Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito do 2o Teste de Geometria I - Matemática - Monica
24/05/2013
Neste teste não pode ser usado nenhum fato que seja consequência do Axioma das
Paralelas.
1a Questão: (3 pontos) Uma reta corta dois cı́rculos concêntricos em quatro pontos. Mostre
que os dois segmentos que ficam na região entre os cı́rculos são congruentes.
Solução
Seja A o centro dos dois cı́rculos concêntricos, de raios r e R, r < R. Sejam B, C,
D e E, os quatro pontos que a reta s intersecta estes cı́rculos, onde B e E pertencem ao
cı́rculo de raio R e C e D pertencem ao cı́rculo de raio r, como nas figuras. Temos:
1o caso) Se o centro A ∈ s:
BC = BA − CA = R − r = EA − DA = DE.
2o caso) Se o centro A ∈
/ s:
Seja F o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta s. Como AB = AE = R e
AC = AD = r, os triângulos ACD e ABE são isósceles e portanto o ponto F divide os
segmentos BE e CD ao meio. Logo:
BC = BF − CF = EF − DF = DE.
2a Questão: (3 pontos) Se um triângulo ABC é equilátero e D é um ponto do segmento BC,
mostre que AD > DB.
Solução
b B
beC
b são congruentes.
Como ABC é equilátero, os ângulos A,
b e B AD
b < A.
b
Como D é um ponto do segmento BC, a semi-reta SAD , divide o ângulo A
Portanto, examinando o triângulo ABD,
b <A
b = B,
b
B AD
o que implica
BD < AD.
1
3a Questão: (4 pontos) Dado um triângulo ABC, seja D o ponto médio do lado BC. Considere
então o segmento AE passando pelo ponto D tal que AD = DE e trace EC.
1. Mostre que a soma dos ângulos internos do triângulo AEC é igual à soma dos ângulos
internos do triângulo ABC.
Solução
Como E ÂC e AĈD são comuns aos dois triângulos, basta mostrar que
DÂB + B̂ = Ê + E ĈD.
Temos:
• AD̂B = E D̂C (pois são ângulos opostos pelo vértice)
• BD = CD (pois D é ponto médio de BC)
• AD = ED (por hipótese)
Logo, por congruência LAL, ABD = ECD.
Em particular,
B̂ = E ĈD
e
DÂB = DÊC = AÊC = Ê,
o que prova o desejado.
2. Mostre que E ÂC + AÊC = B ÂC.
Solução
De fato,
E ÂC + AÊC = E ÂC + DÂB = B ÂC.
2
3. Mostre que o triângulo AEC possui um ângulo θ satisfazendo a θ ≤ Â/2.
Solução
A semi-reta SAD divide o ângulo Â nos ângulos DÂB e DÂC.
Â
Â
Logo, temos DÂB ≤
ou DÂC ≤ .
2
2
Como DÂB = AÊC e DÂC e AÊC são ângulos do triângulo AEC, provamos o
desejado.
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