12
5.10. Funções Trigonométricas
Considere um plano cartesiano e um círculo de centro na origem e raio r = 1. Seja P
a intersecção do eixo horizontal com a circunferência e vamos marcar a partir do ponto P,
no sentido anti-horário, arcos PX (ou ângulos θ ), de medida x radianos (ou graus).
Seja OX o raio da circunferência marcado a partir do extremo do arco PX. A medida
da projeção do raio unitário OX no eixo horizontal define o valor do cosseno do ângulo θ .
Já a medida da projeção do raio unitário OX no eixo vertical define o valor do seno do
ângulo θ e o quociente entre o valor do seno e o valor do cosseno nos dá a tangente de θ .
sen θ
cos θ
A tabela a seguir mostra os valores das funções trigonométricas vistas acima para os
principais ângulos do primeiro quadrante.
radianos
0
π
π
π
π
graus
0
6
30
seno
0
1
2
4
45
2
3
60
3
2
90
1
2
2
cosseno
1
3
2
2
2
1
2
tangente
0
3
3
0
não definida
1
3
5.10.1. Função Cosseno
É a função dada por
f :ℜ → ℜ
x a f ( x ) = cos x
cuja imagem é Im( f ) = [−1, 1] .
13
Gráfico 14: função cosseno.
5.10.2. Função Seno
É a função dada por
f :ℜ → ℜ
cuja imagem também é Im( f ) = [−1, 1] .
x a f ( x) = senx
Gráfico 15: função seno.
5.10.3. Função Tangente
f :D→ℜ
É a função dada por
x a f ( x) =
senx
cos x
onde D = {x ∈ ℜ / cos x ≠ 0}, ou seja,
π


D =  x ∈ ℜ / x ≠ ± kπ , k ∈ Ν  . O conjunto imagem é Im( f ) = ℜ .
2


14
Gráfico 16: função tangente.
Observação: Em se tratando de funções trigonométricas, define-se ainda as funções
1 
cos x 
1 



cotangente  cot gx =
 , cossecante  cos sec x =
 e secante  sec x =
.
senx 
senx 
cos x 



5.11 Exercícios
34. Esboce o gráfico, dê a imagem, estude o sinal e determine os intervalos de crescimento
e de decrescimento das funções.
se x < 0
1

(a ) y =  x + 1 se 0 ≤ x < 2
3
se x ≥ 2

 x + 1 se x ≥ 0
(b) y = 
− x se x < 0
 x 2 − 4 x
se x > 0
(d ) f ( x) =  2
− x − 4 x se x ≤ 0
 x 2 − 4 x + 3 se x ≥ 1
(c) y = 
se x < 1
− x − 1
 x 2 se x ≥ 2
( e) y = 
3 x
se x < 2
35. Esboce o gráfico, dê a imagem, estude o sinal e determine os intervalos de crescimento
e de decrescimento das funções.
x
(a) y = 2
9
(b) y =   - 1
5
x
3
( f ) y = − 
4
(k ) y = log
x
x
15
( p ) y = log
x −2
23
1
(g) y =  
2
(c ) y = 3 − x
(d ) y = 8 x + 2
x +1
( h) y = π
x
(l ) y = log 2
x+2
(m) y = log
x +1
8
7
x
(q ) y = log 2 + 1
(i ) y = π
(r ) y = −2 + ln x
1
( j) y =  
2
x −1
(n) y = log
(e) y = −(5 x )
x −1
0 , 23
x −1
(o) y = − log
x
7
( s ) y = 1 − ln x
7
36. Esboce o gráfico, dê a imagem, estude o sinal e determine os intervalos de crescimento
e de decrescimento das funções.
15
(a) y = x − 3
(b) y = x + 2
(c ) y = − x + 4 + 1
(d ) y = x + 1
( e) y = x − 2
(f) y =− x
(g) y = − x + 2
(h) y = 2 senx
(i ) y = 2 + cos x
( j ) y = sen(3 x)
(k ) y = senx − 1
(l ) y =
 x
(m) y = cos 
2
(n) y = (senx )
(o) y = (cos x )
2
2
cos x
4
( p ) y = tgx
5.12 Operações com Funções
Sejam f e g duas funções tais que D ( f ) ∩ D ( g ) seja diferente do conjunto vazio.
Definimos:
a) A função f + g dada por ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) denomina-se soma de f e g. O
domínio de f + g é D ( f ) ∩ D ( g ) .
b) A função f . g dada por ( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x) denomina-se produto de f e g. O
domínio de f . g é D ( f ) ∩ D ( g ) .
f 
f ( x)
f
dada por  ( x) =
com g ( x) ≠ 0 denomina-se quociente de f e g. O
g ( x)
g
g
f
domínio de
é D( f ) ∩ D( g ) desde que g ( x) ≠ 0 .
g
d) A função kf, k constante, dada por (kf )( x) = kf ( x) é o produto de f pela constante k. O
domínio de kf é D ( f ) .
e) Sejam f e g duas funções tais que Im( g ) ⊂ D( f ) .
A função dada por
y = ( f o g )( x) = f ( g ( x)) denomina-se função composta de f e g e tem o mesmo domínio
que g.
Obs: Pode-se definir, por recorrência, a função composta de n funções.
c) A função
5.13 Sobrejeção, Injeção e Bijeção
Uma função f : A → B é sobrejetora ⇔ Im( f ) = B .
Uma função f : A → B é injetora ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ A, x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .
Uma função f : A → B é bijetora ⇔ f é sobrejetora e injetora.
Se f é uma função bijetora de A em B, a “relação inversa” de f é uma função de B em
A que denominamos função inversa de f e indicamos por f −1 . E mais, a função inversa
(
satisfaz a condição f o f
−1
)( x) = ( f
−1
)
o f ( x) = x .
16
5.14 Exercícios
f
e os respectivos domínios nos casos abaixo.
g
1
( a ) f ( x) = x e g ( x ) = x 2 - 1
(b) f ( x) = x e g ( x) =
x
1
(c) f ( x ) =
e g ( x) = x − 2
(d ) f ( x) = x − 2 e g ( x) = 7 − x
x
(e) f ( x) = cos x e g ( x) = senx
( f ) f ( x) = − x + 3 e g ( x) = x 2 − 5 x + 4
37. Determine f + g , f . g e
38. Determine a composta y = ( f o g )( x) .
( a ) f ( x) = 3 x + 1 e g ( x ) = x + 2
x +1
(c) f ( x ) =
e g ( x) = x 2 + 3
x−2
(b) f ( x) = 2 + x 2 e g ( x) = x
( d ) f ( x ) = − x 2 + 3x + 1 e g ( x) = 2 x − 3
39. Sejam as funções reais f e g, definidas por f ( x) = x 2 + 4 x − 5 e g ( x) = 2 x − 3 . Pede-se:
(a) Obter as leis que definem f o g e g o f .
(b) Calcular ( f o g )(2 ) e ( g o f )(2 ) .
(c) Determinar os valores do domínio da função f o g que produzem imagem 16.
40. Sejam as funções reais f e g, definidas por f ( x) = x 2 − x − 2 e g ( x) = 1 − 2 x . Pede-se:
(a) Obter as leis que definem f o g e g o f .
(b) Calcular ( f o g )(- 2 ) e ( g o f )(− 2 ) .
(c) Determinar os valores do domínio da função f o g que produzem imagem 10.
41. Sejam as funções reais f e g, definidas por f ( x) = x 2 + 2 e g ( x) = x − 3 , obter as leis
que definem: f o g , g o f , f o f , g o g e g o g o g .
42. Sejam as funções reais f, g e h, definidas por f ( x) = 2 x + 1 , g ( x) = x 2 − 1 e
h( x ) = 3x + 2 . Obter a lei que define h o f o g .
43. Nos exercícios de 1 a 14, 18, 22, 29, 34, 35 e 36 discutir a sobrejeção, a injeção e, por
conseguinte, a bijeção de cada uma das funções.
44. Obter a lei de correspondência e o domínio que define a função inversa.
( a ) f ( x) = 2 x + 3
( e) f ( x ) = x 2 − 2 x + 3
(b) f ( x) = x 2 − 5
(c) f ( x ) =
( f ) f ( x) = x 2 + 2 x + 2
4x − 1
3
( g ) f ( x) = 2 x
( d ) f ( x) =
x +1
x−2
( f ) f ( x) = log
x
4