Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pos-graduação em Matemática e Estatı́stica - PPGME
Curso de Análise Funcional
Lista de Exercı́cios 5
Professora: Giovany Figueiredo
Os Teoremas de Banach-Steinhauss, da aplicação aberta e do gráfico fechado
1. (Lema de Baire)
Sejam M um espaço espaço métrico completo e Xn ⊂ M uma sequência de subconjuntos fechados tal que, para cada n ∈ IN, intXn = ∅. Mostre que
∞
[
int
Xn = ∅.
n=1
2. Mostre que o Lema de Baire é equivalente a seguinte afirmação: Sejam M 6= ∅ um
espaço métrico completo e Xn ⊂ M uma sequência de subconjuntos fechados tal
que
∞
[
Xn = M.
n=1
Então existe n0 ∈ IN tal que intXn0 6= ∅.
3. Seja E Banach e B 0 ⊂ E 0 . Suponha que para todo x ∈ E o conjunto
B 0 (x) = {f (x) : f ∈ B 0 } =
[
f ∈B 0
é limitado. Mostre que B 0 é limitado em E 0 .
4. Seja ξ = (ξn ) ⊂ IR uma sequência tal que a série
1
f (x)
∞
X
ξn xn
n=1
converge para cada x = (xn ) ∈ c0 . Mostre que ξ ∈ l1 .
5. Seja E um espaço vetorial normado e (xn ) ⊂ E tal que
f (xn ) → 0, ∀f ∈ E 0 .
Defina a aplicação T : E 0 → c0 por T (f ) = (f (xn )). Mostre que T é um operador
linear limitado de E 0 em c0 .
6. Sejam E um espaço de Banach e (fn ) ⊂ E 0 , tal que
∞
X
| fn (x) |< ∞,
n=1
para cada x ∈ E. Seja T : E → l1 , definida por T (x) = (fn (x)). Mostre que
T ∈ L(E, l1 ).
7. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma aplicação linear. Mostre que
a) T é injetiva e tem imagem fechada se, e somente se, existe c > 0 tal que
k x k≤ c k T (x) k, ∀x ∈ E.
b) se T é sobrejetiva então existe c > 0 tal que para cada y ∈ F , obtemos x ∈ E
tal que
y = T (x) e k x k≤ c k y k .
8. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um operador linear limitado. Mostre
que ImT é fechado se, e somente se, existe c > 0 tal que
d(x, Ker(T )) ≤ c k T (x) k, ∀x ∈ E.
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9. Sejam M um espaço métrico completo, E um espaço normado e F uma famı́lia de
aplicações contı́nuas f : M → E. Suponha que para cada x ∈ M existe cx > 0 tal
que
k f (x) k≤ cx , ∀f ∈ F.
Mostre que existe um aberto não-vazio U em M tal que
k f (x) k≤ c; ∀f ∈ F e ∀x ∈ U,
para algum c > 0.
10. Uma função x : [a, b] → E, onde E é Banach, é dita de variação limitada se
X
sup [x(bj ) − x(aj )]
j
< ∞,
para cada escolha de intervalos disjuntos (aj , bj ) em [a, b]. Prove que se para cada
f ∈ E 0 , f (x(t)) for de variação limitada, então x(t) é de variação limitada.
11. Sejam E1 e E2 subespaços fechados de um espaço de Banach E, com E1 ∩ E2 = {0}
e E = E1 + E2 . Mostre que existe c > 0 tal que
k x1 + x2 k≥ c max{k x1 k, k x2 k},
para cada x1 ∈ E1 e x2 ∈ E2 .
12. Mostre que todo espaço de Banach E com dim E = ∞ tem base de Hamel nãoenumerável. Dê um exemplo para mostrar que é indispensável que o espaço seja
Banach na afirmação acima.
13. Sejam (E, k . k1 ) e (E, k . k2 ) espaços de Banach tais que se
k xn − x k1 → 0 e k xn − y k2 → 0,
3
então x = y. Mostre que estas normas são equivalentes.
14. Seja ξ = (ξn ) ⊂ IR tal que
∞
X
ξn xn
n=1
converge para cada x = (xn ) ∈ lp , 1 < p < ∞. Mostre que ξ ∈ lq , onde
1
p
+
1
q
= 1.
15. Sejam E e F espaços de Banach e T ∈ L(E, F ) uma aplicaço sobrejetiva. Mostre
que
a) Dada uma sequência limitada (yn ) ⊂ F , existe uma sequência limitada (xn ) ⊂ E,
tal que
T (xn ) = yn , ∀n ∈ IN.
b) Dada uma sequência (yn ) ⊂ F que converge para o vetor nulo em F , existe uma
sequência (xn ) ⊂ E que converge para o vetor nulo em E, tal que
T (xn ) = yn , ∀n ∈ IN.
16. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma aplicação linear com a seguinte
propriedade:
(P ) se (xn ) ⊂ E é tal que k xn k→ 0, então f (T (xn )) → 0, ∀f ∈ F 0 .
Mostre que T é contı́nuo.
17. Sejam E e F espaços de Banach e T ∈ L(E, F ) injetivo. Mostre que existe
S ∈ L(F, E) tal que S ◦ T = IE se, e somente se, Im(T ) é fechado e admite
um suplementar topológico.
18. Mostre que os teoremas do gráfico fechado, da aplicação aberta e da aplicação
inversa são equivalentes.
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19. Sejam E e F espaços de Banach e b : E × F → IR uma aplicação bilinear separadamente contı́nua, isto é, para cada x ∈ E fixado, a aplicação b(x, .) : F → IR é
linear e contı́nua e para cada y ∈ F fixado, a aplicação b(., y) : E → IR é linear e
contı́nua. Mostre que b é contı́nua em E × F .
20. Seja T : (c0 , |.|∞ ) → (c0 , |.|∞ ), definida por T (x) = ( xii ), onde x = (xi )i∈IN . Mostre
que E é um operador linear, limitado e bijetivo, porém a aplicação linear T −1 não
limitada. Por que isto não contradiz o Teorema da aplicação inversa ?
21. Seja T : l1 → c0 definida por


T (x) = 
X
xj 
j≥n
,
j∈IN
onde x = (xj )j∈IN . Mostre que T ∈ L(l1 , c0 ).
22. Dê um exemplo de um operador linear cujo gráfico não seja fechado.
23. Seja A : D(A) ⊂ E → F uma aplicação linear (não necessariamente limitada) e
fechada. Então Im(A) fechado se, e somente se, existe uma constante c > 0 tal que
d(x, Ker(A)) ≤ c k A(x) k, u ∈ D(A).
24. Sejam E um espaço de Banach e T : E → E 0 um operador linear tal que
Tx (y) = Ty (x); ∀x, y ∈ E,
onde para cada x ∈ E, temos que Tx : E → IR é linear e limitado. Mostre que T é
contı́nuo.
25. Sejam E1 , E2 e F espaços de Banach, T1 ∈ L(E1 , F ) e T2 ∈ L(E2 , F ). Suponha que
Im(T1 ) ∩ Im(T2 ) = {0} e Im(T1 ) + Im(T2 ) = F.
Mostre que Im(T1 ) e Im(T2 ) são fechados.
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26. Sejam E um espaço de Banach e G e L subespaços fechados de E. Mostre que se
existe c > 0 tal que
d(x, G ∩ L) ≤ cd(x, L); ∀x ∈ G,
então G + L é fechado.
27. Seja (F, k . k) um espaço de Banach e seja (Fn , k . kn ) uma sequência de espaços
de Banach (com relação as suas respectivas normas) tais que
Fn ⊂ F e Fn ⊂ Fn+1 ; ∀n ∈ IN,
e existem cn > 0 e dn > 0 tais que
k f k≤k f kn e k f kn+1 ≤ cn k f kn , ∀f ∈ Fn e ∀n ∈ IN.
Se E é um subespaço fechado de F tal que
E⊂
∞
[
Fn ,
n=1
mostre que existe n0 ∈ IN tal que E ⊂ Fn0 .
28. Mostre que não existe norma sobre P (IR) que torne esse espaço um espaço de
Banach.
29. Seja T : (C 1 [0, 1], k . k∞ ) → (C ∞ [0, 1], k . k∞ ), definido por T (f )(t) =
que G(T ) é fechado, mas T nâo é contı́nuo.
30. Sejam E um espaço de Banach e (fn ) ⊂ E 0 , tal que
∞
X
| fn (x) |< ∞,
n=1
para cada x ∈ E.
6
df
.
dt
Mostre
a) Para cada x ∈ E, defina f (x) =
∞
X
| fn (x) |. Mostre que f ∈ E 0 .
n=1
b) Defina T : c0 → E 0 por T α(x) =
∞
X
αn fn (x), ∀α = (αn ) ∈ c0 . Mostre que
n=1
T está bem definida e que se (αn ) ⊂ c0 , com αn = (αjn )j∈IN , é tal que αn → α =
(αj )j∈IN em c0 , então T αn (x) → T (α)(x), ∀x ∈ E.
c) Use o Teorema do gráfico fechado para provar que T é contı́nua.
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