Dipolo Linear
Prof. Nilton Cesar de
Oliveira Borges
Comportamento da Corrente em dipolo linear.
Pode ser adotado que a corrente possui um
comportamento senoidal.
Esse parâmetro é uma boa aproximação em
casos onde a antena é fina, ou seja, um
diâmetro em torno de λ/100.
As correntes em um dipolo curto possuem um
comportamento de onda estacionária desse modo temos:
Distribuição aproximada
das correntes em uma
antena linear fina com
comprimentos iguais a λ/2,
λ e 2λ.
λ/2
λ
2λ
Esse modo a corrente será:
2  L

I  I 0 sen 
  z   e

  2
 r
j t  
 c
Exemplos
L=λ/2 em Z=0

1
r

r
2   / 2
 2     / 2  j t  c 
 j t  c 
I  I 0 sen 
 Z   e
 I  I 0 sen 



  e

   2
   2 
I  I0  e
 r
j t  
 c
Nesse caso a corrente é máxima em z=0
Para qualquer tamanho de L qual será a corrente em z=L/2
2  L

I  I 0 sen 
  z   e

  2

 r
j t  
 c
r
 2    j t  c   0
0  e
 I 0 sen 
 

I0

r
 2    L L  j t  c 
I sen 

    e
 0
   2 2 
Nesse caso a corrente 0, nas pontas de
qualquer dipolo simétrico.
È sabido que o campo elétrico para um dipolo
curto é dado por:
j    I 0  L sen   e
E 
4      c2r
 r
j t  
 c
Sabendo que:
1


 120
c

 1

c f
  2f
A equação do campo Elétrico fica:
 r
j t  
 c
j  60    I 0  e
E 
r 
 L sen 

E 
j  60    I L sen 
r 
Como o dipolo curto é um condutor de dimensões pequenas,
sendo L orientado na direção z. O dipolo linear fino pode ser
considerado uma soma de vários condutores pequenos,
conseqüentemente o campo elétrico para dipolo linear fino é um
somatório dos campos elétricos de vários dipolos curtos.
E
Δz
j  60    I L sen 
E 
r 
j  60    I z  sen 
 E  
r 
Se z  0, entãoE  dE  e z  dz
j  60    I sen 
dE  
 dz
r 
P
Ponto
distante
dz
Z
S
z

j  60    I sen 
dE  
 dz
r 
r
L
Y

s
j  60    I sen 
dE  
 dz
s
Utilizando as mesmas simplificações e
raciocínios para o campo H teremos:
j  I sen 
dH  
 dz
2s 
Como Eθ = Z.HΦ = 120.Π .HΦ, basta acharmos o campo HΦ.
Para acharmos o campo HΦ, basta integrarmos de –L/2 a L/2
H  
L/ 2
L / 2
dH 
Sendo I, igual a:
2  L

I  I 0 sen 
  z   e

  2
 r
j t  
 c
A integral fica:
j  I 0  sen .e jt
H 
2
L/2
s
s
 0 1

2  L
2  L
1
  j c
  j c
   sen 

z

e

dz

sen

z

e

dz




  2

s

2
s






0
 L / 2

P
Ponto
distante
dz
Z
S
r
z

L
Y
z  cos 
A grandes distancias o s é praticamente igual a r sendo independente
de z, para efeito da amplitude, conseqüentemente, saindo assim da
integral. Porém para efeito da fase da onda, esse deva ser considerado
como:
s  r  z  cosθ
Desse modo a integral fica:
fase
j  I 0  sen .e
H 
2r
 r
j t  
 c
2  L

  sen 
  z   e

  2
L / 2
L/2

0
0
j
cos 
c
cos 
j

2  L


sen 
  z   e c  dz

  2
Para amplitude adota-se r=s e sai da
integral por ser invariante com z.
fase
 dz 
Adotando novamente β=ω/c , temos que β/4π = λ/2,
desse modo a integral fica:
j    I 0  sen .e
H 
4r
 r
j  t  
 c
L/2

0
cos 
2  L
 j c
{  sen 
 dz 
  z   e

  2
L / 2
0
cos 
j

2  L


sen 
  z   e c  dz}

  2
Fazendo a = jβcosθ; c= βL/2 e b=β para a 1º integral e b=-β para a
2º integral que estão dentro da chave ficam da forma:
ax
e
ax
e
  sen c  bx  dx  a 2  b 2 a  sen c  bx   b  cos c  bx 
Conseqüentemente teremos após todas as simplificações
 r
j t  
 c
j  I 0 .e
H 
2r

cosL cos   / 2 cosL / 2 
sen 
O campo elétrico então fica:
j  60 I 0 .e
E 
r
 r
j t  
 c
/ 2 cosL / 2 
 cosL cos sen

Percebe-se que a diferença entre os valores
de E e H é a parte fixa, pois a distribuição
dos campos em relação a θ é idêntica.
Sendo assim os diagramas dos campos elétricos serão:
 

 cos cos 
2


E
para o dipolo com L  /2
sen 
cos  cos   1
E
para o dipolo com L  
sen 
  3

 cos cos 
2


E
para o dipolo com L  3/2
sen 
Para acharmos a resistência de radiação faremos :
2
 I0 
P
 R 0 , onde R 0 é a resist encia
 2
de radiação no pontode máximacorrente.
Sabendo que:
j  I 0 cosL cos  / 2 cosL / 2 
H 

sen 
2r
PR 
1  2
W   PR  ds   H   
 r  sen .d.d
2 
2
1 2 
H 
2

2 
2
15I 0
W
 
 00

 sen d  d
cosL cos   / 2 cosL / 2  2
sen 

15I 0
cosL cos / 2  cosL / 2
W
  d  
d
 0
sen 
0
2
2


W  30I 0
2

0
2
cosL cos / 2  cosL / 22 d
sen 
I0  R 0
Sendo : W 
2
2
I0  R 0
2 cosL cos / 2   cosL / 2 
 30I 0 
d
2
sen 
0

2

R 0  60 
0
2
cosL cos / 2  cosL / 2
2
sen 
Essa integral é feita numericamente.
d
Como somente no dipolo de meia onda é
que temos a corrente máxima nos terminais
da linha de transmissão, precisamos
determinar a resistência para outras
correntes a fim de saber para cada tipo de
dipolo qual a resistência que a linha de
transmissão percebe.
Distribuição da corrente no Dipolo de
meia onda
Distribuição de corrente Dipolo uma onda e
meia.
Utilizando a equação da potência temos:
I1  R 1
I  R I0  R 0

Sendo : W 

2
2
2
2
2
2
Onde I1 é a correnteem qualquer pontoonde a
resistencia é R1.
2
Logo:
I0
R1  2  R 0
I1
Resistência de Radiação em Dipolos
Lineares