Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
D E S A F I O S – OMU
Ensino Médio – Nı́vel Beta
Geometria Plana
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Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Desafio 1 Considere que num triângulo ABC, as medianas que partem dos vértices A e B são
perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, determine o comprimento do lado AB.
Desafio 2 Considere um ponto P no interior de um retângulo ABCD e tal que
P B = 4 e P C = 5. Determine o comprimento do segmento P D.
P A = 3,
Desafio 3 Considere um triângulo ABC como na figura abaixo.
(a) Mostre que se AB = 3, o triângulo ABC pode ser dividido em nove triângulos congruentes
entre si e semelhantes ao triângulo ABC.
(b) Mostre que se a medida do lado AB é igual a n, com n um número natural maior do que
1, o triângulo ABC pode ser dividido em n2 triângulos congruentes entre si e semelhantes
ao triângulo ABC.
(c) Exiba dois números naturais a e b tais que a2 + b2 = 41.
(d) Prove que existe um triângulo que pode ser dividido em 41 triângulos congruentes entre si e
semelhantes ao triângulo original.
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Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Desafio 4 Seja P um ponto no interior de um hexágono regular. Unindo o ponto P a cada um
dos vértice do hexágono são formados seis triângulos. Colorindo de forma alternada de vermelho
e azul cada um dos triângulos, mostre que a soma das áreas dos três triângulos vermelhos é igual
à soma das áreas dos três triângulos azuis.
Desafio 5 Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero. Mostre que a soma das
medidas dos três segmentos com origem em P e o ponto de intersecção da perpendicular a cada
um dos lados do triângulo é igual a medida de uma das alturas do triângulo, como ilustra a figura
abaixo (Teorema de Vincenzo Viviani).
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