O Teste de Lilliefors
Renato Gonçalves de Araújo
Bruno Isaú Pedrosa
História

O teste de Lilliefors, criado por Hubert
Lilliefors, professor de Estatística na
Universidade George Washington, e se trata
uma adaptação do teste de KolmogorovSmirnov.
Teste de Aderência
O objetivo de um teste de aderência é verificar
se os dados de uma amostra comportam-se
de acordo com uma distribuição teórica.
Teste de Aderência.
O Teste de Lilliefors

O teste de Lilliefors é usado para verificar a
aderência dos dados a uma distribuição
normal qualquer, isto é, sem a especificação
de seus parâmetros.

É bastante parecido com o teste de
Aderência de Kolmogorov-Smirnov, pois
também avaliamos as distribuições
acumuladas S(x) e F(x); Obtemos a Distancia
Máxima D entre elas; e a comparamos com
um valor tabelado em função do nível de
significância e do tamanho da amostra.
Diferenças

Não é necessário especificar especificar μ e
σ.
Forma de Obtenção de F(x), pois a Média e
Desvio Padrão são Calculados com Base na
Amostra.

Tabela Utilizada para Decisão do Teste.

Hipóteses

H0: A amostra provem de uma população
que segue uma distribuição normal;

H1: A amostra não provém de uma
população que segue uma distribuição
normal.
Exemplo de Aplicação

Um Fabricante de Autopeças está próximo de
fechar um grande contrato com uma montadora. O
ponto-chave é a garantia da qualidade de seus
produtos, especialmente do diâmetro (em mm) dos
eixos produzidos, que ele supõe seguir uma
distribuição normal.
A Montadora selecionou uma amostra aleatória de
15 eixos para testar especificações de 5% de
significância. Os valores estão descritos a seguir:
Amostra dos 15 Eixos:
93,45
97,07
94,46
97,68
94,93
97,93
96,17
99,10
96,74
99,30
100,73
103,29
103,60
103,83
105,20
Passos para realizar o Estudo

1º Passo:
Obter a Média, e o Desvio Padrão (S).
Amostra dos 15 Eixos:
93,45
97,07
94,46
97,68
94,93
97,93
96,17
99,10
96,74
99,30
100,73
103,29
103,60
103,83
105,20
N = 15.
x = 1,483.48
Média = 1/N.x ou x / N = 1,483.48 / 15
Média: 98,90
Obtendo S.
( 93,45-98,90)² = 29,7025
( 94,46-98,90)² = 19,7136
( 94,93-98,90)² = 15,7609
( 96,17-98,90)² = 7,4529
( 96,74-98,90)² = 4,6656
( 97,07-98,90)² = 3,3489
( 97,68-98,90)² = 1,4884
( 97,93-98,90)² = 0,9409
( 99,10-98,90)² = 0,004
( 99,30-98,90)² = 0,16
100,73-98,90)² = 3,3489
103,29-98,90)² = 19,2721
103,60-98,90)² = 22,09
103,83-98,90)² = 24,3049
105,20-98,90)² = 39,69
 (x – X(Media)²) = 191,9436
S² = 0,0714286 * 191,9436
S² = 13,71025
(S²) = 3,70
S = 3,70
Obtendo as frequências
Empíricas - S(xi)
Para Obtermos o valor de S(xi) precisamos
dividir o valor correspondente do Índice (i),
pela quantidade de elementos da amostra
(N).
 Exemplo:
N= 15
Sx1 = 1/15 Sx2 = 2/15 ... Sx15 = 15/15

Organizando os dados
Encontrando o valor de Z

Para cada valor de xi (i = 1,2,3,..,N),
calculamos o correspondente escore Zi,
usando a Média e o Desvio Padrão (S). A
formula para a obtenção do Zi é:

Zi = (xi – Media) / S

Z1 = (93,45 - 98,90)/3,70 = -1,47
Atualizando os dados
Encontrar o F(xi)
Para obter o valor de F(xi) é simples, agora
que temos o valor de Zi precisamos olhar na
tabela de Distribuição Normal Padrão.
 Para localizarmos o F(x) basta pegar o valor
de Z, e pesquisar esse valor relativo na
tabela.
 Por exemplo o Zi = - 1,47

Encontrar o F(xi) na tabela
Atualizando os dados
Encontrando a maior diferença
absoluta.

F(xi) – S(xi-1):


Valor da frequência teórica na posição do índice
menos o valor da frequência empírica no índice 1.
F(xi) – S(xi)
 Valor da frequência teórica na posição do
índice menos o valor da frequência
empírica no índice.
Atualizando os dados
Distancia máxima admissível



A Maior Diferença absoluta foi 0,205.
Devemos comparar a maior diferença
absoluta com o valor da tabela de
Significância, para concluir se há aderência
dos dados a uma distribuição normal ou não.
Procurando na Tabela de Significância para
N =15, e α = 0,05.
Distância máxima admissível
Resultado do Teste


A estatística do teste para esta amostra é d =
0,149. Na Tabela para α = 5% ou 0,05 e
N=15, obtemos a distancia máxima
admissível dc = 0,220.
Como d < dc, o teste aceita H0 ao nível de
significância de 5%, concluindo que há
aderência dos dados a uma distribuição
normal.
Aplausos.

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Renato Gonçalves de Araújo
Bruno Isaú Pedrosa