Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Fı́sica
CF 367 - Métodos de Fı́sica Teórica II
Primeira Lista de Exercı́cios
Cálculo Variacional
1. Mostre que o caminho de menor distância (geodésica) entre dois pontos no espaço tridimensional, de coordenadas (x1 , y1 , z1 ) e (x2 , y2 , z2 ) é o segmento de reta que os une.
2. (a) Mostre que o comprimento de um arco de ciclóide após um ciclo completo do cı́rculo
é 8a;
(b) Mostre que a área sob um arco de ciclóide após um ciclo completo é 3πa2 .
3. Resolva o problema da braquistócrona com atrito ´´seco´´ (cinético). Para simplificar,
considere apenas a componente normal do peso da partı́cula de massa m, de forma que a força
de atrito cinético seja
dx
Fat = µmg T
ds
onde µ é o coeficiente de atrito, e
dy
dx
x̂ + ŷ
T=
ds
ds
é o vetor tangente à trajetória. Para mais detalhes, veja N. Ashby, W. E. Brittin, W. F. Love
e W. Wyss, American Journal of Physics 43 (1975) 902-905.
4. Considere a superfı́cie de revolução obtida pela rotação de uma curva ligando os pontos
(x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) em torno do eixo y. Encontre a curva que leva à uma superfı́cie de mı́nima
área.
5. Escreva a Lagrangiana e as equações de Euler-Lagrange para uma partı́cula de massa m
sujeita a um potencial V (r, θ, φ) em coordenadas esféricas polares.
6. O pêndulo esférico consiste de uma massa m pendurada por um fio de comprimento
`, livre para mover-se segundo os ângulos polar θ e azimutal φ. Escreva a Lagrangiana e as
equações de Euler-Lagrange.
7. Ache a razão entre o raio da base e a altura que minimiza a área total da superfı́cie de
um cilindro de volume fixo.
8. Seja uma elipse de equação
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
1
Ache o retângulo de maior área que esteja inscrito nessa elipse. Mostre que, para tal retângulo,
a área é 64% da área da elipse, aproximadamente.
9. Resolva o problema isoperimétrico considerando que a curva no plano é parametrizada
pela distância s medida ao longo da curva: x = x(s), y = y(s), onde 0 < s < `, ` sendo o
comprimento da curva. Dica: a área a ser maximizada é
A=
Z
ydx =
Z
`
y
0
dx
ds
ds
Você encontrará duas equações de Lagrange com a variável independente s, e associadas ao
mesmo multiplicador de Lagrange λ
10. Seja um pêndulo sı́mples no plano. (a) Ache a Lagrangeana do sistema, a equação de
vı́nculo, e escreva as equações de Euler-Lagrange. (b) Ache a força de tensão no fio por meio
do multiplicador de Lagrange.
11. Uma partı́cula de massa m está constrangida a movimentar-se num plano horizontal,
ao longo de uma haste sem atrito e que gira com velocidade angular constante ω.
(a) Ache a Lagrangeana, a equação de vı́nculo, e escreva as equações de Euler-Lagrange.
(b) Resolva as equações de Euler-Lagrange, a partir das condições iniciais r(0) = r 0 , ṙ(0) =
0, determinando a posição radial em função do tempo. (c)
(c) Ache, pelo multiplicador de Lagrange, a força exercida sobre a partı́cula pela haste.
12. Resolva, pelo método de Rayleigh-Ritz, a equação diferencial yxx = −λy, usando uma
combinação linear
ȳ(x) = Ȳ1 φ̄1 + Ȳ2 φ̄2
onde
φ̄1 (x) = 1 − x2 ,
φ̄2 (x) = x2 (1 − x2 )
Mostre que o autovalor aproximado difere do exato por menos de 0, 002%.
13. Use o método de Rayleigh-Ritz para obter uma aproximação da primeira raiz da função
de Bessel J0 (x), usando as seguintes funções tentativa:
(a) y(x) = Ȳ (1 − x2 );
(b) ȳ(x) = Ȳ1 φ̄1 + Ȳ2 φ̄2 , onde
φ̄1 (x) = 1 − x2 ,
φ̄2 (x) = (1 − x2 )(x2 + α)
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