Ensino Superior
Cálculo 2
1.4- Integral Indefinida
Exercícios Resolvidos
Amintas Paiva Afonso
Unidade 1.3
Integral Indefinida (Revisão)
Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Técnicas de Integração (Primitivação)
uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”
Amintas Paiva Afonso
01 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
 f(x)dx  F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
02 de37
EXERCÍCIO 01
Calcular
 (x
2
 1) 50 2x dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u =
x2
+1
du
 2x
dx
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
50
(u)
 du
u 51
(x2  1)51
 (u) du  51  C  51  C
50
03 de37
EXERCÍCIO 02
Calcular
 sen(x  9) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9
du
1
dx
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 sen(u) du
 sen(u) du  cos(u)  C  cos(x  9)  C
04 de37
EXERCÍCIO 03
Calcular
2
sen
 (x) cos(x) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)
du
 cos(x)
dx
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
2
u
 du
u3
sen3 (x)
 u du  3  C  3  C
2
05 de37
EXERCÍCIO 04
Calcular

e
x
x
dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x
Seja u =
1
1
du d  2  1  2 1 1
1


x   x 
Então
dx dx   2
2 1 2 x
x2
Logo:
1
2 x
dx = du
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.
06 de37

e
x
x
dx  
x
e
2
1 2 x
dx   2e
x
1
2 x
dx
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 2e
1
x
2 x
outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
1
1
dx  du 
dx  2du
2 x
x
dx   2eu du
u
u
u
2e
du

2
e
du

2
e
 C  2e


Ou seja:

e
x
x
dx  2e
x
x
C
C
07 de37
EXERCÍCIO 05
Calcular
2
x
 x  1 dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
2
(u
  2u  1) u du
ou:

1
(u 2  2u  1) u 2
Portanto:
1
1
 2 1
du    u u 2  2uu 2  1u 2  du




3
1
 5
   u 2  2u 2  u 2  du




5
1
2
u
3
1
2
u
1
1
2
u
3
1
 5
  u 2  2u 2  u 2  du  5  2 3  1  C


1
1
1
2
2
2
09 de37
Finalmente:
3
1
7
5
3
 5
2
4
2
  u 2  2u 2  u 2  du  7 u 2  5 u 2  3 u 2  C


Escrevendo em termos de x:
2
x

7
5
3
2
4
2
x  1 dx  (x  1) 2  (x  1) 2  (x  1) 2  C
7
5
3
10 de37
EXERCÍCIO 06
Calcular
x
x
e
 dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A integral dada deve ser escrita na forma
 u dv .
Seja, portanto:
ux
dv  e x dx
 x e dx
x
Então:
du  dx
x
dv

e
  dx
 v   e x dx  e x
Deste modo:
x
x
x
x
x
xe
dx

u
dv

uv

v
du

xe

e
dx

xe

e
C




a constante C pode ser
incluída apenas no final.
EXERCÍCIO 07
Calcular
2 x
x
 e dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Seja:
u  x2
dv  e x dx
Assim:
du  2x dx
x
dv

e
  dx
 v   e  x dx  e  x
Portanto:
2 x
2 x
x
x
e
dx

u
dv

uv

v
du


x
e

(

e
) 2xdx




12 de37
ou:
2 x
2 x
x
x
e
dx


x
e

2
x
e
dx


(1)
A última integral é semelhante à original, com a exceção de
que x2 foi substituído por x.
Outra integração por partes aplicada a
x
x
e
dx

completará o problema.
Seja:
ux
dv  e x dx
13 de37
Assim:
du  dx
x
dv

e
  dx
 v   e  x dx  e  x
Portanto:
x
x
x
x
e
dx

u
dv

uv

v
du


x
e

(

e
) dx




ou:
x
x
x
x
x
x
e
dx


x
e

e
dx


x
e

e
 C1


(2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
14 de37
2 x
2 x
x
x
e
dx


x
e

2
x
e
dx



  x 2e  x  2  x e  x  e  x  C1

  x 2e  x  2x e  x  2e  x  2C1
Portanto:
2 x
2
x
x
e
dx


(
x

2
x

2
)
e
C

15 de37
EXERCÍCIO 08
Determinar

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx
2
2
(x  2)(x  3)
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador
possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz
o termo:
A
x2
16 de37
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2
presente no denominador introduz os termos:
Bx  C Dx  E
 2
2
x  3 (x  3)2
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
3x4  4x3  16x2  20x  9
A
Bx  C Dx  E


 2
2
2
2
x  2 x  3 (x  3)2
(x  2)(x  3)
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2 A
(x  2)(x  3)
 (x  2)(x  3)

2
2
x

2
(x  2)(x  3)
Bx  C
Dx  E
(x  2)(x2  3)2 2
 (x  2)(x2  3)2 2
x 3
(x  3)2
2
2
17 de37
que resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (x2  3)2 A  (x  2)(x2  3)(Bx C) 
(x  2)(Dx E)
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes
resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (A  B) x 4  (2B C) x 3 
(6A  3B  2C  D) x 2 
(6B  3C  2D  E) x 
(6C  9A  2E)
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado,
obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5
incógnitas:
18 de37
 A B3
 2B  C  4

 6A  3B  2C  D  16
 6B  3C  2D  E  20

 9A  6C  2E  9
A solução deste sistema resulta:
A 1
B2
C0
D4
E0
Portanto:
3x4  4x3  16x2  20x  9
1
2x
4x



x  2 x 2  3 (x2  3)2
(x  2)(x2  3)2
19 de37
Logo:

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx 
(x  2)(x2  3)2

u  x2
du
1

du  dx
dx
1
1
dx

du  ln u  C
x2
u




1
dx 
x2

2x
dx 
x2  3


1
dx 
x2

2x
x
dx

4
dx
2
2
2
x 3
(x  3)
4x
dx
(x2  3)2

ln x  2  C
u  x2  3
du
 2x

du  2x dx
dx
2x
1
dx

du  ln u  C
2
u
x 3



ln x 2  3  C
20 de37


1
dx 
x2
 (x
2


x
dx  x (x 2  3)2 dx
2
 3)
u  x2  3


2x
x
dx

4
dx
2
2
2
x 3
(x  3)

(x 2  3)2 x dx
du  2x dx


u 2 du

1
2
du
 x dx
2

1  u 21 
1


2   2  1
2u


1
C
2(x  3)
2
E, finalmente:

3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2
dx

ln
x

2

ln
x

3

C
2
2
2
(x  2)(x  3)
x 3
21 de37
EXERCÍCIOS 09
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sejam as identidades trigonométricas:
sen 2 x 
1  cos2x
2
cos 2 x 
1  cos2x
2
Assim,
2
sen
 x dx  

2
sen
 x
1  cos2x
1
1
dx   dx   cos2x dx
2
2
2
01 
1 x
1  sen2x



2  0  1 2  2 
x sen 2x

C
2
4
 cos2xdx
u  2x
du
du
2 
 dx
dx
2
1
cos2xdx 
cos u du
2
1
 sen u  C
2


22 de37
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
2
cos
 x
x sen 2x

C
2
4
A integral
2
2
sen
x
cos
x dx

pode ser resolvida fazendo:
 1  cos2x   1  cos2x 
2
2
sen
x
cos
x
dx


  2   2  dx


1
1  cos2x  1 1  cos2x  dx
2
2


1
2
1

cos
2x dx

4
23 de37



1
1  cos 2 2x dx

4

1
1
2
1
dx

cos
2x dx


4
4
 cos 2x dx
2
u  2x

 cos 2x dx
2

x 1  x sen4x
  
4 4 2
8 

x sen4x

C
8
32
du
 dx
2
1
1  u sen 2u  u sen 2u x sen 4x

cos2 u du   
 
 

2
2 2
4  4
8
2
8
24 de37
EXERCÍCIO 10
Determinar

(x  2) sen(x2  4x  6) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
du
 2x  4
dx
du  (2x  4) dx  2 (x  2) dx
25 de37
Mas:

Logo, seja:
(x  2) sen(x2  4x  6) dx
du
 (x  2) dx
2
Assim,


(x  2) sen(x 2  4x  6) dx  sen(u)

du 1

sen(u) du
2 2
Sabe-se que:
 sen(u)du  cos(u) C
TABELA
26 de37
Então:

(x  2) sen(x 2  4x  6) dx 
1
(cos(u)  C)
2
Portanto:

1
(x  2) sen(x 2  4x  6) dx   cos(x 2  4x  6)  C
2
27 de37
EXERCÍCIO 11
Determinar

x
dx
x  x 1
2
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + x + 1
Então:
du
 2x  1
dx
du  (2x  1) dx
Na integral original, fazer:

x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx
28 de37
Mas:
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
x  x 1
2
1
1
1
2
1
2
dx
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO


2x  1
x  x 1
2
1
1
du 
2
u
1
2

dx 

1

u 2
1
2

1
du
u
ver detalhes na página anterior
  1 1 
 1
1
1  u 2  1 u 2 
du  
    u2  u

2   1  1 2  1 
 2 
 2 
2x  1
x2  x 1
dx  x 2  x  1  C
29 de37
2
TABELA

1
a2  u2
du  ln u  a 2  u 2  C
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
1
2

1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
2
1  3


 x    
2   2 

2
dx 
1
2

1
u a
2
2
du
onde:
1
u x
2
du  dx
3
a
2
30 de37
Portanto:
1
2

1
1
1
dx  ln x  
2
2
x2  x 1
2
3 
1
x    C
4 
2
Então, finalmente:

x
1
1
dx  x  x  1  ln x  
2
2
x2  x 1
2
2
3 
1
x   C
4 
2
31 de37
EXERCÍCIO 12
Determinar

9x3  3x  1
dx
3
2
x x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias.
9x3  0x 2  3x  1
x3  x 2
9x3  9x2
9
9x2  3x  1
9x3  3x  1
9x2  3x  1
9
3
2
x x
x3  x 2
fração própria
32 de37

9x3  3x  1
dx 
3
2
x x



9x2  3x  1
9
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
9x2  3x  1 A B
C
  2
2
x x
(x  1)
x (x  1)
9x2  3x  1
A
B
C
x (x  1) 2
 x 2 (x  1)  x 2 (x  1) 2  x 2 (x  1)
x
(x  1)
x (x  1)
x
2
9x2  3x 1  (A  C) x 2  (A  B) x  B
33 de37
 AC9

  A  B  3
  B 1

B=–1
A=2

 9 dx  
C=7
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)


2 1
7 
 dx
9 dx    2 
(x  1) 
x x


9 dx 


2
dx 
x
 9 x  2 ln x 

1
dx 
2
x

7
dx
(x  1)
1
 7 ln x  1  C
x
34 de37
EXERCÍCIO 13
Determinar

1
dx
3
2
x  x  2x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
1
1
1


x 3  x 2  2x x (x2  x  2) x (x  1)(x  2)
1
A
B
C
 

x (x  1)(x 2) x (x  1) (x  2)
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e
rearranjando resulta:
1  (A  B  C) x 2  (A  2B C) x  2A
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Portanto:
 A  BC  0

 A  2B  C  0
  2A  1

A
1
2
B
1
3
C
1
6
E, finalmente:
1
1
1
1



x (x  1)(x 2)
2x 3(x  1) 6(x  2)
Logo:

1
1
dx


2
x 3  x 2  2x



1
1
1
1
dx 
dx 
x
3 x 1
6

1
dx
x2
1
1
1
1
dx


ln
x

ln
x

1

ln x  2  C
3
2
2
3
6
x  x  2x
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crédito da figura de fundo
Catedral de
Saint-Nazaire
Carcassonne, França
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