0004
0,0009
0,0002
-0,0001
0,9999
0,5000
0,2500
0,1250
0,0625
0,0312
0,0156
0,0078
0,0039
0,0020
0,0010
0,0005
0,0002
0,0001
Resolução do problema 2 pelo método da bisseção
Fonte: Elaborada pelo Autor
Nota: Tabela construída pelo software “Microsoft Office Excel”
Apêndice D — Resolução Problema 3
k
a
b
t
h(a)
h(b)
h(t)
b−a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2,0000
5,0000
5,0000
5,7500
6,1250
6,1250
6,2188
6,2656
6,2656
6,2773
6,2773
6,2773
6,2773
6,2781
6,2784
6,2784
6,2785
8,0000
8,0000
6,5000
6,5000
6,5000
6,3125
6,3125
6,3125
6,2891
6,2891
6,2832
6,2803
6,2788
6,2788
6,2788
6,2786
6,2786
5,0000
6,5000
5,7500
6,1250
6,3125
6,2188
6,2656
6,2891
6,2773
6,2832
6,2803
6,2788
6,2781
6,2784
6,2786
6,2785
6,2786
45,3800
32,3750
32,3750
15,3284
4,7359
4,7359
1,8722
0,4080
0,4080
0,0386
0,0386
0,0386
0,0386
0,0154
0,0039
0,0039
0,0010
-68,9200
-68,9200
-7,2363
-7,2363
-7,2363
-1,0778
-1,0778
-1,0778
-0,3322
-0,3322
-0,1466
-0,0540
-0,0077
-0,0077
-0,0077
-0,0019
-0,0019
32,3750
-7,2363
15,3284
4,7359
-1,0778
1,8722
0,4080
-0,3322
0,0386
-0,1466
-0,0540
-0,0077
0,0154
0,0039
-0,0019
0,0010
-0,0005
6,0000
3,0000
1,5000
0,7500
0,3750
0,1875
0,0938
0,0469
0,0234
0,0117
0,0059
0,0029
0,0015
0,0007
0,0004
0,0002
0,0001
Resolução do problema 3 pelo método da bisseção
Fonte: Elaborada pelo Autor
Nota: Tabela construída pelo software “Microsoft Office Excel”
Apêndice E — Resolução Problema 4
k
a
b
0 1,00E-06 1,00E-08
1 5,05E-07 1,00E-08
2 2,58E-07 1,00E-08
3 1,34E-07 1,00E-08
4 1,34E-07 7,19E-08
5 1,34E-07 1,03E-07
6 1,34E-07 1,18E-07
7 1,34E-07 1,26E-07
8 1,30E-07 1,26E-07
9 1,30E-07 1,28E-07
10 1,29E-07 1,28E-07
x
f (a)
f (b)
5,05E-07 9,84E-19 -1,70E-22
2,58E-07 1,21E-19 -1,70E-22
1,34E-07 1,29E-20 -1,70E-22
7,19E-08 1,91E-22 -1,70E-22
1,03E-07 1,91E-22 -8,18E-22
1,18E-07 1,91E-22 -6,09E-22
1,26E-07 1,91E-22 -2,94E-22
1,30E-07 1,91E-22 -7,43E-23
1,28E-07 5,25E-23 -7,43E-23
1,29E-07 5,25E-23 -1,24E-23
1,28E-07 1,97E-23 -1,24E-23
f (x)
b−a
1,21E-19
1,29E-20
1,91E-22
-8,18E-22
-6,09E-22
-2,94E-22
-7,43E-23
5,25E-23
-1,24E-23
1,97E-23
3,57E-24
-9,90E-07
-4,95E-07
-2,48E-07
-1,24E-07
-6,19E-08
-3,09E-08
-1,55E-08
-7,73E-09
-3,87E-09
-1,93E-09
-9,67E-10
Resolução do problema 4 pelo método da bisseção
Fonte: Elaborada pelo Autor
Nota: Tabela construída pelo software “Microsoft Office Excel”
Apêndice F — Resolução Problema 5
k
a
b
x
f (a)
f (b)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
200,0000
200,0000
200,0000
212,5000
212,5000
212,5000
214,0625
214,8438
214,8438
214,8438
214,8438
214,8438
214,8438
214,8560
214,8621
214,8621
214,8636
214,8636
214,8640
214,8640
214,8640
300,0000
250,0000
225,0000
225,0000
218,7500
215,6250
215,6250
215,6250
215,2344
215,0391
214,9414
214,8926
214,8682
214,8682
214,8682
214,8651
214,8651
214,8643
214,8643
214,8642
214,8641
250,0000
225,0000
212,5000
218,7500
215,6250
214,0625
214,8438
215,2344
215,0391
214,9414
214,8926
214,8682
214,8560
214,8621
214,8651
214,8636
214,8643
214,8640
214,8642
214,8641
214,8640
8,6161
8,6161
8,6161
1,2736
1,2736
1,2736
0,4281
0,0108
0,0108
0,0108
0,0108
0,0108
0,0108
0,0043
0,0011
0,0011
0,0002
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
-30,8273
-15,6413
-5,1020
-5,1020
-2,0224
-0,4029
-0,4029
-0,4029
-0,1965
-0,0930
-0,0411
-0,0152
-0,0022
-0,0022
-0,0022
-0,0006
-0,0006
-0,0002
-0,0002
-0,0001
0,0000
f (x)
b−a
-15,6413 100,0000
-5,1020 50,0000
1,2736 25,0000
-2,0224 12,5000
-0,4029
6,2500
0,4281
3,1250
0,0108
1,5625
-0,1965
0,7813
-0,0930
0,3906
-0,0411
0,1953
-0,0152
0,0977
-0,0022
0,0488
0,0043
0,0244
0,0011
0,0122
-0,0006
0,0061
0,0002
0,0031
-0,0002
0,0015
0,0000
0,0008
-0,0001
0,0004
0,0000
0,0002
0,0000
0,0001
Resolução do problema 5 pelo método da bisseção
Fonte: Elaborada pelo Autor
Nota: Tabela construída pelo software “Microsoft Office Excel”