PUC-RIO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Discreta
Lista 5
1a Ache constantes A, B, C tais que:
1
A
B
C
= 1−3x
+ 1−2x
+ 1−2x
2
1−3x1−2x 2
Sugestão: Multiplique por 1 − 3x1 − 2x 2 e compare coeficientes.
b Calcule o coeficiente de x 8 em
1
1−3x1−2x 2
.
2Se a n+1 = 7a n n ≥ 0 e a 2 = 98, ache a 100 .
3Seja a n o número de conjuntos não vazios em 1, 2, . . . , n que:
a Não contém números consecutivos,
b Contém o número n.
Seja b n o número de conjuntos satisfazendo a e que não contém n.
Seja F n = a n + b n + 1.
Exemplo:
a 1 = 1, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8, . . .
b 1 = 0, b 2 = 1, b 3 = 2, b 4 = 4, b 5 = 7, b 6 = 12, . . .
F 1 = 2, F 2 = 3, F 3 = 5, F 4 = 8, F 5 = 13, F 6 = 21, . . .
Escreva a n e b n em termos de a n+1 , b n+1 e F n .
4Considere as soluções a n da equação a n+3 = 5a n+2 + 7a n+1 + 9a n .
Sejam u n , v n e w n as soluções tal que:
u 0 = 1, u 1 = 0, u 2 = 0; v 0 = 0, v 1 = 1, v 2 = 0 e w 0 = 0, w 1 = 0, w 2 = 1.
Mostre que para quaisquer constantes K, L e M, a n = Ku n + Lv n + Mw n é a única
solução com a 0 = K, a 1 = L e a 2 = M.
5Qual a relação entre frações sucessivas na sequencia 11 , 53 , 19
, 71
, ...?
11
41
an
Por exemplo, escrevendo a fração como b b será que a n+2 = Ka n+1 + La n (e o mesmo
para b n+2 ) ? Ache as fórmulas para a n e b n .
DICA: pode ser mais fácil resolver os dois casos começando com 1, 0, . . . e 0, 1, ...
combinando estes dois casos usando a idéia da Questão 4.
1
6Na figura, AD = 1, AX = 1 e
AB
AD
=
BC
BX
.
Calcule AB.
7Seja F 0 , F 1 , . . . a sequência de Fibonacci, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
Mostre que F 0 + 2F 1 + F 2 = F 4 , F 0 + 3F 1 + 3F 2 + F 3 = F 6 ,
F 0 + 4F 1 + 10F 2 + 4F 3 + F 4 = F8, . . .
8Se a n = C2 n + D (n ≥ 0; C e D constantes) ache α e β tais que .a n+2 = αa n+1 + βa n .
2