FNT
AULA 6
FUNÇÃO SENO E COSSENO
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Chama-se
circunferência
trigonométrica a
circunferência de
raio unitário (R=1),
com centro na
origem de um
sistema cartesiano.
360º = 2π rad
+1
R=1
-1
+1
180° = π rad
1º = π/ 180 rad
1 rad = 180º/π
-1
SENO E COSSENO
Tomando uma reta
qualquer que vai da
origem até um ponto
qualquer da
circunferência
trigonométrica temos
que cos(a) =x’ / R e
sen(a) = y’ / R
+1
R=1
-1
+1
-1
SENO E COSSENO
Tem-se que:
cos(a) = x’ / R
cos(a) = cateto adjacente
hipotenusa
sen(a) = y’ / R
sen (a) = cateto oposto
hipotenusa
P
y’
R=1
a
O
x’
Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que
o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e
o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y.
FUNÇÃO SENO
Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção
do segmento OM sobre o eixo OY.
+1
-1
FUNÇÃO SENO
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é
periódica de período fundamental T=2π.
-1 < sen(x) < 1
PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM
SINAL SENOIDAL
PERÍODO E FREQUÊNCIA
O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO
CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s)
O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE
FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps
V ou i
V ou i
1 Hertz
2 Hertz
¾
¼
½
(s)
(s)
¼
1
f=1/T
e
T=1/f
½ ¾
1
FUNÇÃO COSSENO
O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento
OM sobre o eixo horizontal OX.
FUNÇÃO COSSENO
Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é
periódica de período fundamental T=2π.
-1 < cos(x) < 1
RESUMINDO SENO E COSSENO
+1
-1
+1
-1
GRAUS
SENO
COSSENO
0 = 360
0
1
90
1
0
180
0
-1
270
-1
0
RESUMINDO SENO E COSSENO
90°
2º. Q
1º. Q
180°
0°
3º. Q
4º. Q
270°
GRAUS
SENO
COSSENO
30
0,5
0,866
60
0,866
0,5
120
0,866
-0,5
150
-0,5
-0,866
210
-0,5
-0,866
240
-0,86
-0,5
300 (-60°)
-0,866
0,5
330 (-30°)
-0,5
0,866
RESUMINDO SENO E COSSENO
SENO
2 1/2
RESUMINDO SENO E COSSENO
COSSENO
1/2
1/2
EXERCÍCIOS
1. EXPRESSE EM GRAUS:
A) 10π rad
9
Resp.: A) 200°
B) π rad
9
B) 20°
C) π rad
20
C) 9°
D) 4π rad
3
D) 240°
2. DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO
PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS.
360° / 12 = 30°
90° (12 a 3) + 30° (3 a 4) = 120°
Em radianos:
π - 180°
x - 120°
tem-se : x = 2π rad
3
EXERCÍCIOS
3. DETERMINE OS VALORES DE:
A) y = 3cos540° - 2sen90°
cos540° = cos180° = -1
y = 3 . (-1) – 2. (1) = (-3) – 2 = -5
sen90° = 1
B) y = 4sen900° - 2cos630° + cos720°
sen900° = sen180° = 0
cos630° = cos270° = 0
cos720° = cos0° = 1
y = 4 . (0) – 2. (0) + 1 = 1
EXERCÍCIOS
4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES:
A) y = 4cosx +1
3
B) y = 2 – 5senx
5
C) y = -3sen²x + 2
IMPORTANTE
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx
APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA
MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS
DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR:
v(t) = Vp . sen ῳt
e
v(ϴ) = Vp . sen ϴ
ONDE:
v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v)
Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v)
ῳ = frequência angular (em rd/s)
ϴ =ângulo (em rd)
FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde
à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo.
ϴ = ῳt , portanto quando ϴ = 2π, tem –se que t = T , então 2π = ῳT
ῳ = 2π
T
ou ainda ῳ = 2π.f
EXEMPLO APLICATIVO
Vp = 5v ; Vpp = 10v
5v
2,94
T = 0,25s
(s)
0,25
0,5
0,75
0,6
1,0
f = 4Hz ou 4cps
ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s
-5v
v (t) = Vp . sen ῳt
portanto
v (t) = 5 . sen 8πt
PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s:
v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v
IMPORTANTE
NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO
INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE
INCLUIR ESSA FASE INICIAL:
v (t) = Vp . sen (ῳt + ϴ0)
SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O
SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO
SINAL ADIANTADO
SINAL ATRASADO
EXERCÍCIOS
1. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π
f = 10000 Hz = 10kHz
b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms
f = 20000π / 2π
T = 100μs
c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3
v1 = 8,66v
d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd
10v
8,66v
t (μs)
x
x = π/3 rd
100
-10v
EXERCÍCIOS
2. REPRESENTAR , GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30°)
a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π
f = 4000 Hz = 4kHz
b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms
f = 8000π / 2π
T = 250μs
c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30°)
v2 = -7,5v
d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° ou π/6 rd
v
15v
250
-7,5v
y = -30°
y
t(μs)
-15v
DEFASAGEM
É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE
(DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA,
TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA
a) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + π/2) volts
v2 (t) = 5000.sen ῳt volts
A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ∆ϴ = π/2 rd OU A
DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ∆ϴ = -π/2 rd
DEFASAGEM
b) v1 (t) = 10000.sen(ῳt + 90°) volts
v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90°) volts
A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS
ESTÃO EM FASE
DEFASAGEM
c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts
v2 (t) = 5 sen (ῳt + 180°) v
A DEFASAGEM É DE 180°
EXERCÍCIO
t
1.
A)
B)
C)
D)
Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais:
O valor de pico e o valor de pico a pico
Período, frequência e frequência angular;
Defasagem entre as senóides;
Expressão matemática
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
t
1) DETERMINAR OS VALORES DE :
A) seno 4290° e desenhar no círculo trigonométrico onde
está localizado este ângulo.
B) cos 3555° e sen 3555° e desenhar no círculo
trigonométrio onde está localizado este ãngulo.
C) sen -17π / 6
D) cos 9π / 4
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
t
2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é
o valor de sen(x)?
3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade
cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5?
4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra
de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício.
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de
percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra ?
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
t
6) Para as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t)
pedem-se: a) freqüência angular (w), freqüência
(f), período (T) b) angulo de fase inicial c) obter a soma
das duas tensões.
v1(t) = 15.sen(2π103.t ) volts
v2(t) = 20.sen(2π103.t + π/2 ) volts ).
a) Da expressão de v1 obtemos que w1=2π103 rd/s e como
w=2πf, obtemos f1=1000Hz=1KHz e T1=1ms=0,001s.
O valor de pico desta tensão é Vp=15V, angulo de fase inicial ϴ=0º
b) Para v2 temos que w=2π103 rd/s e portanto f2=1000Hz=1KHz,
e T2=1ms=0,001s
o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial ϴ=90º=π/2.
A defasagem entre os dois sinais é de 90º
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
t
7) Representar as seguintes tensões senoidais:
v1( t ) = 155 sen (120πt – π/4) volts
v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts
Tensão v1: Vp=155V , w1=120π rd/s , f1= 60Hz logo
T1=1/f1 =1/60=16,66ms,
angulo de fase inicial
ϴ= -45º= -π/4
t=0
v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts
Tensão v2: Vp =155V , w2=120π rd/s ,
T2=1/f2 =1/60=16,66ms ,
angulo de fase inicial ϴ=0º.
f2=60Hz logo
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
t