GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Intersecções – Planos com Bissectores
© antónio de campos, 2010
INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por
duas rectas) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas
paralelas.
r2
i2
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β1,3, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β1,3.
Os traços das duas rectas
situados no β1,3, Q e Q’, são
dois pontos que pertencem aos
dois planos.
s2
Q2
Q’2
x
Q’1
Q1
s1
r1
i1
INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por
duas rectas) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas
paralelas.
r2
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β2,4, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β2,4.
Os traços das duas rectas
situados no β1,3, I e I’, são dois
pontos que pertencem aos dois
planos.
s2
i1 ≡ i2
x
I’1 ≡ I’2
s1
r1
I1 ≡ I2
Um plano θ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto P do 1.º Diedro. A
recta h é horizontal, tem 3 cm de cota e faz um ângulo de 40º (a.e.) com o Plano Frontal
de Projecção. A recta f é frontal, tem 4 cm de afastamento e faz um ângulo de 55º (a.e.)
com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i
e i’, rectas de intersecção do plano θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
f2
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β1,3, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β1,3.
Os traços das duas rectas
situados no β1,3, Q e Q’, são
dois pontos que pertencem aos
dois planos.
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β2,4, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β2,4.
Os traços das duas rectas
situados no β1,3, I e I’, são dois
pontos que pertencem aos dois
planos.
i2
i’1 ≡ i’2
Q’2
h2
I1 ≡ I2
Q2
P2
x
i1
Q1
Q’1
f1
P1
h1
I’1 ≡ I’2
Um plano α está definido por duas rectas oblíquas e paralelas, r e s. A recta r
contém os pontos A (2; 2; 3) e B (0; -1; 4). A recta s contém o ponto C (0; 3; 1).
Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção
do plano θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
y≡ z
I1 ≡ I2
s2
i2
Os traços das duas rectas
situados no β1,3, I e I’, são dois
pontos que pertencem aos dois
planos.
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β1,3, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β1,3.
Como o plano θ intersecta o
eixo x e as duas rectas de
intersecção são concorrentes
no eixo x, basta encontrar um
outro ponto. O traço da recta
r situado no β1,3, Q, é um ponto
que pertence aos dois planos.
r2
i’1 ≡ i’2
Para definir a recta de
intersecção do plano θ com o
β2,4, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e
ao β2,4.
B2
Q2
A2
B1 ≡ C2
x
i1
Q1
A1
C1
r1
s1
I’1 ≡ I’2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO
(definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus
traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
fα
Para definir a recta de
intersecção do plano α com o
β1,3, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano α e
ao β1,3.
Como o β1,3 é um plano
passante, todos os pontos do
eixo x pertencem ao bissector.
O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à
recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano α, é possível
obter o traço da recta no β1,3,
o ponto Q, que será o outro
ponto da recta de intersecção.
h2
Q2
F2
i2
A1 ≡ A2
x
F1
hα
Q1
i1
h1
INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO
(definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos
seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
r2
Para definir a recta de
intersecção do plano α com o
β2,4, é necessário determinar
dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano α e
ao β2,4.
Como o β2,4 é um plano
passante, todos os pontos do
eixo x pertencem ao bissector.
O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à
recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano α, é possível
obter o traço da recta no β2,4,
o ponto I, que será o outro
ponto da recta de intersecção.
F2
fα
A1 ≡ A2
H2
x
I1 ≡ I2
F1
H1
hα
r1
i1 ≡ i2
Um plano oblíquo θ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 30º (a.d.)
com o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x.
Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano
θ com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
Para definir a recta de intersecção do
plano θ com o β1,3, é necessário
determinar dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano θ e ao β1,3.
fθ
f2
Como o β1,3 é um plano passante, todos
os pontos do eixo x pertencem ao
bissector. O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à recta de
intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer
do plano θ, é possível obter o traço da
recta no β1,3, o ponto Q, que será o
outro ponto da recta de intersecção.
Para definir a recta de intersecção do plano θ
com o β2,4, é necessário determinar dois pontos
que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao
β2,4.
Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos
do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é
assim um ponto comum aos dois planos e à recta
de intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano
θ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o
ponto I, que será o outro ponto da recta de
intersecção.
i2
Q2
A1 ≡ A2
H2
x
f1
I1 ≡ I2
H1
Q1
hθ
i’1 ≡ i’2
i1
Um plano oblíquo γ é definido pelo seu traço horizontal que faz um ângulo de 60º (a.e.) com
o eixo x, e o seu traço frontal que faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina as
projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano γ com o β1,3 e
com o β2,4, respectivamente.
Para definir a recta de intersecção do
plano γ com o β1,3, é necessário
determinar dois pontos que pertencem
simultaneamente ao plano γ e ao β1,3.
i2
Como o β1,3 é um plano passante, todos
os pontos do eixo x pertencem ao
bissector. O ponto A é assim um ponto
comum aos dois planos e à recta de
intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer
do plano γ, é possível obter o traço da
recta no β1,3, o ponto Q, que será o
outro ponto da recta de intersecção.
Q2
h2
fγ
F2
I1 ≡ I2
A1 ≡ A2
F1
x
Para definir a recta de intersecção do plano γ
com o β2,4, é necessário determinar dois pontos
que pertencem simultaneamente ao plano γ e ao
β2,4.
Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos
do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é
assim um ponto comum aos dois planos e à recta
de intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano γ,
é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto
I, que será o outro ponto da recta de intersecção.
Q1
hγ
h1
i1
i’1 ≡ i’2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA
(definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de rampa ρ com o β1,3.
A recta de intersecção é uma
recta fronto-horizontal, pois é
ó único tipo de recta que é
comum a um plano de rampa e
um plano bissector.
Para definir a recta de
intersecção do plano ρ com o
β1,3, é necessário determinar
um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e
ao β1,3.
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano ρ, é possível
obter o traço da recta no β1,3,
o ponto Q, que será um ponto
da recta de intersecção.
r2
fρ
F2
Q2
i2
H2
F1
x
i1
Q1
H1
hρ
r1
INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA
(definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de rampa ρ com o β2,4.
i1 ≡ i2
A recta de intersecção é uma
recta fronto-horizontal, pois é
ó único tipo de recta que é
comum a um plano de rampa e
um plano bissector.
Para definir a recta de
intersecção do plano ρ com o
β2,4, é necessário determinar
um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e
ao β2,4.
r2
fρ
F2
H2
x
Através de uma recta auxiliar
qualquer do plano ρ, é possível
obter o traço da recta no β2,4,
o ponto I, que será um ponto
da recta de intersecção.
H1
hρ
r1
F1
I1 ≡ I2
Um plano de rampa ρ é definido pelo seu traço horizontal com 2 cm de
afastamento e pelo seu traço frontal com 5 cm de cota. Determina as
projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano ρ
com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
A recta de intersecção i é uma recta
fronto-horizontal, pois é ó único tipo de
recta que é comum a um plano de rampa
e um plano bissector.
r2
Para definir a recta de intersecção do
plano ρ com o β1,3, é necessário
determinar um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3.
fρ
Através de uma recta auxiliar qualquer
do plano ρ, é possível obter o traço da
recta no β1,3, o ponto Q, que será um
ponto da recta de intersecção i.
A recta de intersecção i’ é uma recta
fronto-horizontal, pois é ó único tipo de
recta que é comum a um plano de rampa
e um plano bissector.
Para definir a recta de intersecção do
plano ρ com o β2,4, é necessário
determinar um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4.
Através de uma recta auxiliar qualquer
do plano ρ, é possível obter o traço da
recta no β2,4, o ponto I, que será um
ponto da recta de intersecção i’.
F2
Q2
i2
F1
H2
x
i1
H1
hρ
Q1
i’1 ≡ i’2
r1
I1 ≡ I2
Um plano de rampa ρ é definido pelo seus traços coincidentes, cujo o traço
horizontal com -4 cm de afastamento. Determina as projecções das rectas de
intersecção i e i’, rectas de intersecção do plano ρ com o β1,3 e com o β2,4,
respectivamente.
r2
Qualquer tentativa de obter a recta de
intersecção i resulta em fracasso porque
não há recta de intersecção com o β1,3,
pois trata-se de um plano de rampa que
é paralelo ao β1,3.
fρ ≡ hρ
A recta de intersecção i’ é uma recta
fronto-horizontal, pois é ó único tipo de
recta que é comum a um plano de rampa
e um plano bissector.
Para definir a recta de intersecção do
plano ρ com o β2,4, é necessário
determinar um ponto que pertence
simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4.
F2
i’1 ≡ i’2
I 1 ≡ I2
F1
x
Através de uma recta auxiliar qualquer
do plano ρ, é possível obter o traço da
recta no β2,4, o ponto I, que será um
ponto da recta de intersecção i’.
r1
H1
H2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE
(definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de topo δ com o β1,3.
A recta de intersecção é uma
recta com a sua projecção
frontal sobre o traço frontal
do plano, pois o plano δ é um
plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer
recta que pertence ao β1,3, tem
as suas projecções simétricas
em relação ao eixo x, a
projecção horizontal da recta
de intersecção do plano ρ com
o β1,3 será simétrica com a sua
projecção frontal em relação
ao eixo x.
fδ ≡ i2
x
i1
hδ
INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE
(definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção de um plano de topo δ com o β2,4.
A recta de intersecção é uma
recta com a sua projecção
frontal sobre o traço frontal
do plano, pois o plano δ é um
plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer
recta que pertence ao β2,4, tem
as suas projecções
coincidentes, a projecção
horizontal da recta de
intersecção do plano ρ com o
β1,3 será coincidente com a sua
projecção frontal.
fδ ≡ i1 ≡ i2
x
hδ
Um plano vertical α faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de
Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de
intersecção do plano α com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
A recta de intersecção i é uma
recta com a sua projecção
horizontal sobre o traço horizontal
do plano, pois o plano α é um plano
projectante horizontal.
Tendo em conta que qualquer recta
que pertence ao β1,3, tem as suas
projecções simétricas em relação ao
eixo x, a projecção frontal da recta
de intersecção i do plano α com o
β1,3 será simétrica com a sua
projecção horizontal em relação ao
eixo x.
A recta de intersecção i’ é uma
recta com a sua projecção
horizontal sobre o traço horizontal
do plano, pois o plano α é um plano
projectante horizontal.
Tendo em conta que qualquer recta
que pertence ao β2,4, tem as suas
projecções coincidentes, a
projecção frontal da recta de
intersecção i’ do plano α com o β2,4
será coincidente com a sua
projecção horizontal.
fα
i2
x
hα≡ i1 ≡ i’1 ≡ i’2
Um planode topo λ faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de
Projecção. Determina as projecções das rectas de intersecção i e i’, rectas de
intersecção do plano α com o β1,3 e com o β2,4, respectivamente.
A recta de intersecção i é uma
recta com a sua projecção frontal
sobre o traço frontal do plano, pois
o plano λ é um plano projectante
frontal.
Tendo em conta que qualquer recta
que pertence ao β1,3, tem as suas
projecções simétricas em relação ao
eixo x, a projecção horizontal da
recta de intersecção i do plano λ
com o β1,3 será simétrica com a sua
projecção frontal em relação ao eixo
x.
A recta de intersecção i’ é uma
recta com a sua projecção frontal
sobre o traço frontal do plano, pois
o plano λ é um plano projectante
frontal.
Tendo em conta que qualquer recta
que pertence ao β2,4, tem as suas
projecções coincidentes, a
projecção horizontal da recta de
intersecção i’ do plano λ com o β2,4
será coincidente com a sua
projecção frontal.
fλ ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2
x
i1
hλ