PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2010 – 2a Fase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
Questão 01. Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas
somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal
secundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica.
Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de x, y e z que
z9
x  2y  1 
  2x  3


tornam a matriz A   x  y  2  y  8
 x  8  um quadrado mágico e calcule esses
  4z  5 y  z  1  x  z  4 


valores.
RESOLUÇÃO:
Aplicando à matriz a lei de formação do quadrado mágico e fazendo a soma dos elementos das linhas, das
colunas e das diagonais igual a k:
Soma das linhas
Soma das colunas
Soma das diagonais
L1 = (–2x+3) + (z+9) + (x+2y+1) = k  –x + 2y + z = k – 13
L2 = (x+y+2) + (–y+8) + (–x+8) = k  k = 18
L3 = (–4z+5) + (y–z+1) + (–x+z+4) = k  –x + y – 4z = k – 10
C1 = (–2x+3) + (x+y+2) + (–4z+5) = k  –x + y – 4z = k – 10
C2 = (z+9) + (–y+8) + (y–z+1) = k  k = 18
C3 = (x+2y+1) + (–x+8) + (–x+z+4) = k  –x + 2y + z = k – 13
D1 = (–2x+3) + (–y+8) + (–x+z+4) = k  –3x+y +z = k – 15
D2 = (x+2y+1) + (–y+8) + (–4z+5) = k  x + y – 4z = k – 14
Analisando os resultados encontrados na tabela acima,conclui-se que L3 = C1, L1 = C3 e k = 18, chega-se
então ao sistema:
L1 )  x  2y  z  5
 x  y  4z  4


L3 )  x  y  4z  8
 x  2y  z  5

. Resolvendo esse sistema:

D
)

3x

y

z

3
 1
 x  y  4z  8
D 2 ) x  y  4z  4 3x  y  z  3
 L1
x  y  4z  4
x  y  4z  4 L1




 x  2y  z  5 L1  L 2
3y  3z  9
L 2 : 3









x

y

4z

8
L

L
2y

8z

12
3

 1

L 3 : 2
3x  y  z  3
3L1  L 4
2y  11z  15
L 4
x  y  4z  4
x  y  4z  4 x  y  4z  4 x  2  4  4




y

z

3

3z  3
2y  11  15
x  2
 L2  L3  


.

 y  4z  6
z  1
2y  15  11
y  2
2y  11z  15
2y  11z  15
 y  2
z  1
RESPOSTA: Os valores de x, y e z são, respectivamente, –2, 2 e –1.
Questão 02. Sabendo-se que o vértice da parábola de equação y = a1x² + a2x + a3

x
é o ponto de

interseção das curvas de equações y  log 1 2  4 e y = 2, e que a1, a2 e a3 são elementos da progressão
2
geométrica a1, a2, a3, ..., calcule a6.
RESOLUÇÃO:


Para determinar o ponto de intersecção das curvas de equações y  log 1 2 x  4 e y = 2, deve-se resolver
2
log 1 (2 x  4)  2  x
2 8
 y  log 1 (2 x  4)  2



o sistema: 

 x  3  o ponto de intersecção das curvas é
2
2
 y  2
2 x  4   1 
 y  2


 2
V = (3, –2).
a 2
Sendo esse ponto o vértice da parábola y = a1x² + a2x + a3 ,
 3  a 2  6a1  que a equação da
2a1
parábola pode ser escrita: y = a1x²  6a1x + a3.
Se a1, a2 e a3 são elementos da progressão geométrica a1, a2, a3, ..., a22 =a1.a3  (6a1)² = a1.a3  a3 = 36a1
 a equação da parábola pode agora ser escrita: y = a1x²  6a1x + 36 a1 
Nesta última equação, substituindo x por 3 e y por – 2 ( coordenadas do ponto V):
2
2 2 4
8
9a1  18a1 + 36 a1 = – 2  27 a1 = – 2  a1  
. y
x  x .
27
27
9
3
2 4 8
Se 
são os três primeiros termos de uma P.G., então
,
e
27 9 3
4  2  4  27 
2
5
q=
     
  6   576
  6  a 6  
9  27  9  2 
27
RESPOSTA: O valor de a6 é 576.
Questão 03. Sendo z1 e z2 números complexos tais que
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante,
• z2 satisfaz a equação x4 + x2 12 = 0 e Im(z2) > 0,
z
calcule 3 1  z 2 .
z2
RESOLUÇÃO:
Considere-se z = 8i = 8(cos90°+isen90°).
3
2cos 30  isen 30, k  0
90  360k
90  360k  3


z  3 8  cos
 sen
  z  2cos 150  isen150, k  1 
3
3


2cos 270  isen 270, k  2

  3 i
   3  i  ( 3 ,1)
2
  2 2 

3 i 
 
3
z  2 

  3  i  ( 3 ,1)  z1  ( 3 ,1)

2 
  2
20  i   2i  (0,2)



Resolvendo a equação biquadrada x4 + x2 12 = 0. Como é do 4o grau:
x= 
 b  b 2  4ac
2
x= 
x 1    4  2i

x 2   4  2i
 1  1  48
 1 7


 z 2  2i (Imz 2  0) .
2
2
x 3   3

x 4  3
Sendo z1  ( 3  1) e z 2  2i , então
3

z1
 z2 =
z2

 3 i
  2i   3  3i  2i   3  3i (2i)  2i 
3
 2i 
2i
2i(2i)


6i  2 3
 2i  2 3
i 3
 2i 


4
4
2
RESPOSTA: O valor de
Questão
3
1 3
  1.
4 4
z1
 z 2 é 1.
z2
 
π π
π

f  x  2 , 2  x  0
senx, 0  x  2
 

04. Dadas as funções reais f(x)  
,
e g(x)  


1  cosx,  x  π
1  f  x  π , 0  x  π

2

2
2

7
 
determine x, pertencente ao intervalo 0,  , tal que f x  2  g(x)   0 .
4
 2
RESOLUÇÃO:
π

  
Se x pertence ao intervalo 0,  ,  x   pertence ao intervalo
xπ,
2
2
2


 
f x  2  g(x)  7  0  sen 2 x  1  1  cos x  π   7  0  sen 2 x  2  senx  7  0 
4
2  4
4


4sen 2 x  4senx  1  0  senx 
RESPOSTA: x =

.
6
4  16  16
1
 senx   x  30 .
8
2
Questão 05. Considerem-se, no plano cartesiano, os subconjuntos A={(x, y)R²; x² + y² 4},
B={(x, y)R²;y  3 |x|} e C={(x, y)R²;y  2 }.
Calcule a área da região definida por A B C.
RESOLUÇÃO:
O gráfico ao lado representa a região definida por
A={(x, y)R²; x² + y² 4}.
O gráfico ao lado representa a região definida por
B={(x, y)R²;y 
3 |x|}, que é a intersecção dos subconjuntos
D = {(x, y)R²;y   3 x} e E = {(x, y)R²;y 
3 x},
As retas y = 3 x e y =  3 x formam com o semi-eixo
positivo de Ox ângulos cujas tangentes são, respectivamente,
iguais a 3 e  3 . Logo, suas medidas são, respectivamente
60° e 120°.
A parte em amarelo do gráfico ao lado representa a
interseção entre A={(x, y)R²; x² + y² 4} e
B={(x, y)R²;y 
3 |x|}, cuja área é:
4 20 10
S(AB) = Scírculo – Ssetor de 60° = 4 


6
6
3
Ao lado tem-se o gráfico da região definida por
C={(x, y)R²;y  2 }.
A região pintada de amarelo, no gráfico ao lado, representa
(A B) C.
No triângulo retângulo AHO, AO² = OH² + AH² 
4 = 2 + AH²  AH = OH = 2  que esse triângulo é
isósceles.
Então a área da região (A B) C é: S(A B) – S(do
segmento circular determinado pelo ângulo AÔB).
S(do segmento circular determinado pelo ângulo AÔB) = Ssector de 90° – SAOC
4 2  2
=

 2
4
2
10
7  6
S(A B) C =
 (  2) 
3
3
RESPOSTA: A área da região A B C é igual a
7  6
u.a.
3
Questão 06. Sobre um cilindro circular reto C e uma pirâmide triangular regular P sabe-se que
• C tem volume igual a 24cm³ e área de cada base igual a 4cm²,
• P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C.
Calcule o volume do tronco dessa pirâmide determinado pelo plano paralelo à base que
dista 2cm do vértice.
RESOLUÇÃO:
Sbase de C = r² = 4  r² = 4  r = 2.
VC = r²h = 24  4 h = 24  h = 6.
Sendo P uma pirâmide triangular regular, ABC é um triângulo
equilátero inscrito na circunferência da base do cilindro, cuja
r 3r
altura BM mede r  
 3.
2 2
No triângulo retângulo BMC,
BM
3
3
6
 sen60  

2 3
AB

2
3
 
² 3
2 3 ² 3

 3 3 cm².
4
4
S h 3 3 6
VP = ABC

 6 3 cm³.
3
3
Considerando como Vo o volume da pirâmide V(DEF) semelhante à pirâmide P, vale a relação
SABC =
Vo  h o

VP  h P
3
3

V
6 3 2 3
2
  o     Vo 

.
27
9
6 3 6

2 3 52 3
.

9
9
52 3
RESPOSTA: O volume do tronco de pirâmide é
cm³.
9
O volume do tronco de pirâmide é VP – Vo = 6 3 