UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Matemática
Teorema de Stewart
Daniela de Jesus Lopes Lemes
ANÁPOLIS
2014
1
Daniela de Jesus Lopes Lemes
Teorema de Stewart
Trabalho de Curso apresentado a Coordenação
Adjunta de TC, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Graduado no Curso de
Licenciatura em Matemática da Universidade
Estadual de Goiás sob a orientação do
professor: Msc. João Alves Bento.
ANÁPOLIS
2014
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3
DEDICATÓRIA
Este trabalho é dedicado ao meu filho:
Davi Bomfim Lemes de Lacerda.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por minha vida, pela oportunidade que me concedeu de
frequentar este curso de graduação em Matemática, pelas bênçãos em todos os momentos, por
ter me habilitado, me preparando para enfrentar situações difíceis durante o curso.
Agradeço aos meus pais que sempre buscaram o melhor pra mim, por todos os
esforços no objetivo de me educar, pela força que me deram quando me encontrava em
situações desagradáveis. Por terem se dedicado a minha formação profissional, sem eles não
estaria concluindo este curso.
Agradeço também ao meu orientador, que foi mais uma das bênçãos de Deus em
minha vida, pela paciência e dedicação que sempre demonstrou durante a construção do
trabalho, por todos os nossos encontros sempre mostrando bastante interesse neste trabalho,
assim me fortalecendo e incentivando a buscar novos conhecimentos, por ter acreditado no
meu potencial e por todos os seus esforços.
Agradeço ainda aos meus amigos e professores universitários, que sempre foram
motivos de alegria pra mim, por serem sempre meus amigos e companheiros.
5
“A melhor maneira que o homem dispõe para
se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.”
Pitágoras
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1: Triângulo Retângulo...............................................................................................10
Figura 1.2: Triângulo Retângulo com catetos unitários............................................................11
Figura 2.1: Triângulo acutângulo para as relações métricas.....................................................14
Figura 2.2: Triângulo obtusângulo para as relações métricas...................................................14
Figura 2.3: Triângulo acutângulo para o Teorema dos cossenos..............................................15
Figura 2.4: Triângulo obtusângulo para o Teorema dos cossenos............................................15
Figura 2.5: Mediana de um triângulo........................................................................................16
Figura 2.6: Altura de um triângulo acutângulo.........................................................................17
Figura 2.7: Altura de um triângulo obtusângulo.......................................................................17
Figura 3.1: Triângulo, Teorema de Stewart, demonstração feita por relações métricas...........19
Figura 3.2: Triângulo, Teorema de Stewart, demonstração feita pelo Teorema de Pitágoras..20
Figura 3.3: Triângulo, Teorema de Stewart, demonstração feita pelo Teorema dos cossenos.21
Figura 3.4: Bissetriz interna de um triângulo............................................................................22
Figura 3.5: Bissetriz externa de um triângulo...........................................................................23
Figura 3.6: Altura do triângulo, cálculo utilizando Teorema de Stewart..................................25
Figura 3.7: Diagonais do paralelogramo...................................................................................28
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RESUMO
O presente trabalho é uma abordagem sobre o Teorema de Stewart, a partir dos trabalhos de Tales, Pitágoras,
Euclides e Matthew Stewart, que foram grandes geômetras. Apresenta uma proposta de ensino da Geometria
Euclidiana, onde, relata a história dessa Geometria através de bibliografias sobre sua origem e sobre alguns
estudiosos dessa área. Com o objetivo de demonstrar o Teorema de Stewart, o qual relaciona os comprimentos
dos lados de um triângulo com suas cevianas, mostra um método de ensino, em que o aluno estuda a origem da
Geometria, os triângulos quaisquer, o Teorema de Stewart, suas demonstrações e aplicações. Com isso, a
aprendizagem é mais eficiente.
Palavras- Chaves: Aprendizagem; Cevianas; Geometria Euclidiana; Teorema de Stewart.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 9
Capitulo 1 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 10
Capitulo 2 - TRIÂNGULOS QUAISQUER ......................................................................... 14
2.1 Relações métricas ........................................................................................................... 14
2.2 Teorema dos cossenos .................................................................................................... 16
2.3 Cálculo das medianas de um triângulo ........................................................................... 17
2.4 Cálculo das alturas de um triângulo ............................................................................... 18
Capitulo 3 – TEOREMA DE STEWART, SUAS DEMONSTRACÕES E ...................... 20
APLICAÇÕES ........................................................................................................................ 20
3.1. Cálculo das bissetrizes internas de um triângulo ........................................................... 23
3.2. Cálculo das bissetrizes externas de um triângulo .......................................................... 24
3.3. Cálculo das alturas de um triângulo utilizando o Teorema de Stewart ......................... 26
3.4. O Teorema de Heron (consequência do cálculo das alturas de um triângulo) .............. 29
3.5. Teorema das diagonais do paralelogramo ..................................................................... 29
CONCLUSÃO......................................................................................................................... 31
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 32
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INTRODUÇÃO
As dificuldades do processo de ensino-aprendizagem de Geometria Euclidiana se
explica pelo modo de como este está sendo trabalhado nas escolas. Pensar nesse problema,
leva a uma reflexão sobre metodologias favoráveis para esse processo.
Ensinar Geometria não é apenas apresentar Teoremas para os alunos decorarem, é
preciso contar a História. Quando se aprende a origem de um determinado conceito, o aluno
desenvolve uma motivação, nasce aí uma curiosidade, o que o leva à investigação sobre o
assunto. Isso contribui para o desenvolvimento da sua aprendizagem. A Geometria tem
função essencial na formação dos indivíduos, possibilitando uma interpretação mais completa
do mundo, uma comunicação de idéias e uma visão mais equilibrada da Matemática
(MACHADO, 2010).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) indicam a demonstração matemática
para o ensino fundamental e médio nas escolas básicas. Relatam que as demonstrações em
Matemática são importantes para o desenvolvimento dos alunos sobre estudos de teoremas,
pois assim eles percebem as conjecturas e as relações vinculadas ao discurso teórico.
Os maiores problemas relacionados à aprendizagem da Geometria Euclidiana, são as
formas e metodologias de como ela é ensinada. Registrar figuras e fórmulas geométricas é
uma atividade bastante complexa para os alunos. Foi a partir desta situação- problema que
este trabalho foi concebido, isto é, pensar em uma maneira de resgatar os alunos nas aulas de
Geometria Euclidiana, para uma melhor concepção do conteúdo, um raciocínio mais
argumentativo e dedutivo sobre esta Geometria. Assim, o trabalho traz as demonstrações e as
aplicações do Teorema de Stewart como uma proposta de ensino da Geometria Euclidiana,
visto que a prova é o que sustenta a Matemática. É através dela que acreditamos na validade
de propriedades descobertas há muito tempo e que desenvolvemos novas teorias.
O primeiro capítulo apresenta uma revisão da literatura sobre a história da
Geometria. O segundo capítulo trata-se dos triângulos quaisquer, suas relações métricas e
cevianas. O terceiro capítulo descreve o Teorema de Stewart, suas demonstrações e aplicações
no cálculo das bissetrizes internas e externas e das alturas de um triângulo, e no Teorema da
diagonal do paralelogramo. Por fim, são apresentadas as conclusões a que se chegou sobre a
importância da demonstração do Teorema de Stewart, e através desta, o desenvolvimento de
processos cognitivos como: a visualização, a construção e o raciocínio, que são instrumentos
indispensáveis para o desenvolvimento do aprendizado dos alunos. Assim, os alunos poderão
utilizar o Teorema de Stewart para deduções de outros Teoremas.
10
Capitulo 1 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Segundo os testemunhos de filósofos, como Heródoto e Aristóteles, a Geometria
nasceu no Egito, pela necessidade de medir terras, que eram divididas para a agricultura e os
proprietários tinham que pagar tributos conforme o tamanho do terreno. Os agricultores
egípcios cultivavam as terras que ficavam as margens do rio Nilo, elas eram divididas em
lotes, e quando chovia o rio transbordava alagando a terra, quando a água voltava ao nível
normal deixava o solo fertilizado, mas as marcas dos lotes e boa parte das terras eram
carregadas a cada cheia, tornando-se necessário refazer as demarcações para que os lotes
fossem redistribuídos para os agricultores (EVES, 2011). Mas nesta época tinha-se pouco
conhecimento sobre a Geometria. Foi nos últimos séculos do segundo milênio a.C., que o
homem começou a indagar os „„porquês‟‟ das coisas, com um pensamento mais crítico sobre
certos conceitos, tais como: „„por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são
congruentes?‟‟ e „„por que o diâmetro de um círculo divide este círculo ao meio?‟‟ E não se
tinha naquela época respostas cientificas que satisfizessem estas perguntas, foi após este
momento que começou na Matemática o desenvolvimento de experiências como as
demonstrações e deduções (EVES, 2011).
Os processos empíricos do Oriente Antigo, suficientes o bastante para responder
questões na forma de como, não mais bastavam para as indagações mais científicas
na forma de por quê. Algumas experiências com o método demonstrativo foram se
consubstanciando e se impondo, e a feição dedutiva da matemática, considerada
pelos doutos como sua característica fundamental, passou ao primeiro plano. Assim,
a Matemática, no sentido moderno da palavra, nasceu nessa atmosfera de
racionalismo e em uma das novas cidades comerciais localizadas na costa oeste da
Ásia Menor. Segundo a tradição a Geometria demonstrativa começou com Tales de
Mileto, um dos “sete sábios” da Antiguidade, durante a primeira metade do sexto
século a.C., (Howard Eves, p. 94, 2011).
Tales de Mileto foi um estudioso do século VI a.C., que dedicou uma parte da sua vida
aos estudos, trabalhou boa parte da sua vida como mercador, só então depois de ter
conseguido bastante riqueza, Tales dedicou-se aos estudos, hoje é considerado o primeiro
personagem das descobertas matemáticas, ele visitou o Egito e a Babilônia e de lá trouxe para
a Grécia o estudo da Geometria, ao invés de somente transmitir, introduziu um conceito
revolucionário: As verdades matemáticas precisam ser demonstradas. E assim revolucionou o
pensamento matemático começando as primeiras demonstrações matemáticas. Ele fundou a
escola jônica onde se deu origem à filosofia grega. É muito conhecido na Geometria pelo fato
de ter visto que uma pirâmide projetava sua sombra no chão, e que através desta sombra ele
conseguiu calcular a medida da altura da pirâmide. E é possível que ele tenha desenvolvido
alguns resultados na Geometria como:
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1. Qualquer diâmetro efetua a bisseção do círculo em que é traçado.
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
3. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
4. Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais,
então esses triângulos são congruentes.
5. Um ângulo inscrito num semicírculo é reto.
Após Tales de Mileto, o próximo famoso e conhecido estudioso de Matemática,
na área da Geometria, foi Pitágoras. Nasceu por volta de 572 a.C., na ilha Egéia de Samos.
Pouco se sabe sobre a vida de Pitágoras. Segundo relatos sobre a vida do filósofo, existe uma
grande possibilidade de Pitágoras ter sido um discípulo de Tales, pois, era 50 anos mais novo
do que ele, e morava perto de Mileto. Pitágoras fundou uma sociedade secreta dedicada ao
estudo dos números conhecida como escola pitagórica, onde se estudava filosofia,
matemática, ciências naturais e também era uma irmandade unida por ritos secretos e
cerimoniais. A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias
características do homem e da matéria são os números inteiros (EVES, 2011).
Ele fez estudos sobre triângulos retângulos que mais tarde ficou conhecido como
Teorema de Pitágoras e é considerado uma das principais descobertas da Matemática, o
Teorema de Pitágoras descreve as relações entre os lados de um triângulo retângulo. O
triângulo retângulo é formado por uma hipotenusa e dois catetos (perpendiculares), conforme
a Figura 1.1.
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
Figura 1.1: Triângulo Retângulo.
Fonte: Autora.
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa”, ou seja:
Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números
irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi
12
, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos
unitários.
A partir da Figura 1.2, temos:
FIGURA 1.2: Triângulo Retângulo com
catetos unitários. Fonte: Autora.
Vários estudiosos contribuíram para a formação do conhecimento geométrico, mas foi
Euclides que fez o primeiro grande resumo de todo conhecimento matemático que se conhecia
antes dele. Euclides foi um matemático da escola platônica em Alexandria, é conhecido como
o pai da Geometria, nasceu na Síria aproximadamente em 330 a.C., e realizou seus estudos em
Atenas. Usando apenas uma régua não-graduada e um compasso, Euclides fez as primeiras
construções gráficas e descobriu muitas relações entre os elementos geométricos. Dentre suas
obras, a principal foi “Os Elementos”. Esta obra foi a mais estudada depois da Bíblia. “Os
elementos” foi dividido em 13 volumes: 5 abordam a geometria plana, 3 enfocam os números,
1 destaca a teoria das proporções, 1 tem como núcleo central os incomensuráveis, e os 3 finais
discorrem sobre a geometria no espaço.
Para a realização deste trabalho a Geometria mais estudada foi a Euclidiana, que é
a geometria, em até três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria, ou
seja, em “Os Elementos”, ela assim como toda a Matemática, nasceu da necessidade humana
de compreender aquilo que estar ao seu redor. Nela o polígono que mais se destaca é o
triângulo, não existe alguma referência precisa de como e quando ele surgiu, mas se sabe que
foi durante a evolução do homem que houve a necessidade de se criar o triângulo, que é uma
figura geométrica construída através de três segmentos ligados por três pontos não colineares,
13
com seu espaço interno limitado e a soma dos ângulos internos igual a 180°. Pode-se
relacionar as medidas dos lados do triângulo com suas cevianas. Os triângulos possuem várias
propriedades e dentre elas o Teorema de Stewart que será mais detalhado a seguir.
Matthew Stewart, foi um matemático do século XVIII, nasceu numa pequena ilha
chamada Bute na Escócia, sua mais famosa obra: some general theorems of considerable use
in the higher parts os mathematics. Foi professor na faculdade de Edimburgo, onde em 1746
apresentou a proposição II, hoje conhecida como: Teorema de Stewart, que relaciona os
comprimentos dos lados de um triângulo com os comprimentos de suas cevianas. Cevianas de
um triângulo são segmentos que possuem uma de suas extremidades no vértice, e a outra na
reta suporte (reta que contém o lado) oposta a este vértice.
Neste trabalho o Teorema de Stewart, será analisado, demonstrado e aplicado. A partir
de vários estudos feitos sobre o Teorema de Stewart, e de estudos de conhecimentos prévios
para a sua demonstração, este pode ser utilizado para provas de outros teoremas, tais como: o
cálculo das bissetrizes internas e externas de um triângulo, o cálculo da altura de um triângulo
e o Teorema da diagonal do paralelogramo. O Teorema de Stewart foi escolhido para a
realização deste trabalho, pelo fato de abranger vários conceitos e propriedades de triângulos
quaisquer, assim induzindo os alunos ao estudo destes conceitos, e ainda por ser um teorema
aplicável para a demonstração de outras preposições envolvendo triângulos quaisquer.
As demonstrações nas aulas de Matemática contribuem para que os alunos tenham um
raciocínio lógico, partindo de premissas verdadeiras e usando resultados já provados para
chegar a uma determinada conclusão; esta capacidade inclui também a compreensão do que é
uma demonstração, dos conceitos de conjecturas e teoremas e não podem ser separadas do
processo de descoberta e de formulação de postulados. Assim fica claro a importância do uso
de demonstrações para o aprendizado da Geometria Euclidiana (MACHADO, 2006). Quando
os alunos conseguem entender a formulação de um determinado cálculo, eles se sentem
motivados com os sucessos de seus aprendizados, isso contribui muito para as suas
formações, pois, assim eles não se limitam em aprender decorando, pelo contrário, eles
buscam novos conhecimentos, ficando mais fácil a compreensão e aguçando o raciocínio
argumentativo e dedutivo. O desafio intelectual pode ser um dos motivos pelo qual existem,
em diversos casos, várias demonstrações para um mesmo teorema. Esse desafio pode estar
relacionado com as outras funções da demonstração, por exemplo, o desafio para
compreender ou para verificar (no caso de ainda não existir uma demonstração), ou
simplesmente o desafio de encontrar uma demonstração mais bela.
14
Capitulo 2 - TRIÂNGULOS QUAISQUER
Os triângulos podem ser classificados segundo a medida do seu lado. No triângulo
escaleno: todos os lados são diferentes; no triângulo isósceles: dois lados são congruentes, e
no triângulo equilátero: todos os lados são congruentes. O triângulo pode ainda ser
classificado segundo seus ângulos internos. O triângulo retângulo, que tem um ângulo que
mede 90º; O triângulo obtusângulo, que tem um ângulo maior que 90° e o triângulo
acutângulo, que tem todos os ângulos menores que 90°.
Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir
a condição de existência, é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que
a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas
medidas (desigualdade triangular). O triângulo possui várias propriedades importantes e
dentre elas apresentamos o Teorema de Stewart, que relaciona os comprimentos dos lados de
um triângulo com o comprimento de sua ceviana, sendo aplicável a uma ceviana qualquer.
São exemplos de cevianas: a mediana, que é um segmento que liga um vértice ao ponto médio
do lado oposto a este vértice; a bissetriz que também é um segmento de reta com origem em
um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice, sendo que
ela divide o ângulo correspondente ao vértice em dois ângulos côngruos; e a altura que é um
segmento com origem em uns dos vértices do triângulo, e extremidade na reta suporte do lado
oposto, sendo-lhe perpendicular.
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2.1 Relações métricas
a) a) Num triângulo
acutângulo
qualquer o quadrado do lado
oposto a um ângulo agudo é igual
à soma dos quadrados dos outros
dois lados, menos duas vezes o
produto de um desses lados pela
Figura 2.1: Triângulo acutângulo para as
relações métricas. Fonte: Autora.
projeção do outro sobre ele.
Seja h a altura do ∆ABC
Hipótese
Tese
⇒
A< 90°, m= proj. de b sobre c
b) Num triângulo obtusângulo
qualquer, o quadrado do lado
oposto ao ângulo obtuso é igual à
soma dos quadrados dos outros
lados, mais duas vezes o produto
de um desses lados pela projeção
do outro sobre ele. (ou sobre a
Figura 2.2: Triângulo obtusângulo para
as relações métricas. Fonte: Autora.
reta que o contém).
Seja h a altura do ∆CAB
Hipótese
A>90°, m= proj. de b sobre c
Tese
⇒
16
Demonstração (conjunta ─ para os dois casos)
Conduzindo CD = h, a altura relativa ao lado c, vem:
∆ CDB:
(1)
∆ CDA:
(2)
Substituindo (2) em (1), temos:
⇒
■
2.2 Teorema dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por
eles formado.
Figura 2.3:Ttriângulo acutângulo para o
Teorema dos cossenos. Fonte: Autora.
No ∆ ABC:
No ∆ CDA:
(1)
⇒
Substituindo m em (1):
Assim para os dois casos temos:
Figura 2.4: Triângulo obtusângulo para o
Teorema dos cossenos. Fonte: Autora.
No ∆ ABC:
No ∆ CDA:
(2)
⇒
Substituindo m em (2):
■
17
2.3 Cálculo das medianas de um triângulo
Sendo dados os lados a, b e c de um triângulo, calcular as três medianas: ma, mb,
mc:
Figura 2.5: Mediana de um triângulo.
Fonte: Autora.
Seja m = ma a mediana relativa ao lado
e Y=90°
∆ADC, α obtuso ⇒
(1)
∆ADB, β agudo ⇒
(2)
Somando (1) e (2) membro a membro, temos:
⇒
⇒
⇒
Analogamente:
e
Se α for reto então o triângulo é isósceles, assim basta aplicar a relação de
Pitágoras.
⇒
⇒
,
Ou ainda se α for reto, temos que b = c, assim aplicando na equação das medianas,
temos:
⇒
, então:
■
18
2.4 Cálculo das alturas de um triângulo
Num triângulo ABC, conhecem-se as medidas dos lados a, b e c. Calcule as três
alturas.
c-m
Figura 2.6: Altura de um triângulo
acutângulo. Fonte: Autora.
Figura 2.7: Altura de um triângulo
obtusângulo. Fonte: Autora.
Δ ADC:
Relação métrica Δ ABC ⇒
(1)
⇒
(2)
Substituindo (2) em (1):
(3)
Fazendo:
(notar que p é semi-perímetro do triângulo) temos:
Então substituindo em (3) temos:
19
Analogamente:
e
■
20
Capitulo 3 – TEOREMA DE STEWART, SUAS DEMONSTRACÕES E
APLICAÇÕES
O Teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um
triângulo e o tamanho de uma ceviana qualquer do triângulo. Este nome é em honra do
matemático escocês Matthew Stewart que publicou o Teorema de Stewart em 1746.
Dado um triângulo ABC e sendo D um ponto do lado
diz que:
.
então o Teorema de Stewart
Demonstração (1)
Dado um triângulo ABC e Sendo a, b, e c os tamanhos dos lados do triângulo.
Sendo z a ceviana do lado c . Se a ceviana divide o lado c em dois segmentos de tamanho x e
y, e D um ponto do lado
, utilizando relações métricas de triângulos quaisquer temos que:
Figura3.1:,
Triângulo,
Teorema
de
Stewart,
demonstração feita por Relações
métricas. Fonte:
Autora.
ΔBCD:
(1)
∆ACD:
(2)
Multiplicando (1) por y e (2) por x, temos:
(1)
(2)
Somando (1) e (2) membro a membro (1) e (2), temos:
, como (x + y)=c , então:
■
21
Demonstração (2):
Dado um triângulo ABC e sendo a, b, e c os tamanhos dos lados do triângulo. Seja h a
altura do ∆ ABC. Se a ceviana divide o lado c em dois segmentos de tamanho m e n, e D‟,
utilizando o Teorema de Pitágoras, segue que:
Figura 3.2: Triângulo,Teorema de Stewart,
demonstração feita pelo Teorema de Pitágoras. Fonte:
Autora.
Do triângulo BCD, temos:
⇒
(1)
Sendo d a medida do segmento
, e analisando o triângulo DCD‟, temos que:
⇒
(2)
Substituindo (2) em (1), temos:
⇒
(3)
Do ∆ ACD‟, temos que:
⇒
(4) e do ∆ DCD‟, temos que:
⇒
(5)
Substituindo (4) em (5), temos:
(6)
De (3) e (6), temos:
22
Multiplicando (7) por m e (8) por n.
(9)
Somando membro a membro as duas equações do sistema (9):
, como
, então:
■
Demonstração (3)
Seja o ângulo formado pelo seguimento d e m e o ângulo
seguimento d e n, então :
, pela lei dos cossenos temos:
formado pelo
Figura 3.3: Triângulo, Teorema
de Stewart, demonstração feita
pelo Teorema dos cossenos.
Fonte: Autora.
Multiplicando a 1° equação por n e a 2° por m:
(1)
Somando membro a membro das equações do sistema (1), temos:
, como (m +n) = c logo:
■
23
3.1. Cálculo das bissetrizes internas de um triângulo
No triângulo ABC conhece-se as medidas dos lados a, b e c. Pode-se determinar
as medidas das três bissetrizes internas, observe a figura abaixo:
Dados a, b e c e incógnitas: x, y e s.
Figura 3.4: Bissetriz interna num triângulo
acutângulo. Fonte: Autora.
Seja: s = sa a bissetriz relativa ao ângulo A. O Teorema da bissetriz interna diz
que: uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais
aos lados adjacentes.
⇒
⇒
e
Considerando a relação de Stewart no ΔABC
Substituindo x e y pelos valores calculados acima vem:
Sendo p o semi-perímetro do triângulo ABC:
24
e analogamente:
e
■
3.2. Cálculo das bissetrizes externas de um triângulo
Num triângulo ABC conhece-se as medidas dos lados a,b e c. Pode-se determinar
as medidas das três bissetrizes externas, observe a figura ao lado. Considere s = sa.
Figura 3.5: Bissetriz externa num triângulo obtusângulo.
Fonte: Autora.
Dado: a, b, c incógnitas: x, y, sa
O Teorema da bissetriz externa diz que: sempre que a bissetriz de um ângulo
externo interromper a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecido nesta mesma reta,
dois seguimentos proporcionais aos lados desse triângulo.
Considerando a relação de Stewart no ∆ ASC
25
E substituindo x e y pelos valores calculados acima, vem:
, sendo P o semi-perímetro do ∆ ABC,
■
26
3.3. Cálculo das alturas de um triângulo utilizando o Teorema de Stewart
Seja o triângulo ABC um triângulo qualquer. Considerando h = hc .
Figura 3.6: Altura do triangulo, cálculo utilizando o Teorema de Stewart.
Fonte: Autora.
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras aos triângulos BHC e AHC, obtém-se,
respectivamente:
(1)
e
(2)
Subtraindo-se membro a membro as equações (1) e (2), tem-se:
(4)
Como:
⇒
Substituindo (5) em (4), temos:
⇒
(6)
(6), e substituindo (6) em (5), temos:
(5)
27
(7)
Aplicando o teorema de Stewart ao triângulo ABC, tem-se que:
(8)
Substituindo (6) e (7) em (8), obtém-se
(9)
Somando-se e subtraindo-se
, ao lado direito de (9), obtém-se:
28
(10)
Como a, b e c, são os lados do triângulo ABC, o seu perímetro será dado por:
Logo:
(11)
(12)
(13)
Substituindo as igualdades (11), (12), e (13) em (10), temos:
De maneira análoga, tem-se que:
■
29
3.4. O Teorema de Heron (consequência do cálculo das alturas de um triângulo)
A área S de um triângulo ABC qualquer e dada por:
Sendo:
o semi-perímetro do triângulo e a, b, e c as medidas dos lados.
Como a área S do triângulo ABC pode ser calculada pelo semi-produto de um lado pela altura
relativa a esse lado, tem-se que:
Como:
■
Então:
3.5. Teorema das diagonais do paralelogramo
A soma dos quadrados das medidas dos lados de um paralelogramo é igual à soma
dos quadrados das medidas das diagonais. Seja um paralelogramo MNOP, de lados
MN=PO=a e NO=MP=b, MO=d1 e NP=d2 as diagonais do paralelogramo MNOP, e
MC=CO=d1/2 e NC=CP=d2/2. Aplicando o Teorema de Stewart nos triângulos MOP e MNP,
obtém-se respectivamente:
Figura 3.7: Diagonais do quadrilátero.
Fonte: Autora.
Analisando o triângulo MNP e aplicando o Teorema e Stewart, temos que:
30
(1)
Do triângulo MOP, temos:
(2)
Somando (1) e (2), temos:
■
31
CONCLUSÃO
Ressaltou-se neste trabalho a demonstração do Teorema de Stewart com o
propósito de estimular o professor/aluno ao interesse pelas demonstrações geométricas,
utilizando-a como metodologia de ensino para a melhoria do processo de ensinoaprendizagem. Enfatizou-se que saber a origem de um determinado conceito é essencial para
o aprendizado dos alunos.
A história da Geometria é uma ferramenta muito útil para motivar e envolver os
alunos na compreensão dos conceitos geométricos. É importante que eles saibam o porquê
do surgimento desses conceitos; as transformações e as evoluções pelas quais eles passaram,
tornando-se essenciais para o enriquecimento da aprendizagem.
A partir da revisão da literatura sobre a história da Geometria Euclidiana e estudos
sobre triângulos quaisquer, foi demonstrado o Teorema de Stewart. Este Teorema foi
analisado e aplicado em outros teoremas da Geometria Euclidiana; sendo também uma
ferramenta muito útil para outros estudos envolvendo triângulos quaisquer e suas
demonstrações; ele pode motivar os leitores (alunos e professores) à prática dedutiva
(demonstrações de fórmulas), influenciando no processo ensino-aprendizagem.
Durante o processo da demonstração do Teorema de Stewart, trabalha-se
progressivamente a hipótese, surgindo um raciocínio que leva à organização de pensamentos
por meio de relações construídas a partir dessa hipótese, isto resulta em justificativas
necessárias para a prova da hipótese inicial, ou seja, a tese. Com este método de ensino o
aluno consegue verificar, explicar, descobrir, comunicar, ter um desafio intelectual,
sistematizar e aplicar o Teorema de Stewart.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMOULOUD, Sadd Ag, Prova e demonstração em Matemática: Problemática de seus
processos de ensino e aprendizagem. Grupo de trabalhos em Educação Matemática
GT19,UFRRJ, PUC, São Paulo: 2007.
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de
Matemática. 10 ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.
BOYER, C., História da Matemática. Tradução Elza Gomide, São Paulo: Edgar Blucher,
1974.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental (1998). Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF.
CHAU, William, Applications of Stewart’s Theorem in Geometric Proofs, Artigo
apresentado ao Instituto de Ciências Matemáticas da Universidade de New York: 1967.
CRUZ, A. C.; PEROTA, M. L. L. R.; MENDES, M. T. R. Elaboração de referências: (NBR
6023/2002). 2. Ed. Rio de Janeiro: Interciência; Niterói; Intertexto, 2002.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José N., Fundamentos de Matemática Elementar, volume: 9,
7° Edição, Atual Editora, São Paulo: 1997.
EVES. Howard, Introdução a história da Matemática, Campinas, São Paulo: UNICAMP,
1995.
FERREIRA, Fernanda A., Demonstração em Geometria Euclidiana: Uma sequencia
didática como resumo para o seu ensino. Universidade Católica de Minas Gerais, Belo
Horizonte: 2008.
FREITAS, Vinicius P., Alguns teoremas clássicos da geometria sintética e aplicações.
Dissertação apresentada ao programa de mestrado, Universidade Federal do Amazonas,
Manaus: 2013.
FREITAS, José Luiz Magalhães de, Entrevista: Raymond Duval e a teoria dos registros
de representação semiótica. Revista Paranaense Educação Matemática, Campo Mourão: v.2,
n.3, 2013.
MACHADO, Lisa B., dos Santos, Ensinar e aprender geometria: Um estudo caso em uma
turma de 3°ano do ensino fundamental, Monografia apresentada ao curso de graduação em
pedagogia, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre: 2010.
MACHADO, Sílvia, A Aprendizagem da Demonstração matemática no 8º ano no
contexto de utilização do Geometers Sketchpad, Revista Educação e Matemática n°06, Tese
de mestrado apresentada na Universidade de Lisboa 2006.
MACEDO, D. Maria Ribeiro. Resgatando alguns teoremas clássicos da geometria plana.
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática em
33
Rede Nacional, do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, Juazeiro
do Norte, 2014.
OLIVEIRA, Carlos Alberto Maziozeki de,Os teoremas de Stewart e de Heron e o cálculo
da área de um triângulo em função dos lados. Dissertação Apresentada ao programa de
mestrado, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2014.
OLIVEIRA, Juliana A. de, Teorema de Pitágoras, Monografia Apresentada ao curso de
Espacialização em Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte: 2008.
PAVANELLO, Regina Maria; ANDRADE, R.N.G., Formar professores para as ensinar
Geometria: Um desafio para as licenciaturas em Matemática, Educação Matemática em
Revista n.11, Edição Especial, 2002.
ROQUE, Tatiana; PITOMBEIRA, João Bosco, Tópicos de historia da matemática, SBM,
2012.
UNIVERSIDADE CAMPOS DO RIO CLARO BIBLIOTECA, Elaboração de Referências
segundo ABNT/NBR 6023:2002, Rio Claro: 2013.
34