Departamento de Matemática PUC-Rio
Disciplina:
Professores:
MAT1202 Álgebra Linear II
Christine e Pablo
3a Lista de Exercícios
Obs.: Alguns exercícios foram retirados do livro Álgebra Linear com Aplicações (ANTON,
H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações; Porto Alegre: Bookman, 2004) e do
livro Álgebra Linear (LIMA, E.L. Álgebra Linear; Rio de Janeiro: IMPA, 1998) com
algumas adaptações.
1. Sejam os vetores u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ R2 . Verique quais expressões a seguir
representam um produto interno. Nas que não representam liste os axiomas que
não valem.
(a) hu, vi = u1 v1 + u2 v2
(b) hu, vi = 2u1 v1 + u2 v2
(c) hu, vi = u21 v12 + u22 v22
(d) hu, vi = u1 v1 − u2 v2
2. Mostre que as seguintes igualdades são verdadeiras para vetores de um espaço vetorial com produto interno:
(a) ku + vk2 + ku − vk2 = 2kuk2 + 2kvk2
(b) hu, vi = 41 ku + vk2 − 14 ku − vk2
3. Mostre que se hu, vi é o produto interno usual de
Rn e A uma matriz n × n então
hu, Avi = hAT u, vi.
(Note que hx, yi = xT y , onde x e y são vetores na forma de matriz coluna n × 1)
4. Seja h , i um produto interno no espaço vetorial F . Dado uma transformação linear
bijetiva TA : E −→ F , ponha [u, v] = hAu, Avi para quaisquer u, v ∈ E e sendo A
a matriz da transformação. Prove que [ , ] é um produto interno em E .
5. Em cada um dos casos, determine se o conjunto {u, v, w} ⊂
apenas ortogonal ou nenhum dos dois:
R3
é ortonormal, ou
(a) u = (1, 2, 1), v = (1, −1, 1), w = (−1, 1, 2).
(b) u = (a, b, c), v = (−b, a, 0), w = (−ac, −bc, a2 + b2 ).
(c) u = 71 (2, 6, 3), v = 71 (3, 2, −6), w = 17 (6, −3, 2).
6. Suponha R3 com o seu produto interno usual e sejam u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6) ∈ R3 :
(a) Para quais valores reais de k , os vetores u e v são ortogonais?
1
(b) Complete o conjunto {u, v} de modo a se obter bases ortonormais de
cada valor de k .
7. Seja {e1 , e2 , e3 } a base canônica de
R3 .
R3
para
Sejam u = (x1 , x2 , x3 ), v = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 .
(a) Verique que:
e1 e2 e3 u × v = x1 x2 x3 = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
y1 y2 y3 (b) Mostre que o vetor w = u × v é ortogonal a u e a v .
(c) Mostre que w = u × v = (0, 0, 0) se, e somente se, u e v são LD.
(d) Verique que e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 e e3 × e1 = e2 .
8. Para cada ítem:
(a) Seja o plano W = {(x, y, z) ∈
paramétricas para W ⊥ .
R3 /
x − 2y − 3z = 0}. Obtenha as equações
(b) Seja W ⊂ R3 a reta de equações paramétricas x = 2t, y = −5t, z = 4t, t ∈ R.
Obtenha uma equação para W ⊥ .
(c) Seja W = U ∩ V , onde U e V são os planos U = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y + z = 0}
e V = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y + z = 0}. Obtenha uma equação para W ⊥
9. Seja


1 2 −1 2


A= 3 5 0 4 
1 1 2 0
(a) Encontre bases para o espaço-linha e espaço-nulo de A.
(b) Mostre que cada vetor do espaço-linha é ortogonal a cada vetor do espaço-nulo.
Esses espaços são ortogonais entre si?
(c) Encontre bases para o espaço-coluna de A e para o espaço-nulo de AT .
(d) Mostre que cada vetor do espaço-coluna de A é ortogonal a cada vetor do
espaço-nulo de AT . Esses espaços são ortogonais entre si?
10. Encontre uma base para o complemento ortogonal do subespaço de
vetores:
Rn gerado pelos
(a) u = (1, −1, 3), v = (5, −4, −4), w = (7, −6, 2)
(b) u = (2, 0, −1), v = (4, 0, −2)
(c) u = (1, 4, 5, 2), v = (2, 1, 3, 0), w = (−1, 3, 2, 2)
11. Dados os vetores u = (2, −1, 2), v = (1, 2, 1), w = (−2, 3, 3), determine o vetor de
R3 que é projeção ortogonal de w sobre o plano gerado por u e v.
12. Seja P (v) = proju (v) uma projeção ortogonal sobre a reta y =
v = (2, 5), determine P (v).
2
x
.
3
Dado o vetor
13. Dado o vetor u = (2, 3, 6), seja P : R3 −→ R3 , tal que, P (x, y, z) = proju ((x, y, z)).
(a) Mostre que P 2 = P ◦ P = P .
(b) Mostre que para todo v ∈ R3 , H(v) = v − 2hu, vi = kvk.
(c) Escreva a matriz da reexão ortogonal H = I3 − 2P , onde I3 é a identidade
de ordem 3 (interprete geometricamente) e determine o vetor que se obtem de
w = (1, 1, 1) por reexão em torno do plano perpendicular ao vetor u. (Essa
matriz H é conhecida como matriz de Householder)
14. Use o processo de Gram − Schmidt para determinar uma base ortonormal de
partir da base {u, v, w}:
(a) u = (2, 6, 3), v = (−5, 6, 24), w = (9, −1, 4)
(b) u = (3, 4, 12), v = (7, −8, 15), w = (−15, 6, 44)
3
R3 a