Prof. Miguel -
Significado:
Trigonometria
Tri
gono
metria
três
ângulos
medição
Objetivo:
É o ramo da matemática
que estuda a relação
entre as medidas dos
lados e dos ângulos de
um triângulo retângulo
Aplicação:
É empregada na navegação, na
aviação, na topografia, etc.
É indispensável à engenharia e à
física.
Razões trigonométricas:
Seno, cosseno e tangente no
triângulo retângulo.
Considerando um ângulo agudo
de um triângulo retângulo
definimos:
O seno do ângulo agudo é a razâo
entre o cateto oposto ao ângulo e a
hipotenusa.
^ Cateto oposto
C
Seno do
B
=
hipotenusa
a
b
B
c
A
^
Sen
B
Obs:
=
Sen
b
a
^
C
=
c
a
O cosseno do ângulo agudo é a razão
entre o cateto adjacente ao ângulo e a
hipotenusa.
Cateto adjacente
^
C
=
Cosseno do
B
hipotenusa
a
b
B
c
A
Cos
^
B
=
Obs: Cos
c
a
^
C
=
b
a
A tangente do ângulo agudo é a razão
entre o cateto oposto e a cateto
adjacente ao ângulo.
Cateto oposto
^
C
=
Tangente do
B
Cateto adjacente
a
c
B
b
A
Tg
^
B
Obs:
=
c
b
^
Tg
C
=
b
c
Exemplo: N o triângulo abaixo temos:
C
5
B
Sen ^
B
3
= 5
Cos ^
B
=
4
5
=
3
=
0,75
4
Tg
^
B
= 0,6
= 0,8
3
A
4
e
Sen ^
C
e
Cos ^
C
e
^
C
Tg
4
=
= 0,8
5
=
3
5
= 0,6
4
=
= 1,3
3
Observação:
^
Sen
B
^
Cos
B
Tg
^
B
=
=
^
Cos
=
^
Sen
C
C
1
tg
^
C
ou
Tg
^
C
=
1
tg
^
B
Tabela de razões trigonométricas:
(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)
30º
30º
45º
45º
60º
60º
Sen
Sen
1
2
2
2
Cos
Cos
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
2
1
3
Tg
Tg
Aplicações:
1) Calcular x e y no triângulo retângulo abaixo:
a)
C
x
10
30º
A
y
B
x
Cateto oposto ao ângulo de 30º
y
Cateto adjacente ao ângulo de 30º
10
hipotenusa
x
Sen 30º =
10
1 = x
2
10
y
Cos 30º =
10
2x = 10
3 = y
10
2
2 y = 10 3
x=5
y=5 3
b)
x
Cateto adjacente ao ângulo de 30º
y Cateto oposto ao ângulo de 30º
hipotenusa
500 m
30º
500 m
y
Sen 30º =
1
2
=
y
500
y
500
2 y = 500
y = 250 m
Cos 30º =
3
2
=
x
500
x
500
2x = 500
3
x = 250
3
2) Veja a ilustração abaixo:
c
20º
Qual o comprimento dessa rampa?
C
3m
Sen 20º = 0,342
20º
Sen 20º =
0,342 c = 3
3
c
0,342
3
c=
c
3
c=
0,3 4 2
c = 8,77 m
O comprimento da rampa é de 8,77 m.
Você sabia que a rampa
para deficientes físicos
são obrigatórias em vários
lugares? Em ônibus e
outros tipos de transporte
também.
Procure se informar mais
sobre o assunto e discuta
com seus colegas.
Aplicações das Relações
Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
1) Vamos fazer algumas experiências
com medidas, utilizando: 2 palitos de
sorvete, transferidor e calculadora.
a) Calcule a altura do poste próximo à
sua escola. Observe o esquema abaixo:
palitos
ângulo
altura da criança
distância desconhecida
b) Faça o mesmo com a altura de um
prédio.
2) Na largura de
um rio ou nas
metragens de
terrenos e ruas, o
topógrafo utiliza
um instrumento
denominado
teodolito. Ele
serve para medir
ângulos. Veja a
foto ao lado.
Abaixo temos um esquema que foi
feito por profissionais para saber a
largura de um rio no trecho
considerado.
Ache esse valor com os dados
fornecidos.
l
55º
Tg 55º = 1,428
l
tg 55º =
30,5
l
1,428 =
30,5
l = 1,428 . 30,5
l = 43,554 m
A largura do rio é de 43,55 m .
Procure se informar sobre a profissão de
agrimensor e topógrafo.
3) Um navio se encontra a 60 m. de
um farol. Calcule a altura desse
farol, que é visto de um ponto de
observação de navio, sob um ângulo
de 20º?
20º
60 m
h
20º
N
60
farol
tg 20º =
h
60
0,364 =
h
60
h = 60 . 0,364
h = 21,84 m
A altura do farol é de 21,84 m.
4) Determine o valor das medidas
desconhecidas no triângulo:
a)
tg 45º =
45º
1=
x=8
x
8
x
8