7a Lista de Exercı́cios - Geometria Analı́tica 1. Estude a posição relativa das retas nos seguintes casos: ( y+z =3 (a) r : X = (1, −1, 1 + λ(−2, 1, −1) e s : x+y−z =6 ( ( x−y−z =2 2x − 3y + z = 5 (b) r : es: x+y−z =0 x + y − 2z = 0 (c) r : x+1 2 = y 3 = z+1 2 e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) 2. Determine m para que as retas r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) + λ(1, m, 2m) sejam coplanares, e neste caso, estude sua posição relativa. 3. Estude a posição da reta e do plano a seguir: (a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x − y − z = 2 x−1 = y = z e π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0) (2 x−y+z =0 (c) r : e π : X = (0, 12 , 0) + λ(1, − 12 , 0) + µ(0, 1, 1) 2x + y − z − 1 = 0 (b) r : 4. Calcule m para que a reta r : X = (1, 1, 1) + λ(2, m, 1) seja paralela ao plano π : X = (0, 0, 0) + α(1, 2, 0) + β(1, 0, 1). 5. Calcule m, n ∈ R para que a reta r : X = (n, 2, 0) + λ(2, m, m) esteja contida no plano π : x − 3y + z = 1. 6. Calcule a posição relativa de π1 e π2 nos seguintes casos: (a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1) π2 : X = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 0) + µ(−1, −1, −2) (b) π1 : 2x − y + 2z − 1 = 0 e π2 : 4x − 2y + 4z = 0 7. Calcule m para que os planos π1 : X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1, m) e π2 : 2x + 3y + 2z − 5 = 0, sejam paralelos distintos. 8. Verifique se as retas r e s são ortogonais; em caso afirmativo, se são também perpendiculares. (a) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1, −1) (b) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) (c) r : x−1 2 = y−3 5 = z 7 e s : X = (1, 3, 0) + λ(0, −7, 5) 9. Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas ( x = 2 + λ x+y =2 r: y=λ e . z=0 z = −1 + λ 1 10. Ache equações paramétricas da reta que passa por P = (1, −1, 0) e é perpendicular ao plano π : X = (1, −1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1). 11. Ache uma ( equação geral do plano π que passa por P = (1, 1, −1) e é perpendicular à x − 2y + z = 0 reta r : . 2x − 3y + z − 1 = 0 12. Ache o simétrico do ponto P = (1, 4, 2) em relação ao plano π : x − y + z − 2 = 0. 13. Ache o co-seno do ângulo entre as retas: (a) r : X = (b) r : x = (− 52 , 1−y 2 = 2, 0) + z 3 λ( 21 , ( 3x − 2y + 16 = 0 1, 1) e s : 3x − z = 0 ( 3x + y − 5z = 0 es: 2x + 3y − 8z = 1 14. Ache a medida em radianos do ângulo entre a reta e o plano dados: ( x=0 (a) ez=0 y=z x = 1 + λ (b) y = λ e x + y − z − 1 = 0. z = −2λ 15. Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos: (a) 2x + y − z − 1 = 0 e x − y + 3z − 10 = 0 (b) X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) e x + y + z = 0 16. Ache a reta que passa pelo ponto (1, −2, 3) e que forma ângulo de 45o e 60o respectivamente com o eixo dos x e o eixo dos y. 17. Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano π : x + y + z = 0 e que forma 45o com o plano π1 : x − y = 0. 2