Análise Matemática II para ACI
Miguel Moreira
11 de Junho de 2007
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Aula 19
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Rectas no espaço
De…nição: Seja L a recta que passa pelo ponto P (x1 , y1 , z1 ) e tem a
direcção do vector v = (a, b, c ) e seja Q (x, y , z ) um ponto da recta.
A seguinte equação
!
PQ = tv, t 2 R
chama-se equação vectorial da recta que passa pelo ponto P e é
paralela ao vector v.
OBS: Sabendo que P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x, y , z ) e v = (a, b, c ) a
expressão em coordenadas cartesianas da equação vectorial da recta
anterior é (x, y , z ) = (x1 , y1 , z1 ) + t (a, b, c ) com t 2 R.
Exemplo: Determine a equação vectorial da recta L que passa pelo
ponto (1, 2, 4) e é paralela ao vector v = (2, 4, 4).
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Rectas no espaço
Proposição: Seja L a recta que passa pelo ponto P (x1 , y1 , z1 ) e tem
a direcção do vector v = (a, b, c ) e seja Q (x, y , z ) um ponto da
recta. Designam-se por equações paramétricas da recta que passa
pelo ponto P e é paralela ao vector v, as equações
x = x1 + at, y = y1 + bt e z = z1 + ct com t 2 R.
As equações
y y1
z z1
x1
=
=
a
b
c
designam-se por equações cartesianas (ou simétricas) da recta que
passa pelo ponto (x1 , y1 , z1 ) e é paralela ao vector (a, b, c ) .
x
Exemplo: Determine as equações paramétricas e cartesianas da recta
L que passa pelos pontos ( 2, 1, 0) e (1, 3, 5) .
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Planos no espaço
De…nição: Seja π o plano que passa pelo ponto P (x1 , y1 , z1 ) e tem
a direcção dos vectores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) e seja
Q (x, y , z ) um ponto desse plano. A seguinte equação
!
PQ = r u+tv, r e t 2 R
chama-se equação vectorial do plano que passa pelo ponto P e é
paralelo aos vectores u e v.
OBS: Sabendo que P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x, y , z ) , u = (u1 , u2 , u3 ) e
v = (v1 , v2 , v3 ) , a expressão em coordenadas cartesianas da equação
vectorial da recta anterior é
(x, y , z ) = (x1 , y1 , z1 ) + r (u1 , u2 , u3 ) + t (v1 , v2 , v3 ) com t 2 R.
Exemplo: Determine a equação vectorial do plano que passa pelo
ponto (1, 2, 4) e é paralelo aos vectores u = (2, 4, 4) e
v = (1, 2, 3).
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Planos no espaço
Proposição: Seja π o plano que passa pelo ponto P (x1 , y1 , z1 ) e
tem a direcção dos vectores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (u1 , u2 , u3 ) e seja
Q (x, y , z ) um ponto desse plano. Designam-se por equações
paramétricas do plano que passa pelo ponto P e é paralelo aos
vectores u e v, as equações
x = x1 + ru1 + tv1 , y = y1 + ru2 + tv2 e z = z1 + ru3 + tv3 com r e t 2
(1)
A eliminação dos parâmetros r e t das equações paramétricas (1)
conduz à equação
!
(2)
(u v) .PQ = 0
que expressa em coordenadas cartesianas se designa por equação
canónica (cartesiana) do plano que passa pelo ponto (x1 , y1 , z1 ) e é
paralelo aos vectores (u1 , u2 , u3 ) e (u1 , u2 , u3 ) .
OBS: Note-se que a equação (2) impõe a condição de
!
perpendicularidade entre u v e PQ.
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Planos no espaço
De…nição: Designa-se por equação geral de um plano às equações na
forma:
Ax + By + Cz + D = 0.
Exemplo: Determine as equações paramétricas, cartesiana e geral, do
plano π que passa pelo pontos (2, 1, 1) , (0, 4, 1) e ( 2, 1 4) .
De…nição: Sejam n1 e n2 dois vectores normais a dois planos. O
ângulo θ entre os dois planos satisfaz a equação
cos θ =
n1 .n2
.
k n k 1 k n2 k
Exemplo: Determine o ângulo entre os planos x
2x + 3y 2z = 0.
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2y + z = 0 e
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Distância entre pontos, planos e rectas
Teorema: A distância D entre um ponto Q (não pertencente ao
plano) e um plano é
!
PQ.n
!
D = projn PQ =
knk
em que P representa um ponto do plano e n um vector normal ao
plano.
Exemplo: Calcule a distância entre o ponto Q (1, 5,
3x y + 2z = 6.
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4) e o plano
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Distância entre pontos, planos e rectas
Teorema: A distância D entre um ponto Q e uma recta no espaço é
dada por
!
PQ u
D=
kuk
em que P representa um ponto da recta e u um seu vector director.
Exemplo: Calcule a distância entre o ponto Q (3,
x = 2 + 3t, y = 2t e z = 1 + 4t, t 2 R.
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1, 4) e a recta
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