FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Álgebra Linear I – 9ª Lista de Exercícios
1. Encontre uma base para o espaço coluna e o núcleo de cada matriz a seguir (se
possível). Determine o posto de cada matriz.
 1 2 1 −1 
 2 2 8 10 




(a)  2 1 3 0 
2 1 3 7 
(c)
 −1 4 −3 1 
 3 −1 −8 3 




3 2 1 
1 2 9 8 


1 1
1 
 −1 2 1 
(b) 


 −1 0 1 
(d)  2 −1 1 


 1 1 2
 1 −1 −3 


2. Calcule os produtos internos dos pares de vetores a seguir.
(a) (1, 3, −2, 1) e (2, 2, 1, −4).
(b) (2, 2, 3, −1, 1) e (−2, 0, 1, 1, 2).
(c) (1, 1, 0, 1) e (3, 0, −3, 1).
3. Calcule o ângulo entre os vetores u e v dados.
(a) u = (1, 3), v = (-3, 1).
(e) u = (3, 1, −5), v = (1, 2, 1).
 2 2
 2
 2
2 3
2 
,−
,
,−
, 0  .
(f) u = 
,
(b) u = 
 , v = (1, 0).
 , v = 
 2 2 
4
4 2 
2
2





 6
 3
6 2 6
3
3
1 3
,−
,
,−
,−
(g) u = 
 , v = 
.
(c) u =  ,
 , v = (0, 1).
6
6
6 
3
3
3 
2 2 




(h) u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1).
(d) u = (1, 1), v = (1, -1).
4. Duas forças de magnitude 60 N e 80 N estão aplicadas em um mesmo ponto de um
objeto e formam entre si um ângulo de 30°. Encontre a magnitude da força
resultante e o ângulo que ela forma com a força de 60 N, com precisão de um grau.
5. Um barco pode viajar a 28 km/h em relação à água. Em um rio cuja corrente é de 5
km/h na direção oeste, o barco tem sua bússola rumo ao sul. Qual será a velocidade
escalar do barco em relação à terra e qual será seu curso? (A velocidade do barco em
relação à terra é a resultante do vetor que representa a velocidade da corrente e do
vetor que representa a velocidade do barco em relação à água. Em navegação, o curso
de um barco é o ângulo, medido em graus, no sentido horário a partir do Norte.)
6. Encontre o número real r tal que a medida do ângulo entre os vetores u = 3i + 2j e v =
2i + rj seja 45°.
7. Encontre o número real r tal que os vetores u = 5i + rj e v = ri + 6j sejam
a. ortogonais (ou seja, perpendiculares);
b. paralelos (ou seja, tenham a mesma direção e o mesmo sentido);
c. opostos (ou seja, tenham a mesma direção e sentidos opostos).
8. Dados dois vetores u e v em ℝ3, a projeção ortogonal de u sobre v é o vetor w com
mesma direção que v e tal que u – w é perpendicular a v. Mostre que a projeção
ortogonal de u sobre v é igual a [<u, v>/||v||2] v.
9. Um vetor u é dito unitário se ||u|| = 1. Se u = 2i – 7j, encontre os vetores unitários
ortogonais a u.
10. Encontre o produto interno u ⋅ v e o produto vetorial u × v para cada par de vetores
dados a seguir. Quais desses pares são perpendiculares?
(d) u = (1, 2, 3), v = (−2, 1, −1).
(a) u = (1, −2, 3), v = (2, −4, 6).
(b) u = (1, 0,0), v = (0, 0, 1).
(e) u = (−2, 1, −1), v = (1, 2, 3).
(c) u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0).
(f) u = (1, 3, 0), v = (3, 1, 0).
11. Encontre a equação de cada um dos planos a seguir.
(a) O plano perpendicular ao vetor n = (1, −2, −1) que contém a origem.
(b) O plano perpendicular ao vetor n = (1, 2, 1) que contém o ponto P = (1, 3, 2).
(c) O plano que contém os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(d) O plano que contém os pontos (1, 3, 2), (1, −2, 3) e (0, 2, 3).
(e) O plano paralelo ao plano 3x – 4y + 2z = 1 que contém o ponto (3, 1, 2).
(f) O plano perpendicular ao plano 3x – 4y + 2z = 1 que contém os pontos (1, 1, 1) e
(1/3, 1, 2).
(g) O plano que contém as retas r e s, onde
r = {(1 + 2t, –2 – t, 1 – 3t): t∈ℝ} e s = {(1 – t, –2 + 2t, 1 + t): t∈ℝ}.
(h) O plano que contém a reta r no item (g) e o ponto (3, 2, 1).
(i) O plano que contém as retas r e s, onde
r = {(1 + 2t, –2 – t, 1 – 3t): t∈ℝ} e s = {1 + 2t, 3 – t, –1 – 3t): t∈ℝ}.
Lista 09
Álgebra Linear I
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