Lista 4 - MTM 5162 - Cálculo B
1. Use a fórmula do comprimento de arco1 (para a curva y = f (x) onde f ′ é contı́nua em [a, b])
√
( )2
∫ b√
∫ b
dy
′
2
L=
1 + [f (x)] dx =
1+
dx
dx
a
a
para encontrar o comprimento da curva y = 2x − 5, −1 ≤ x ≤ 3. Verifique o seu resultado observando que a
curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância.
√
2. Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y = R2 − x2 , 0 ≤ x ≤ R.
Verifique o seu resultado observando que a curva é um quarto do cı́rculo de raio R.
3. Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva
x = y + y3 ,
1≤y≤4
4. Ache o comprimento da curva
(a) y = 1 + 6x3/2 , 0 ≤ x ≤ 1
(b) y 2 = 4x, 0 ≤ y ≤ 2
(c) y =
1
2
(ex + e−x ) , −1 ≤ x ≤ 1 (especificação de intervalo atualizada em 1/SET/2015)
(d) y = ln(cos x),
0 ≤ x ≤ π/3
5. Uma coruja voando a 5 m/s a uma altitude de 8 m acidentalmente derruba sua presa. A trajetória parabólica
de sua presa caindo é descrita pela equação
x2
y =8−
2
até que ela atinja o solo, onde y é a altura acima do solo e, x é a distância horizontal percorrida em metros.
Calcule a distância percorrida pela presa do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge
o solo. Expresse sua resposta com precisão de um décimo de metro.
6. Encontre as áreas das regiões indicadas
a)
1 se
b)
c)
a curva é dada por x = g(y) onde g ′ (y) é contı́nua num intervalo c ≤ y ≤ d então
√
( )2
∫ d√
∫ d
dx
2
L=
1 + [g ′ (y)] dy =
1+
dy
dy
c
c
1
7. Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então calcule
a área da região.
(a) y = x + 1, y = 9 − x2 , x = −1, x = 2
(b) y = x, y = x2
(c) y = 1/x, y = 1/x2 , x = 2
(d) y = x2 , y 2 = x
(e) y = 12 − x2 , y = x2 − 6
√
(f) y = x, y = 12 x, x = 9
(g) y = cos x, y = senx, x = π/2, x = 6π
(h) y = x − 1, y 2 = 2x + 6
(i) y = x2 − 7x + 6, pelo eixo x (y = 0), x = 2, x = 6
(j) y = x3 − 6x2 + 8x, y = 0 (eixo x)
(k) y = 2, y = cos4 x sen2 x, x = 0 e x = π/4.
Respostas
√
√
1. 80 = 4 5
2. πR/2
∫4√
3. 1 2 + 6y 2 + 9y 4 dy
√
√
( √
)
2
4. (a) 243
82 82 − 1
(b) 2 + ln(1 + 2) ≈ 2.29
√ )
( √
5. 12 4 17 + ln(4 + 17) ≈ 9.3 metros
6. (a) 64/3
(b) (7 + e−4 )/2 ≈ 3.51
(c) e − e−1
(d) ln(2 +
√
3)
(c) 64/3
7. (a) 39/2
(b) 1/6
(c) ln 2 − 1/2 ≈ 0.193
(d) 1/3
(e) 72
(f) 59/12
√
√
√
∫ 5π/4
∫ 5π/4
∫0
(g) π/2 (senx − cos x)dx + 4 π/4 (senx − cos x)dx + −π/4 (cos x − senx)dx = ( 2 + 1) + 4(2 2) + 1 = 2 + 9 2 ≈ 14, 73
(h) 18
(i) 56/3
(j) 8
(k) (−4 + 93π)/192 ≈ 1.5008
Obs.: a partir de substituições trigonométricas adequadas (x = tan θ) temos
∫ √
√
1 √
1
1 + x2 dx = x 1 + x2 + ln | 1 + x2 + x| + C
2
2
2