Ensino Superior
Cálculo 2
1.3. Integral por Decomposição
de Frações Parciais
Amintas Paiva Afonso
Integral Indefinida
EXEMPLO 01
Determinar

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx
2
2
(x  2)(x  3)
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador
possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz
o termo:
A
x2
Integral Indefinida
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2
presente no denominador introduz os termos:
Bx  C Dx  E
 2
2
x  3 (x  3)2
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
3x4  4x3  16x2  20x  9
A
Bx  C Dx  E


 2
2
2
2
x  2 x  3 (x  3)2
(x  2)(x  3)
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2 A
(x  2)(x  3)

(x

2)(x

3)

2
2
x2
(x  2)(x  3)
Bx  C
Dx  E
(x  2)(x2  3)2 2
 (x  2)(x2  3)2 2
x 3
(x  3)2
2
2
Integral Indefinida
que resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (x2  3)2 A  (x  2)(x2  3)(Bx C) 
(x  2)(Dx E)
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (A  B) x 4  (2B C) x 3 
(6A  3B  2C  D) x 2 
(6B  3C  2D  E) x 
(6C  9A  2E)
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtém-se
um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5 incógnitas:
Integral Indefinida
 A B3
 2B  C  4

 6A  3B  2C  D  16
 6B  3C  2D  E  20

 9A  6C  2E  9
A solução deste sistema resulta:
A 1
B2
C0
D4
E0
Portanto:
3x4  4x3  16x2  20x  9
1
2x
4x



x  2 x 2  3 (x2  3)2
(x  2)(x2  3)2
Integral Indefinida
Logo:

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx 
2
2
(x  2)(x  3)

u  x2
du
1

du  dx
dx
1
1
dx

du  ln u  C
x2
u




1
dx 
x2

2x
dx 
2
x 3


1
dx 
x2

2x
x
dx

4
dx
x2  3
(x2  3)2
4x
dx
2
2
(x  3)

ln x  2  C
u  x2  3
du
 2x

du  2x dx
dx
2x
1
dx

du  ln u  C
2
u
x 3



ln x 2  3  C
Integral Indefinida


1
dx 
x2
 (x
2


x
dx  x (x 2  3)2 dx
2
 3)
u  x2  3


2x
x
dx

4
dx
2
2
2
x 3
(x  3)

(x 2  3)2 x dx
du  2x dx


u 2 du

1
2
du
 x dx
2

1  u 21 
1


2   2  1
2u


1
C
2(x  3)
2
E, finalmente:

3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2
dx

ln
x

2

ln
x

3

C
(x  2)(x2  3)2
x2  3
Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Determinar

9x3  3x  1
dx
3
2
x x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias.
9x3  0x 2  3x  1
x3  x 2
9x3  9x2
9
9x2  3x  1
9x3  3x  1
9x2  3x  1
9
3
2
x x
x3  x 2
fração própria
Integral Indefinida

9x3  3x  1
dx 
3
2
x x



9x2  3x  1
9
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
9x2  3x  1 A B
C



x x 2 (x  1)
x 2 (x  1)
9x2  3x  1
A
B
C
x (x  1) 2
 x 2 (x  1)  x 2 (x  1) 2  x 2 (x  1)
x
(x  1)
x (x  1)
x
2
9x2  3x 1  (A  C) x 2  (A  B) x  B
Integral Indefinida
 AC9

  A  B  3
  B 1

B=–1
A=2

 9 dx  
C=7
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)


2 1
7 
 dx
9 dx    2 
(x  1) 
x x


9 dx 


2
dx 
x
 9 x  2 ln x 

1
dx 
2
x

1
 7 ln x  1  C
x
7
dx
(x  1)
Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Determinar

1
dx
3
2
x  x  2x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
1
1
1


x 3  x 2  2x x (x2  x  2) x (x  1)(x  2)
1
A
B
C
 

x (x  1)(x 2) x (x  1) (x  2)
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e
rearranjando resulta:
1  (A  B  C) x 2  (A  2B C) x  2A
Integral Indefinida
Portanto:
 A  BC  0

 A  2B  C  0
  2A  1

A
1
2
B
1
3
E, finalmente:
1
1
1
1



x (x  1)(x 2)
2x 3(x  1) 6(x  2)
Logo:

1
1
dx


2
x 3  x 2  2x



1
1
1
1
dx 
dx 
x
3 x 1
6

1
dx
x2
1
1
1
1
dx


ln
x

ln
x

1

ln x  2  C
2
3
6
x 3  x 2  2x
C
1
6
Integral Indefinida

Bibliografia utilizada:





Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education.
São Paulo, 1992.
Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São
Paulo, 2006.
Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. SpringerVerlag. New York, 1979.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics.
Dover, 1990.