Lista 6
Álgebra Linear
MA-327
29/05/2012
1. Diga quais das expressões abaixo de…ne um produto interno. Indique a propriedade
que não vale caso não seja produto.
(a) Em P2 (R), hp; qi = p (0) q (0) + p0 (0) q 0 (0) + p00 (0) q 00 (0).
(b) Em R3 : h(x; y; z) ; (a; b; c)i =
(c) Em
R3 :
(d) Em
R3 :
xa + yb + zc.
h(x; y; z) ; (a; b; c)i = xa + yb.
h(x; y; z) ; (a; b; c)i = 3xa + 2yb + 4zc.
(e) No espaço das matrizes Mm
R1
(f) 0 p (t) q (t) dt em P2 (R).
n (R):
hA; Bi = tr AB T .
2. Seja V um espaço vetorial sobre R. Suponha que h ; i1 e h ; i2 são produtos internos
em V . Mostre que h ; i1 + h ; i2 também é produto interno. Mostre também que se
a > 0 então ah ; i1 é produto interno.
3. Seja V um espaço vetorial com produto interno h ; i. Mostre o conjunto fv1 ; : : : ; vk g
V é l.i. se os vetores são 6= 0 e dois a dois ortogonais (hvi ; vj i = 0 se i 6= j).
4. Num espaço vetorial V com produto interno h ; i tome dois vetores u; v 2 V com
kuk = kvk = 1. Mostre que u = v se hu; vi = 1. (Sugestão: use a identidade de
polarização 2hu; vi = kuk + kvk ku vk.)
5. Denote por h ; i o produto interno canônico em R3 e tome a base
Seja v 2 R3 tal que
0 1
x
@
y A:
[v] =
z
= f(1; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; ( 1; 1; 1)g.
Encontre kvk em termos de x, y e z.
6. Considere R3 com o produto interno canônico. Aplique o processo de ortogonalização
de Gram-Schimidt à base = f(0; 0; 1) ; (0; 1; 1) ; (1; 1; 1)g para encontrar uma base
ortogonal. Se a ordem da base for mudada para 0 = f(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g o
resultado é o mesmo?
7. Considere R3 com o produto interno canônico. Encontre uma base do subespaço
W ? onde W = ker f e f : R3 ! R é dado por f (x; y; z) = x + 2y + 3z.
8. Considere R4 com o produto interno canônico. Seja W R4 o subespaço gerado por
(1; 0; 1; 1) e (1; 1; 1; 0) e encontre a projeção ortogonal em W do vetor v = (2; 1; 1; 1).
9. Escreva a matriz do produto interno canônico em R3 em relação à base
= f(2; 1; 1) ; (3; 1; 3) ; (2;
10. Sejam V um espaço vetorial real com produto interno h ; i e
uma base de V .
Denote por A a matriz de h ; i em relação a e suponha que 2 R é um auto-valor
de A. Mostre que > 0. (Sugestão: dizer que é auto-valor de A signi…ca que
existe uma matriz coluna C tal que AC = C. Tome v 2 V tal que [v] = C. Então,
hv; vi = C t C.)
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11. Sejam V um espaço vetorial com produto interno h ; i e W
V um subespaço.
Dado v 2 V denote por v a projeção ortogonal de v em W . Mostre que kvk kvk e
que a igualdade vale se e só se v 2 W .
12. Sejam V e W espaços vetoriais com produtos internos h ; iV e h ; iW , respectivamente. Uma transformação linear T : V ! W é uma isometria se hT u; T viV =
hu; viW para todo u; v 2 V . Mostre que se T é isometria então T é injetora. (Sugestão: encontre kT vk, v 2 V .)
13. Sejam V e W espaços vetoriais reais e suponha que h ; iW é um produto interno
em W . Seja também T : V ! W uma transformação linear injetora. Mostre que a
expressão hu; viT = hT u; T viW de…ne um produto interno em V .
14. Seja V um espaço vetorial real de dimensão …nita com produto interno h ; i e denote
por V o espaço dual (isto é, V é o espaço dos funcionais lineares f : V ! R, cuja
dimensão é a mesma que a de V ). De…na a aplicação linear Th ; i : V ! V por
Th ; i (v) = fv com fv (w) = hv; wi. Mostre que Th ; i é isomor…smo.
15. Seja V um espaço vetorial com produto interno h ; i. Um operador linear T : V !
V é dito anti-simétrico em relação a h ; i se para todo v; w 2 V vale hT v; wi =
hv; T wi. Mostre que se T é anti-simétrico e é uma base ortonormal de V (em
relação a h ; i) então a matriz [T ] é anti-simétrica.
16. Seja V um espaço vetorial com produto interno h ; i. Um operador linear T : V ! V
é dito simétrico em relação a h ; i se para todo v; w 2 V vale hT v; wi = hv; T wi.
Mostre que se T é simétrico e é uma base ortonormal de V (em relação a h ; i)
então a matriz [T ] é simétrica.
17. Sejam V um espaço vetorial com produto interno h ; i e T : V ! V uma isometria
(veja exercício 12). Tome uma base ortonormal de V (em relação a h ; i) e mostre
que a transposta ([T ] )t de [T ] coincide com sua inversa, isto é, ([T ] )t [T ] = I,
onde I é a matriz identidade. (Sugestão: veri…que que se C1 e C2 são duas colunas
de [T ] então C1t C2 = 1 se C1 = C2 ou C1t C2 = 0 se as colunas são diferentes.)
18. Sejam V um espaço vetorial com produto interno h ; i, W
V um subespaço e
T : V ! V um operador linear. Suponha que W é invariante por T , isto é, para
todo w 2 W , T w 2 W . Mostre que W ? também é invariante quando T é i) antísmétrico, ii) simétrico ou iii) isometria (veja as de…nições nos exercícios anteriores).
19. Seja V um espaço vetorial com produto interno h ; i. Tome v 2 V , v 6= 0. A re‡exão
em relação ao hiperplano ortogonal a v é a transformação linear Rv : V ! V de…nida
por
2hv; wi
Rv (w) = w
v:
kvk2
(a) Mostre que Rv é isometria.
(b) Encontre Rv quando V = R2 e v = (1; 0). Interprete geometricamente.
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