Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
AULA
FEVEREIRO 2010
Técnicas de Integração (Primitivação)
uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”
Prof. Emerson
01 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
 f(x)dx  F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
02 de37
EXERCÍCIO 01
2
50
(x

1)
2x dx

Calcular
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u =
x2
+1
du
 2x
dx
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
50
(u)
 du
u 51
(x2  1)51
 (u) du  51  C  51  C
50
03 de37
EXERCÍCIO 02
Calcular
 sen(x  9) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9
du
1
dx
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 sen(u) du
 sen(u) du  cos(u)  C  cos(x  9)  C
04 de37
EXERCÍCIO 03
Calcular
2
sen
 (x) cos(x) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)
du
 cos(x)
dx
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
2
u
 du
u3
sen3 (x)
 u du  3  C  3  C
2
05 de37
EXERCÍCIO 04
Calcular
e

x
x
dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
x
Seja u =
1
1
du d  2  1  2 1 1
1


x   x 
Então
dx dx   2
2 1 2 x
x2
Logo:
1
2 x
dx = du
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.
06 de37

x
e
x
dx  
e
x
2
1 2 x
dx   2e
1
x
2 x
dx
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
1
outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
1
1
dx  du 
dx  2du
2 x
x
 2e
x
 2e
du  2 e u du  2e u  C  2e
u
2 x
Ou seja:

dx   2eu du
e
x
x
dx  2e
x
x
C
C
07 de37
EXERCÍCIO 05
Calcular
2
x
 x  1 dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
2
(u
  2u  1) u du
ou:

1
(u 2  2u  1) u 2
1
1
 2 1
du    u u 2  2uu 2  1u 2  du




3
1
 5
   u 2  2u 2  u 2  du




Portanto:
 5
u2


3
 2u 2
1
 u2
5
1
2
u
3
1
2
u
1
1
2
u

 du 
2

C

5
3
1

1
1
1
2
2
2
09 de37
Finalmente:
3
1
7
5
3
 5
2
4
2
  u 2  2u 2  u 2  du  7 u 2  5 u 2  3 u 2  C


Escrevendo em termos de x:
x
7
2
5
3
2
4
2
x  1 dx  (x  1) 2  (x  1) 2  (x  1) 2  C
7
5
3
10 de37
EXERCÍCIO 06
Calcular
 xe
x
dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A integral dada deve ser escrita na forma
 u dv .
Seja, portanto:
ux
dv  e x dx
Então:
du  dx
 x e dx
x
x
dv

e
  dx
 v   e x dx  e x
Deste modo:
x
x
x
x
x
xe
dx

u
dv

uv

v
du

xe

e
dx

xe

e
C




a constante C pode ser
incluída apenas no final.
11 de37
EXERCÍCIO 07
Calcular
2 x
x
 e dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Seja:
u  x2
dv  e x dx
Assim:
du  2x dx
x
dv

e
  dx
 v   e  x dx  e  x
Portanto:
2 x
2 x
x
x
e
dx

u
dv

uv

v
du


x
e

(

e
) 2xdx




12 de37
ou:
2 x
2 x
x
x
e
dx


x
e

2
x
e
dx


(1)
A última integral é semelhante à original, com a exceção de
que x2 foi substituído por x.
Outra integração por partes aplicada a
x
x
e
dx

completará o problema.
Seja:
ux
dv  e x dx
13 de37
Assim:
du  dx
x
dv

e
  dx
 v   e  x dx  e  x
Portanto:
x
x
x
x
e
dx

u
dv

uv

v
du


x
e

(

e
) dx




ou:
x
x
x
x
x
x
e
dx


x
e

e
dx


x
e

e
 C1


(2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
14 de37
2 x
2 x
x
x
e
dx


x
e

2
x
e
dx



  x 2e  x  2  x e  x  e  x  C1

  x 2e  x  2x e  x  2e  x  2C1
Portanto:
2 x
2
x
x
e
dx


(
x

2
x

2
)
e
C

15 de37
EXERCÍCIO 08
Determinar

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx
2
2
(x  2)(x  3)
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias
O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador
possui grau 4 e o denominador possui grau 5.
Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz
o termo:
A
x2
16 de37
Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x2 + 2)2
presente no denominador introduz os termos:
Bx  C Dx  E
 2
2
x  3 (x  3)2
Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é:
3x4  4x3  16x2  20x  9
A
Bx  C Dx  E


 2
2
2
2
x  2 x  3 (x  3)2
(x  2)(x  3)
Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x2 + 3)2
3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2 A
(x  2)(x  3)

(x

2)(x

3)

2
2
x2
(x  2)(x  3)
Bx  C
Dx  E
(x  2)(x2  3)2 2
 (x  2)(x2  3)2 2
x 3
(x  3)2
2
2
17 de37
que resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (x2  3)2 A  (x  2)(x2  3)(Bx C) 
(x  2)(Dx E)
Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes
resulta:
3x4  4x3  16x2  20x  9  (A  B) x 4  (2B C) x 3 
(6A  3B  2C  D) x 2 
(6B  3C  2D  E) x 
(6C  9A  2E)
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado,
obtém-se um sistema de cinco equações algébricas lineares em 5
incógnitas:
18 de37
 A B3
 2B  C  4

 6A  3B  2C  D  16
 6B  3C  2D  E  20

 9A  6C  2E  9
A solução deste sistema resulta:
A 1
B2
C0
D4
E0
Portanto:
3x4  4x3  16x2  20x  9
1
2x
4x



x  2 x 2  3 (x2  3)2
(x  2)(x2  3)2
19 de37
Logo:

3x4  4x3  16x2  20x  9
dx 
2
2
(x  2)(x  3)

u  x2
du
1

du  dx
dx
1
1
dx

du  ln u  C
x2
u




1
dx 
x2

2x
dx 
2
x 3


1
dx 
x2

2x
x
dx

4
dx
x2  3
(x2  3)2
4x
dx
2
2
(x  3)

ln x  2  C
u  x2  3
du
 2x

du  2x dx
dx
2x
1
dx

du  ln u  C
2
u
x 3



ln x 2  3  C
20 de37


1
dx 
x2



2x
x
dx

4
dx
x2  3
(x2  3)2

x
dx  x (x 2  3)2 dx
2
(x  3)
2
u  x2  3
 (x
2

2
 3) x dx
du  2x dx

1
2
u

2
du
du
 x dx
2

1  u 21 
1


2   2  1
2u


1
C
2(x  3)
2
E, finalmente:

3x4  4x3  16x2  20x  9
2
2
dx

ln
x

2

ln
x

3

C
2
2
2
(x  2)(x  3)
x 3
21 de37
EXERCÍCIOS 09
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sejam as identidades trigonométricas:
sen 2 x 
1  cos2x
2
cos 2 x 
1  cos2x
2
Assim,
2
sen
 x dx  

2
sen
 x
1  cos2x
1
1
dx   dx   cos2x dx
2
2
2
01 
1 x
1  sen2x



2  0  1 2  2 
x sen 2x

C
2
4
 cos2xdx
u  2x
du
du
2 
 dx
dx
2
1
cos2xdx 
cos u du
2
1
 sen u  C
2


22 de37
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
2
cos
 x
x sen 2x

C
2
4
A integral
2
2
sen
x
cos
x dx

pode ser resolvida fazendo:
 1  cos2x   1  cos2x 
2
2
sen
x
cos
x
dx


  2   2  dx


1
1  cos2x  1 1  cos2x  dx
2
2


1
2
1

cos
2x dx

4
23 de37



1
2
1

cos
2x dx

4

1
1
2
1
dx

cos
2x dx


4
4
 cos 2x dx
2
u  2x

 cos 2x dx
2

x 1  x sen4x
  
4 4 2
8 

x sen4x

C
8
32
du
 dx
2
1
1  u sen 2u  u sen 2u x sen 4x

cos2 u du   
 
 

2
2 2
4  4
8
2
8
24 de37
EXERCÍCIO 10
Determinar

(x  2) sen(x2  4x  6) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
du
 2x  4
dx
du  (2x  4) dx  2 (x  2) dx
25 de37
Mas:

Logo, seja:
(x  2) sen(x2  4x  6) dx
du
 (x  2) dx
2
Assim,


(x  2) sen(x 2  4x  6) dx  sen(u)

du 1

sen(u) du
2 2
Sabe-se que:
 sen(u)du  cos(u) C
TABELA
26 de37
Então:

(x  2) sen(x 2  4x  6) dx 
1
(cos(u)  C)
2
Portanto:

1
(x  2) sen(x 2  4x  6) dx   cos(x 2  4x  6)  C
2
27 de37
EXERCÍCIO 11
Determinar

x
dx
x  x 1
2
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + x + 1
Então:
du
 2x  1
dx
du  (2x  1) dx
Na integral original, fazer:

x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx
28 de37
Mas:
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
x  x 1
2
1
1
1
2
1
2
dx
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO


2x  1
x  x 1
2
1
1
du 
2
u
1
2

dx 

1

u 2
1
2

1
du
u
ver detalhes na página anterior
  1 1 
 1
1
1  u 2  1 u 2 
du  
    u2  u

2   1  1 2  1 
 2 
 2 
2x  1
x2  x 1
dx  x 2  x  1  C
29 de37
2
TABELA

1
a2  u2
du  ln u  a 2  u 2  C
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
1
2

1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
1  3


x


  
2   2 

2
2
dx 
1
2

1
u a
2
2
du
onde:
u x
1
2
du  dx
a
3
2
30 de37
Portanto:
1
2

1
1
1
dx  ln x  
2
2
x2  x 1
2
3 
1
x    C
4 
2
Então, finalmente:

x
1
1
dx  x 2  x  1  ln x  
2
2
x2  x 1
2
3 
1
x   C
4 
2
31 de37
EXERCÍCIO 12
Determinar

9x3  3x  1
dx
3
2
x x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Frações impróprias
O primeiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias.
9x3  0x 2  3x  1
x3  x 2
9x3  9x2
9
9x2  3x  1
9x3  3x  1
9x2  3x  1
9
3
2
x x
x3  x 2
fração própria
32 de37

9x3  3x  1
dx 
3
2
x x



9x2  3x  1
9
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
3
2
x x
 9 dx  
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)
DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
9x2  3x  1 A B
C



x x 2 (x  1)
x 2 (x  1)
9x2  3x  1
A
B
C
x (x  1) 2
 x 2 (x  1)  x 2 (x  1) 2  x 2 (x  1)
x
(x  1)
x (x  1)
x
2
9x2  3x 1  (A  C) x 2  (A  B) x  B
33 de37
 AC9

  A  B  3
  B 1

B=–1
A=2

 9 dx  
C=7
9x2  3x  1
dx
2
x (x  1)


2 1
7 
 dx
9 dx    2 
(x  1) 
x x


9 dx 


2
dx 
x
 9 x  2 ln x 

1
dx 
2
x

7
dx
(x  1)
1
 7 ln x  1  C
x
34 de37
EXERCÍCIO 13
Determinar

1
dx
3
2
x  x  2x
Solução
INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM
FRAÇÕES PARCIAIS: Fatores lineares não repetidos
1
1
1


x 3  x 2  2x x (x2  x  2) x (x  1)(x  2)
1
A
B
C
 

x (x  1)(x 2) x (x  1) (x  2)
Multiplicando os dois lados da igualdade por x ( x–1 )( x+2 ) e
rearranjando resulta:
1  (A  B  C) x 2  (A  2B C) x  2A
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Portanto:
 A  BC  0

 A  2B  C  0
  2A  1

A
1
2
B
1
3
C
1
6
E, finalmente:
1
1
1
1



x (x  1)(x 2)
2x 3(x  1) 6(x  2)
Logo:

1
1
dx


2
x 3  x 2  2x



1
1
1
1
dx 
dx 
x
3 x 1
6

1
dx
x2
1
1
1
1
dx


ln
x

ln
x

1

ln x  2  C
3
2
2
3
6
x  x  2x
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crédito da figura de fundo
Catedral de
Saint-Nazaire
Carcassonne, França
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