Lista 1 - Álgebra Linear II
√
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1. Mostre que C( 2) = {x + y 2|x, y ∈ C} é um subcorpo de C.
√
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2. Mostre que Q( 2) = {x + y 2|x, y ∈ Q} é um espaço vetorial sobre
Q.
3. Sejam K um corpo e K0 um subcorpo de K. Mostre que se V é um
espaço vetorial sobre K, então V é um espaço vetorial sobre K0 .
4. Seja S = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z = 0} um plano do R3 que passa pela
origem. Mostre que S é um R-espaço vetorial.
5. Descreva o R-espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear:

 x + y + 2z = 0
2x + 2y + 5z + 3w = 0

4x + 4y + 10z + 3w = 0
6. Mostre que V = {(a, b) ∈ R2 |a, b > 0}, com as duas operações definidas
abaixo é um R-espaço vetorial.
• (a, b) ⊕ (c, d) = (ac, bd), ∀(a, b), (c, d) ∈ V .
• α · (a, b) = (aα , bα ), ∀α ∈ R, ∀(a, b) ∈ V .
7. Mostre que não existe um conjunto gerador de R3 com menos do que
3 elementos.
8. É possı́vel encontrar um conjunto gerador de P(R) com um número
finito de elementos?
9. Mostre que os conjuntos {(i, 0), (2, −3)} e {(i, i), (−1, 2i)} são bases de
C2 sobre C.
10. Mostre que {(z1 , z2 ), (w1 , w2 )} ⊂ C é linearmente dependente se, e
somente se, z1 w2 = z2 w1 .
11. Se K = Z2 , o subconjunto {(1̄, 1̄, 0̄), (1̄, 0̄, 1̄), (0̄, 1̄, 1̄)} de K3 é linearmente dependente? E se K = Z13 ?
12. Sob quais condições sobre o escalar α ∈ C o conjunto {(0, 1, α), (α, 0, 1), (1+
α, 1, α)} é uma base de C3 ?
13. Seja W = [v1 , v2 ] ⊂ C3 , onde v1 = (1, 0, i) e v2 = (1 + i, 1, −1). Mostre
que
(a) {v1 , v2 } é uma base de W .
(b) w1 = (1, 1, 0) e w2 = (1, i, 1 + i) estão em W e que {w1 , w2 } é uma
base de W .
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14. Seja V = F(R, C) o C-espaço vetorial das funções f : R → C. Prove
que o conjuto {f1 , f2 , f3 } é linearmente independente, sendo f1 = 1, f2 =
eix = cos x + isen x e f3 = e−ix = cos x − isen x, para todo x ∈ R.
15. Seja V um espaço vetorial sobre R e considere no conjunto VC =
{(u, v)|u, v ∈ V } as seguintes operações de adição e multiplicação: dados (u1 , v1 ), (u2 , v2 ), (u, v) ∈ VC e α + iβ ∈ C,
• (u1 , v1 ) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 ).
• (α + iβ)(u, v) = (αu − βv, βu + αv).
(a) Mostre que VC é um espaço vetorial sobre C.
(b) Seja {v1 , v2 , ..., vn } ⊂ V um conjunto linearmente independente.
Mostre que {(v1 , 0), (v2 , 0), ..., (vn , 0)} e {(0, v1 ), (0, v2 ), ..., (0, vn )}
são subconjuntos linearmente independentes de VC .
16. Seja B um subconjunto de um espaço vetorial V . Mostre que B é
linearmente dependente se, e somente se, existir v ∈ B que pode ser
escrito como combinação linear dos elementos de B \ {v}.
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