MA502 - Geometria Euclidiana
Plana e Construções Geométricas
6. Seja ∆ABC triângulo e P, Q e R os pontos
médios dos lados do triâgulo ∆ABC.
1o Semestre de 2007
(a) Mostre que ∆ABC é isóceles se e somente
se ∆P QR é isoceles.
Lista de Exercı́cios 4
(b) Mostre que ∆ABC é equilátero se e somente se ∆P QR é equilátero.
7. Mostre que:
b de um triângulo ∆ABC é per(a) A bissetriz A
pendicular ao lado BC se e somente se o
triângulo for isóceles com AB ' AC.
1. Defina ”bissetriz de um ângulo” e demonstre que
todo ângulo possui uma e apenas uma bissetriz.
2. Mostre que
equiângulo.
todo
triângulo
equilatero
é
(b) Dado um triângulo isóceles com base BC,
a mediana desde o vértice A coincide com
b
a bissetriz do ângulo A.
3. Mostre que a relação de congruência de
triângulos é de fato uma relação de equivalência
(satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e
transitiva)
8. Considere um quadrado (quadrilátero com quatro lados e quatro ângulos congruentes) ABCD
com P, Q, R e S os pontos médios dos segmentos
AB, BC, CD e DA respectivamente.
4. Sejam AH e RB dois segmentos que se interceptam em um ponto F , ponto médio de ambos.
Demonstre que:
(a) Mostre que ∆P QR ' ∆QRS.
(b) Podemos concluir
quadrado?
(a) AR ' HB e AB ' HR;
(b) ∆F AB ' ∆F HR.
que
P QRS
é
um
9. Sejam ∆ABC e ∆DEF triângulos com AB '
DE, BC ' EF e ∠CAB ' ∠F DE. Podemos
concluir que ∆ABC ' ∆DEF ? Demosntre ou
dê contra-exemplo.
5. Critique o seguinte ”paradoxo” geométrico:
Todo triângulo é isóceles: Dado triângulo
b e o
∆ABC, considere a bissetriz do ângulo C
bissetro perpendicular do lado AB. A partir
de seu ponto de intersecção E, trace as alturas
EF e EG relativas aos lados AC e BC respectivamente e trace os segmentos EA e EB. Os
triângulos retângulos ∆CF E e ∆CGE são congruentes pois tem CE como hipotenusa comum
e ∠F CE ' ∠GCE (pois CE é bissetriz do
ângulo). Consequentemente CF ' CG e
10. Seja m a mediatriz de um segmento QT , P um
ponto do mesmo lado de m que Q e R o ponto
de intersecção de m com o segmento P T .
(a) Mostre que |P T | = |P R| + |RQ|.
(b) Considerando o item anterior, deduza que
o caminho mais curto de P a Q passando
por um ponto de m é o caminho que passa
pelo ponto R.
EF ' EG. Todo ponto do bissetor perpendicular de AB é equidistante de A e de B, de
modo que EA ' EB. Como os ângulos ∠EF A
e ∠EGB aão ambos ângulos retos, temos que
os triângulos ∆EF A e ∆EGB são congruentes,
temos que F A ' GB. Como |CF | + |F A| =
|CG|+|GB| temos que |CA| = |CB| e o triângulo
∆ABC é isóceles.
(c) Deduza do item anterior (considerando que
a luz percorre caminhos mı́nimos) que ao
refletri em um espelho plano, ”o angulo de
inciência é igual ao ângulo de reflexão”.
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