Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 11º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Dezembro/ 2009
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas
que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será
anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
JG
JG
JG JJG JG
1. Considere os vectores a e b representados no referencial o.n. O, e1 , e2 , e3 da figura.
(
JG JJG
O valor do produto escalar a . b é:
)
z
4
G
a
(A) −2
(B) 3
(C) 12
(D) 21
3 4
3
G
b
y
x
JG
2. O vector w ( k + 3, −2k ) , k ∈ \ , é perpendicular à bissectriz dos quadrantes pares, se k for
igual a:
(A) −1
(B) −
1
2
(C)
1
2
(D) 1
3. Considere o referencial ortonormado e a recta t, representados na figura.
Sabe-se que:
2
• A recta t tem uma inclinação igual a π radianos;
3
• O ponto (1,0) pertence à recta t.
A ordenada na origem da recta t é:
(A)
3
2
(B)
2
π
3
(C)
3
3
(D)
3
Internet: www.xkmat.pt.to
Página 1 de 4
G
G
GG
G
G
4. Dados os vectores u e v num referencial o.n., sabe-se que u.v = − 3 , u = 1 e v = 3 .
G
G
Sendo α a amplitude do ângulo formado por u e v , qual é o valor de sen 2α ?
(A) −
3
3
(B)
6
3
(C)
5. Se num triângulo rectângulo um cateto é
1
3
(D)
2
3
3
do outro, então, o seno de um dos ângulos
4
agudos do triângulo é:
(A)
4
5
(B)
3
4
(C)
2
3
(D)
1
2
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
G JG
1. Considere, num referencial ortonormado do plano O, e, f , os pontos A(−3,5) , B ( −2, 4 ) ,
G
C ( k − 1, −2 ) e o vector u ( −3, 2 ) .
(
)
JJJG
G
1.1. Calcule a amplitude do ângulo formado pelos vectores AB e u .
Apresente o resultado em graus, com aproximação às centésimas.
JJJG
1.2. Determine os valores de k ∈ \ , de modo que o ângulo formado pelos vectores AC
G
e u seja obtuso.
JG
G
1.3. Determine as coordenadas de um vector w perpendicular a u e com norma
47 .
1.4. Escreva uma equação vectorial da mediatriz do segmento de recta [AB].
2. Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos S ( 4, −6 ) , T ( −1, 2 ) e a recta
r : ( x, y ) = (−2,3) + k (5, −1), k ∈ \ .
2.1. Determine a inclinação da recta r. Apresente o resultado em radianos, com
aproximação às unidades.
2.2. Determine a equação reduzida da recta s, perpendicular a r, e que contém o ponto
T.
2.3. Verifique que o ponto S pertence à circunferência de equação ( x − 2 ) + ( y + 3) = 13
2
2
e escreva uma equação da recta tangente à circunferência no ponto S.
Internet: www.xkmat.pt.to
Página 2 de 4
3. Resolva, em
, a seguinte equação trigonométrica.
(1 − cos (2 x) ) × (
)
2 − 2senx = 0
2
4. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um trapézio rectângulo [ ABCD] .
Sabe-se que:
•
•
•
•
O ponto B pertence ao círculo trigonométrico;
O ponto T pertence ao eixo das abcissas;
O ponto C é ponto de intersecção da recta
OB com a recta r, de equação x = 1 ;
Os segmentos de recta [ AB] e [CD] são
perpendiculares ao eixo das ordenadas;
•
⎛
⎤ π ⎡⎞
α é a amplitude do ângulo BOT ⎜ α ∈ ⎥ 0, ⎢ ⎟ .
⎦ 2 ⎣⎠
⎝
4.1. Mostre que a área do trapézio [ ABCD] é dada, em função de α , pela expressão:
A(α ) =
(tgα − senα ) × (1 + cos α )
2
4.2. Determine a área do trapézio quando o triângulo [OAB] for isósceles.
4.3. Mostre que A(α ) =
tg × sen 2α
,
2
⎤ π⎡
∀α ∈ ⎥ 0, ⎢ .
⎦ 2⎣
FIM
Cotações:
2ª Parte
1ª Parte
Questões
Pontos
10 pontos
cada
questão
Internet: www.xkmat.pt.to
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.1.
2.2.
2.3.
3
4.1.
4.2.
4.3.
10
12
12
12
10
12
17
20
15
15
15
Página 3 de 4
Soluções
1ª Parte
1
B
2
A
3 4 5
D D A
2ª Parte
JJJG G
AB.u
−5
⎛ −5 ⎞
1.1. cos α = JJJG G ⇔ cos α =
⇔ α = cos −1 ⎜
⎟
26
AB × u
⎝ 26 ⎠
Assim α ≈ 168, 69º
JJJG G
20
⎤ 20
⎡
1.2. AC.u < 0 ⇔ −3k − 6 − 14 < 0 ⇔ −3k < 20 ⇔ k > −
⇔ k ∈ ⎥ − , +∞ ⎢
3
⎦ 3
⎣
G
1.3. Um vector ⊥ a u é por exemplo (2,3). Para ficar com norma
47 multiplicamos (2,3) por
47 e dividimos pela norma do vector (2,3).
JG
⎛
⎛ 2 611 3 611 ⎞
47
47
47 ⎞
w=
× (2,3) = ⎜⎜ 2
,3
,
⎟⎟ ou ⎜⎜
⎟
13 ⎟⎠
13
13 ⎠
⎝ 13
⎝ 13
⎛ 5 9⎞
1.4. Por exemplo ( x, y ) = ⎜ − , ⎟ + k (1,1), k ∈ \
⎝ 2 2⎠
2.1. mr = −
1
⎛ 1⎞
α = tg −1 ⎜ − ⎟
5
⎝ 5⎠
logo α ≈ 3 rad
2.2. y = 5 x + 7
2.3. Centro da circunferência C(2-3). Seja P um ponto genérico.
JJG JJJG
SP.CS = 0 ⇔ ( x − 4, y + 6).(2, −3) = 0 ⇔ 2 x + 3 y − 26 = 0
Uma equação da recta tangente: 2 x + 3 y − 26 = 0
3.
1 − cos 2 (2 x) = 0 ∨ 2 − 2senx = 0 ⇔ cos(2 x) = ±1 ∨ senx =
⎛π ⎞ 1
4.2. A ⎜ ⎟ =
⎝4⎠ 4
Internet: www.xkmat.pt.to
2
kπ
π
3
⇔ x=
∨ x = + k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ Z
2
2
4
4
Página 4 de 4