Lista 1
Integrais Duplas
Versão do 31-03-2014
Integrais Iteradas
1) Calcule as seguntes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
a) f(x,y) = y+2x, R=[-1,2]*[-1,4].
(V=75/2 u.v.)
116
(V=
u.v.)
3
(V= -12 u.v.)
(V= 12 u.v.)
21
ln (2) )
(V=
2
b) f(x,y) = x²+y², R=[2,4]*[-1,1].
c) f(x,y) = x-3y², R=[0,2]*[1,2].
d) f(x,y) = 2x+5y, R=[0,1]*[0,2].
e) f(x,y)= x/y +y/x, R=[1,4]*[1,2].
III Casos de regiões D
2) Ache o volume do sólido limitado pela superfície f(x,y) =
e pelos planos coordenados.
3) Dado
4
2
∫0 ∫ y y cos x 5 dx dy
(V=
1
1 2
4− x² − y pelos planos x=3, y =2
9
16
43
u.v.)
2
, inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
(V=1/10 sin(32) u.v.)
4) Determine o valor do volume do sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y=1-x² e y = x²-1 e
pelos planos x+y+z=2 e 2x+2y-z+10 =0.
(V= 64/3 u.v., Paula Ferreira de Almeida)
5) Calcule a integral
∫D ∫ x e y dA
y =x², e a reta y=x.
onde D é a região limitada pelo eixo-y, pela reta x =1, a parábola
3 e
− u.v., Paula Ferreira de Almeida)
(V=
2 2
6) Encontre o volume do sólido formado por
quadrante.
r=3 sin (θ),r =3 cos(θ) e z =3, limitado pelo primeiro
27
(V=
u.v.)
2
Áreas de regiões D
7) Ache as áreas das seguintes regiões D usando integrais duplas.
a) x=y³, x+y=2, y=0.
b) y= 2x , y =x , primeiro quadrante.
c) r=cos(2 θ) , primeiro quadrante.
d) r= 3 sin θ , r=2−sin(θ)
e) y=x³,y=4x, primeiro quadrante.
(A=5/4 u.a.)
(A=2/3 u.a.)
π
(A= 8 u.a.)
(A= 3 √ 3 u.a.)
(A= 4 u.a.)
Massa, Centro de Massa, Momentos de inércia de uma lâmina
8) Ache o centro de massa da lâmina na forma da região interior à semi-circunferência
r =a cos  , 0≤≤ /2, e cuja medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer
ponto é proporcinal à medida de sua distância à origem. A massa é medida em kg, e a distância em m.
((3/5a, 9/40a) u.c.)
9) Calcule o momento de inércia Ix e or raio de giração rx de uma chapa plana com densidade
proporcional à distância do eixo-x, delimitada pela parabola y=x²+2 e por 0≤x≤4 .
(Ix = 4373 kg, rx = 7.39 m)
10) Uma lâmina ocupa a parte do disco x²+ y²≤1 no primeiro quadrante. Determine o centro de
massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto do eixo x.
3 3π
) u.c.)
( (
8, 16
11) Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região delimitada por
x
y=e , y=0, x=0, e x=1 , e tem função densidade ρ( x , y )= y .
2
(e³−1)
e +1
,4
) u.c.)
( (
2(e²−1) 9 (e²−1)
Integrais Duplas em coordenadas polares
12) Determine a área da cardióde r =2 1sin  .
(A = 6 
u.a.)
13) Encontre o volume da esfera de raio a usando coordenadas polares)
4 3
π a u.v.)
3
onde R é a região do primeiro quadrante interior a x²+y² = 4

e² u.v.)
(V=
2
(V=
14) Calcule a integral
∫D ∫ e √ x² + y² dx dy
e exterior a x²+y² =1.
15) Determine o volume do sólido que está sobe o paraboloide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do
3π
cilindro x²+y²=2x.
(V=
u.v., Fernando Pisani Pimentel)
2
16) Calcule
∫D ∫ ln( x 2+ y 2) dx dy
circunferências x²+y²= 1 e x²+y²=4.
Áreas de regiões = f  x , y 
, onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as
π
V= 4 ( 4 ln(4 )−3) u.v.).
15) Ache a área do parabolóide z = x²+y² cortado pelo plano z=1.
(A=
 3/ 2
5 −1 u.a.)
6
16) Determine a área da parte da superfície z=x²+2y que está acima da região triangular R no plano xy
com vértices (0,0), (1,0), e (1,1).
1
 27−5  5 u.a.)
(A=
12
17) Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da catenária
x = 0 até x = a, em torno do eixo x.
(A= 9  2 u.a.)
y=a cosh  x /a de