Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Mestrado Profissional em Tecnologia de Alimentos
Análise Estatística de Experimentos
Profª Sheila Regina Oro
EXPERIMENTOS FATORIAIS
Francisco Beltrão
Agosto, 2013
Experimentos Fatoriais
• Projeto experimental em que os ensaios são realizados de
forma proposital e com causas controladas (fatores).
• É necessário o controle das causas para que as respostas
obtidas nos ensaios sejam devidas somente aos efeitos dos
tratamentos realizados e não a outras causas.
• O pesquisador deve considerar a presença de efeitos “não
controláveis” (variação ao acaso).
2
Experimentos Fatoriais
• Cada nível de um fator é ensaiado com todos os níveis dos
outros fatores, para testar principalmente se há diferença
no valor esperado da resposta entre os níveis de cada fator
e se há interação entre os fatores.
• Fator: variável independente
• Ex.: solventes, aditivos, temperatura
• Níveis:
• Ex.: ausência ou presença; -1, controle, +1;
50ºC , 75ºC , 100ºC
3
Exemplo 1: Solventes
• Um pesquisador está interessado em estudar a extração de
pigmentos naturais, com aplicação como corante em
alimentos. Numa primeira etapa tem-se a necessidade de
escolher o melhor solvente extrator dentre os seguintes:
E50, EAW, MAW, E70, M1M. A escolha do(s) melhor(es)
solventes foi realizada através da medida da absorbância
de um pigmento natural do fruto de baguaçú.
4
Exemplo 1: Solventes
• Fator: solvente
• Níveis: 5 (E50, EAW, MAW, E70, M1M)
• Repetições: 5
• Tratamentos: 5
• Ensaios: 25 (Repetições x Tratamentos)
• Unidade experimental: 10 gramas de polpa
• Casualização: a partir de 1kg de polpa, foram retiradas as
amostras de 10g para a aplicação dos tratamentos, numa
ordem aleatória.
5
ANOVA – 1 Fator
Tabela1-2Dadosgeraisdeumexperim
entocomumúnicofator
Tratam
entos
Observações
Totais M
édias
(níveis)
1
y11 y12
.
.
.
y1n
y1.
y1
2
y21 y22
.
.
.
y2n
y2.
y2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yan
ya.
ya
.
.
a
.
.
.
.
ya1 ya2
6
Modelo – 1 Fator
Média geral
Efeito de
cada nível
Erro
Resposta
nível i
repetição j
Suposições:
y ij =μ+α i +ε ij
1) os erros aleatórios são independentes;
2) os erros aleatórios são normalmente distribuídos;
3) os erros aleatórios tem média 0 (zero) e variância 2;
4) a variância, 2, deve ser constante para todos os níveis do fator.
5) as observações são adequadamente descritas pelo modelo
1 Fator – Efeito Fixo
• Níveis do fator selecionados pelo pesquisador
• Hipóteses:
H0: 1= 2=...= a
H1: i  j para pelo menos um par (i,j)
1-3.1 Decomposição da soma de quadrados total
 y
a
n
ij  y..  =n  yi.  y..  +   yij  yi. 
2
i=1 j=1
a
i=1
2
a
n
2
i=1 j=1
Corrigida para a média
SSTotal = SSTratamentos + SSErro
8
1 Fator – Efeito Fixo
Decomposição da soma de quadrados total
 y
a
n
ij  y.. 
i=1 j=1
2
a
= n  yi.  y.. 
2
i=1
SSTotal
= SSTratamentos
 y
a
+
n
ij  yi. 
2
i=1 j=1
+
SSErro
9
1 Fator – Efeito Fixo
Variância do tratamento i
1 n
2
yij  yi. 

n  1 j=1
Variância combinada dos a tratamentos
 y
a
n
ij
 yi.  an  1
2
i=1 j=1
10
1 Fator – Efeito Fixo
Variância entre tratamentos
1 a
2
 yi.  y.. 

a  1 i=1
Graus de liberdade
SSTotal : an-1
SSTratamentos : a-1
SSerro : a(n-1)
11
1 Fator – Efeito Fixo
Quadrados médios
QMTrat =
SQTratam entos
a 1
SQErro
QMErro=
a( n - 1 )
Esperança dos quadrados médios
E( QMT ratamen
tos) = σ 2 +
E(QMErro)= σ
a
n τ i2
i=1
a 1
2
12
1 Fator – Efeito Fixo
QMTtratam entos
Teste: Fo =
QMErro
Análise Estatística
• Critério para rejeição de H0:
F0 > F,a-1,N-a
valor p < 5%
• valor-p: probabilidade de rejeitar a hipótese nula devido a
variações aleatórias.
13
1 Fator – Efeito Fixo
Tabela da análise de variância de um experimento com um fator.
Causas de
Soma de
Graus de Quadrados
F0
variação
quadrados liberdade médios
Entre
tratamentos
a-1
QMTratamentos QMTratamentos
QMErro
Erro (dentro SSErro
de trata/os)
N-a
QMErro
Total
N-1
N = an
SSTratamentos
SST
CV =
Valor p
QMErro
.100
Média
14
1 Fator – Efeito Fixo
Teste de Tukey
d .m.s.  q ;r ; glerro
QM erro
r
dms = diferença mínima significativa
qα; r; gl_erro: valor tabelado
QMerro: quadrado médio do resíduo (ANOVA)
r: número de repetições de cada tratamento
Exemplo 1: Solventes
Tabela 1.1 Dados de absorbância de cada um dos solventes
E50
EAW
MAW
E70
M1M
0,5553
0,5436
0,4748
0,6286
0,1651
0,5623
0,5660
0,4321
0,6143
0,1840
0,5585
0,5860
0,4309
0,5826
0,2144
0,5096
0,5731
0,5010
0,7498
0,2249
0,5110
0,5656
0,4094
0,6060
0,1954
16
Exemplo 1: Solventes
•
•
•
Há suspeita de que o tipo de solvente esteja afetando a absorbância.
Distribuições assimétricas.
Valor discrepante observado para o solvente E70.
17
Exemplo 1: Solventes
• Minitab
Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics
Total
Variable Count
E50
5
EAW
5
MAW
5
E70
5
M1M
5
Mean
0,5393
0,5669
0,4496
0,6363
0,1968
StDev CoefVar
0,0266
4,94
0,0154
2,72
0,0372
8,28
0,0656
10,31
0,0238
12,11
Minimum
0,5096
0,5436
0,4094
0,5826
0,1651
Median Maximum
0,5553
0,5623
0,5660
0,5860
0,4321
0,5010
0,6143
0,7498
0,1954
0,2249
Range
0,0527
0,0424
0,0916
0,1672
0,0598
18
Exemplo 1: Solventes
•
Minitab
Stat – ANOVA – One-Way (Unstacked) – Comparisons – Tukey’s
Fonte de
Variação
Graus de
liberdade
Soma de
Quadrados
Quadrados
Médios
F
Valor-p
Solvente
4
0,583024
0,145756
101,11
0,0000
Erro
20
0,028832
0,001442
Total
24
0,611856
R²
95,29%
CV
•
•
•
•
7,95%
O teste da ANOVA confirma que o tipo de solvente afeta a absorbância.
F5%;4;20 = 2,87
Valor-p < 5%
95,29% da variância total é explicada pela reta obtida do modelo de regressão
linear
19
Exemplo 1: Solventes
•
•
•
Solvente
Média
Grupos Homogêneos
M1M
0,19676
a
MAW
0,44964
E50
0,53934
c
EAW
0,56686
c d
E70
0,63626
d
b
O teste de Tukey apontou que os solventes que não diferem entre si quanto
aos valores esperados de absorbância são:
• E50 e EAW
• E70 e EAW
Todos os demais diferem significativamente entre si.
A diferença mínima significativa (dms) calculada foi de 0,0718783.
20
1 Fator – Efeito Fixo
Qual teste de comparações múltiplas usar?
O LSD é eficiente para detectar diferenças verdadeiras nas médias se ele
for aplicado apenas depois do teste F da ANOVA, se significativo a 5%.
Idem para o Duncan. Estes métodos não contém o erro tipo I (erro geral
ou experimentwise error). Como o teste de Tukey controla este erro, ele é
o preferido pelos estatísticos. Se a comparação for com um grupo controle,
utiliza-se Dunnett.
21
1 Fator – Efeito Fixo
Estimação dos parâmetros do modelo
Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:
Estimativa pontual de i: dado i= + i, temos:
μˆ i = μˆ + τˆi = yi.
22
1 Fator – Efeito Fixo
Um intervalo de confiança para i é dado por:
yi. ± tα/2,Na QMErro/n
Intervalo de confiança para a diferença entre quaisquer duas médias i-j:
yi.  y j. ± tα/2, Na 2QMErro/n
23
Exemplo 1: Solventes
Estimativas da média geral e dos efeitos dos tratamentos:
μˆ = 0,4778
τˆ1 = 0,5393 0,4778= 0,0615
E50
τˆ2 = 0,5669 0,4778= 0,0891 EAW
τˆ3 = 0,4496 0,4778= 0,0282 MAW
τˆ4 = 0,6363 0,4778= 0,1585
E70
τˆ5 = 0,1968 0,4778= 0,2810 M1M
24
Exemplo 1: Solventes
Um intervalo de confiança para 4 é dado por:
0,6363± 2,086 ( 0,0014) / 5
0,6014 μ4  0,6712
Intervalo de confiança para a diferença entre as médias 3 e 4:
( 0,4496 0,6363) ± 2,086 2( 0,0014)/5
 0,2361 μ3  μ4  0,1373
25
1 Fator – Efeito Fixo
Dados desbalanceados:
O número de observações dentro de cada tratamento é
diferente.
a
ni
SQT otal=  yij2  y..2 /N
i=1 j=1
a
SQT ratamentos= 
i=1
yi2. y..2

ni N
26
1 Fator – Efeito Fixo
Diagnóstico do Modelo
Verificar se as pressuposições básicas do modelo são válidas fazendo a
análise de resíduos.
Define-se o resíduo da ij-ésima observação como:
eij = yij  yˆij
A suposição de normalidade
Vamos usar o gráfico normal de probabilidades: sob normalidade dos erros,
estes devem seguir uma reta de 45o.
27
Exemplo 1: Solventes
•
•
Alguns valores negativos dos resíduos
(mais extremos) deveriam ser maiores;
alguns valores positivos dos resíduos
deveriam ser menores, com exceção do
último valor que deveria ser maior.
O gráfico indica que os resíduos
(erros) podem ter distribuição normal.
d ij=
eij
QM erro
• Existe um resíduo que é muito maior que os demais, este valor é denominado outlier. Deve-se
fazer uma investigação sobre esse valor. Só eliminar um outlier se tiver uma justificativa não
estatística, caso contrário, fazer duas análises: uma com e outra sem o outlier. Usar métodos
não paramétricos. Transformação.
• Se algum resíduo padronizado (dij) for maior do que |3| ele é um outlier.
28
Exemplo 1: Solventes
Gráfico de resíduos no tempo
Usado para verificar se existe correlação entre os resíduos. Uma tendência de ter resíduos positivos
e negativos indica uma correlação positiva. Isto implica que a suposição de independência dos
erros foi violada. Isto é um problema sério, e até difícil de resolver. Se possível evitar este
problema. A casualização adequada pode garantir a independência.
29
Exemplo 1: Solventes
Gráfico dos resíduos versos valores preditos
A distribuição dos pontos é aleatória. Útil para verificar se as variâncias são heterogêneas
(forma de megafone). Devido à presença de um outlier as variâncias podem não ser
homogêneas. Na presença de heterogeneidade de variâncias é usual aplicar uma
transformação nos dados (Box-Cox). Pode-se usar os testes não-paramétricos (Kruskal30
Wallis).
Exemplo 1: Solventes
Transformação Box-Cox
Usada para homogeneizar as variâncias. As conclusões são realizadas para os dados transformados.
31
Exemplo 1: Solventes
Teste de Levene
1) Calcular os resíduos da análise de variância;
2) Fazer uma análise de variância dos valores absolutos desses resíduos;
3) Se as variâncias são homogêneas, o resultado do teste F será não significativo.
FV
GL
SQ
QM
F
P
Solventes 4 0,003576 0,000894 2,00 0,134
Error
20 0,008944 0,000447
Total
24 0,012519
Conclusão: Aceita-se a hipótese de que as variâncias são homogêneas, pois valor-p > 5%.
32
ANOVA 2 Fatores
Fator A com i níveis e fator B com j níveis.
ij = diferentes combinações de níveis dos dois fatores
(tratamentos).
kij = número de observações do tratamento.
Fatores A e B podem influir na variável dependente de
forma isolada, denominados efeitos principais, e de
forma combinada, efeito de uma combinação específica
dos fatores A e B.
ANOVA 2 Fatores
O teste de hipóteses para dois fatores A e B tem três
hipóteses nulas:
H0 : Não há efeito principal do fator A
H0 : Não há efeito principal do fator B.
H0 : Não há combinação de efeitos.
H1 : Há efeito em cada um dos três casos.
ANOVA 2 Fatores
Modelo
Efeito de
cada nível
do fator A
Efeito de
cada nível
do fator B
Média geral
Cada observação
da variável
resposta
Efeito de
cada nível
da interação
yijk = μ + αi + β j + αβij + εijk
Erro
ANOVA 2 Fatores
Suposições do modelo
Observações de cada célula ab: amostra aleatória de tamanho r;
Cada uma das ab populações é normalmente distribuída;
Todas as populações têm a mesma variância;

εijk ~ N 0,α
Os parâmetros
a
2

αi , β j e αβij satisfazem as
α =  β = 0
i
i=1
a
b
i
i=1
e
 αβ
ij
i=1
condições:
b
=  αβ ij = 0
j=1
ANOVA 2 Fatores
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• Considere o experimento que visa estudar o efeito simultâneo
do uso (ou não) de antibióticos e de vitamina B12 (ou não) no
aumento de peso (kg) diário em suínos. Faça uma análise
estatística do experimento com a finalidade de verificar se
existe diferença estatisticamente significativa entre os
tratamentos, adotando um nível de confiança de 95%.
Experimento: 2 fatores, 2 níveis e 3 repetições.
Tratamentos: 4
Unidades experimentais: 12
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
A tabela a seguir indica os valores observados na amostragem.
- sem antibiótico (a0)
- com 40g de antibiótico (a1)
- sem vitamina B12 (b0)
- com 5mg de vitamina B12 (b1)
Nível do Fator
a0
a1
b0
b1
1,30
1,26
1,19
1,21
1,08
1,19
1,05
1,52
1,00
1,56
1,05
1,55
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
• Nesse experimento vamos verificar os efeitos
individuais do uso de antibiótico ou da vitamina B12
no aumento de peso dos suínos, além de estudar a
interação desses dois fatores.
Fatores: Antibiótico (A) e Vitamina B12 (B);
Níveis: a0 (sem antibiótico) e a1 (com antibiótico); b0
(sem Vitamina B12) e b1 (com vitamina B12),
respectivamente, adicionados a uma dieta básica de
suínos.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
•
•
Há suspeita de que os níveis de antibiótico e/ou vitamina influenciam o peso
dos suínos.
Distribuições simétricas.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina

1,30+ ...+1,55²
= 0,4418
SQtotal = 1,30²+ ...+1,55² 
2.2.3

3,57²+ 3,61²+ 3,10²+ 4,63² 1,30+ ...+1,55²
= 0,4124

SQtrat =
2.2.3
3
SQerro = SQtotal  SQerro = 0,4418 0,4124= 0,0294
SQmod elo  SQA  SQB  SQAB  0,412333
SQmod elo
100  93,36%
R² 
SQtotal
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
MINITAB:/Stat/ANOVA/Two-way
Fonte de
Variação
Graus de
liberdade
Soma de
Quadrados
Quadrados
Médios
F
Valor-p
Antibiótico
1
0,020833
0,020833
5,68
0,044
Vitamina
1
0,218700
0,218700
59,65
0,000
Interação
1
0,172800
0,172800
47,13
0,000
Erro
8
0,029333
0,003667
Total
11
0,441667
R²
93,36%
CV
4,86%
F1,8;0,05 = 5,32
Conclusão: pelo menos duas médias de tratamentos diferem
significativamente entre si quanto ao ganho de peso diário de suínos.
Como a interação é significativa (valor-p < 5%), os fatores antibiótico e
vitamina não atuam independentemente na variável resposta (peso).
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
O que fazer agora?
• Como a interação é significativa deve-se fazer o desdobramento da
interação.
• Além disso, como os dois efeitos principais são significativos deve-se
estudar o comportamento de um fator dentro dos níveis do outro;
• Caso apenas um dos efeitos principais fosse significativo, seria necessário
estudar apenas o comportamento do fator não significativo dentro dos
níveis do outro fator.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
Medida da variação que ocorre com a característica em estudo (peso, neste
caso) correspondente às variações nos níveis desse fator, em cada um dos
níveis do outro fator.
= a1b0  a0b0 = 1,05 1,30= 0,25
( dentro b0 )
A
= a1b1  a0b1 = 1,52 1,26= 0,26
( dentro b1 )
B
= a0b1  a0b0 = 1,26 1,30= 0,04
( dentro a 0 )
A
B
= a1b1  a1b0 = 1,52 1,05= 0,47
( dentro a1 )
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
•
Na ausência da vitamina existe uma diferença no peso diário
dos suínos. A estimativa desta diferença é dada por
A
•
( dentro de b0
= a b  a b = 3,10 3,57= 0,47Kg
) 10 0 0
Somente o efeito do antibiótico prejudica o peso diário dos
suínos.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO SIMPLES DE UM FATOR
• Quando se utiliza a dose de vitamina B12, também existe uma
diferença no peso diário dos suínos.
A
( dentro de b1
= a b  a b = 4,63 3,66= 0,97Kg
) 11 01
• A combinação do uso de antibiótico e vitamina favorece o peso
diário dos suínos.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO PRINCIPAL DE UM FATOR
Quanto mudou a variável resposta devido
à mudança no nível do fator.
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Efeito principal de A
a1b0  a1b1 a0b0  a0b1 1,05  1,52 1,30  1,26



 0,005
2
2
2
2
A presença de antibiótico proporciona um aumento de 0,005kg no
peso dos suínos;
Efeito principal de B
a0b1  a1b1 a0b0  a1b0 1,26  1,52 1,30  1,05



 0,215
2
2
2
2
A presença de vitamina B12 proporciona um aumento de 0,215kg
no peso dos suínos;
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
EFEITO DA INTERAÇÃO ENTRE OS FATORES
Medida da variação que ocorre com a característica em estudo,
correspondente às variações nos níveis de um fator, ao passar de um nível a
outro do outro fator.
Efeito da interação A x B = B x A
A
A
( dentro de b1 )
( dentro de b0 )
0,26 ( 0,25)
=
= 0,255
2
2
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Interaction Plot for peso
Data Means
B0
B1
1,6
1,4
niv elFA
A0
A1
nivelFA
1,2
1,0
1,6
1,4
nivelFB
1,2
1,0
A0
A1
niv elFB
B0
B1
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Interações
2
X 112 + X 21
X +2+ + 3,57²+ 3,10² 6,67²
SQ(Adentrob ) =

=

= 0,0368
0
r
2r
3
2.3
2
X 122 + X 22
X +2+ + 3,66²+ 4,63² 8,29²
SQ(Adentrob1 ) =

=

= 0,1568
r
2r
3
2.3
F1,8;0,05 = 5,32
Exemplo 2: Antibiótico e Vitamina
Conclusão
• O teste para a interação AxB foi significativo (p < 0,05);
• Como nas fontes de variação do desdobramento A (dentro de b0) e
A(dentro de b1) o teste F foi significativo e o fator “Antibiótico”
possui dois níveis, não é necessário realizar um teste de comparação
de médias.
• Interpretações dos testes dos efeitos simples de antibiótico (A) e de
vitamina (B) perdem significado.
Experimento 2k fatorial
• Há apenas 2 níveis para cada fator;
• Ex.: Um experimento com 3 fatores e 2 níveis, em duplicata, corresponde
a 23 x 2, ou seja, ou 2 x 2 x 2 = 8 experimentos;
• Por que realizar experimento fatorial com dois níveis?
• ƒFacilidade de realização e de análise gráfica;
• Número reduzido de experimentos.
• Pode ser aplicado na maioria das situações e na resolução de problemas.
• Possibilidade de uso numa sequência de estudos, inclusive em casos
multivariados.
• Mesmo com um número elevado de fatores, este tipo de planejamento
mantém os experimentos em uma quantidade e complexidade razoável.
Exemplo 3 - Hipotético
Fatores
A
B
C
valor observado
1
-1
-1
352,761
1
-1
-1
347,335
-1
-1
1
353,872
1
1
-1
351,813
-1
1
1
339,947
-1
1
1
347,432
-1
1
-1
353,754
1
-1
1
350,932
1
1
-1
351,716
1
1
1
345,387
-1
-1
-1
348,340
-1
-1
1
359,257
-1
1
-1
350,073
1
-1
1
352,454
-1
-1
-1
353,298
1
1
1
348,374
Experimento fatorial:
3 fatores (A, B, C)
2 níveis (-1, 1)
Duplicata
2³ x 2 = 16 observações
Exemplo 3 - Hipotético
Apenas a interação entre 2 fatores foi significativa, com 10% de
significância.
Exemplo 3 - Hipotético
Com um nível de confiança de 90% conclui-se que:
Os efeitos do fator B foram significativos;
Os efeitos da interação BC foram significativos.
Exemplo 3 - Hipotético
Podemos assumir que os erros são normalmente distribuídos.
Exemplo 3 - Hipotético
A distribuição dos pontos é aleatória, indicando variâncias homogêneas.
Exemplo 3 - Hipotético
Os pontos dispostos ao acaso, indicando erros independentes.
Exemplo 3 - Hipotético
Os efeitos do fator B e da interação entre os fatores B e C são significativo (5%).
Exemplo 3 - Hipotético
Exemplo 3 - Hipotético
Exemplo 3 - Hipotético