Análise na Reta - Verão UFPA
5a Lista- Derivadas, Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada
Você deve encará-la como uma lista mı́nima, uma vez que quanto mais exercı́cios fizer,
melhor vai ser o seu entendimento acerca dos conteúdos do curso.
1. Seja f : A → R uma função definida em um aberto A, f é derivável em a ∈ A se, e
somente se, existir uma função g : A → R, contı́nua em a, que satisfaz
f (x) = f (a) + g(x)(x − a),
para todo x ∈ A.
2. Sejam f, g, h : A → R tais que para todo x ∈ A se tenha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se
num ponto a ∈ A ∩ A0 tem-se f (a) = h(a) e existem f 0 (a) = h0 (a), então existem
g 0 (a) = f 0 (a).
3. Seja f : A → R derivável em a. Se xn < a < yn para todo n ∈ N e lim xn = lim yn =
n→∞
n→∞
a então
f (yn ) − f (xn )
f 0 (a) = lim
.
n→∞
yn − xn
4. Seja f : A → R derivável em a ∈ int(A) então
f (a + h) − f (a − h)
.
h→0
2h
f 0 (a) = lim
5. Sejam I um intervalo aberto, f : I → R de classe C 2 . Se f (I) ⊂ J e g : J → R é de
classe C 2 então a composta g ◦ f : I → R é de classe C 2 .
6. Seja f : I → R de classe C 2 com f (I) = J e f (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Então
f −1 : J → R é de classe C 2 .
7. Seja f : R → R uma função par de classe C ∞ , então vale Dn f (−x) = (−1)n Dn f (x).
8. Se f : R → R uma função k vezes derivável tal que f (tx) = tk f (x) para todo x, t ∈ R,
Dk f (0) k
então f (x) =
x = cxk .
k!
9. Seja f : R → R uma função de classe C 1 então o conjunto dos seus pontos crı́ticos é
fechado.
1
10. Seja f : (a, b) → R derivável e c um ponto crı́tico de f , se existir δ > 0 tal que:
a) Se f 0 (x) ≥ 0 para x ∈ (c − δ, c) e f 0 (x) ≤ 0 para x ∈ (c, c + δ), então c é um máximo
local de f .
b) Se f 0 (x) ≤ 0 para x ∈ (c − δ, c) e f 0 (x) ≥ 0 para x ∈ (c, c + δ), então c é um mı́nimo
local de f .
11. Seja f : I → R derivável no intervalo aberto I. Um ponto crı́tico c ∈ I é dito não
degenerado quando f 00 (c) 6= 0. Mostre que todo ponto crı́tico não degenerado é um
ponto de máximo local ou mı́nimo local.
12. Seja f : I → R de classe C 1 num conjunto compacto K ⊂ I em que todos pontos
crı́ticos de f são não degenerados, mostre que existe um número finito deles.
13. Mostre que o conjunto dos pontos de máximo ou de mı́nimo local estrito de qualquer
função f : R → R é enumerável.
14. Seja g : I → R contı́nua, exceto em c. Se existem lim+ g(x) = M e lim− g(x) = L com
M 6= L então não existe f : I → R com f 0 = g.
x→c
x→c
ln(x)
. Determine os intervalos de crescimento e
x
decrescimento de f , seus pontos crı́ticos e seus limites quando x → 0+ e x → +∞.
15. Seja f : R+ → R dada por f (x) =
16. Sejam f derivável em I, com
0
A = {f (x) | x ∈ I}
e
B=
f (x) − f (y)
, x 6= y ∈ I .
x−y
Mostre que:
a) B ⊂ A;
b) B = A;
c) sup(B) = sup(A) e inf(B) = inf(A).
17. Seja f : I → R derivável no aberto I. Se existir K ∈ R tal que |f 0 (x)| ≤ K para todo
x ∈ I, então f é lipschitziana em I.
18. Se f : I → R satisfaz |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α com α > 1, C > 0, x, y ∈ R arbitrários,
então f é constante.
19. Calcule as derivadas sucessivas da função f : (−1, 1) → R com f (x) =
20. Seja f : R → R dada por f (x) =
2003 de f em x = 0.
1
.
1−x
x5
. Determine as derivadas de ordem 2001 e
1 + x6
2
21. Seja f : I → R de classe C ∞ no intervalo I, suponha que exista K > 0 tal que
|f n (x)| ≤ K para todo x ∈ I e todo n ∈ N, então para x0 , x ∈ I quaisquer vale
f (x) =
∞
X
f k (x0 )(x − x0 )k
k=0
k!
.
22. Seja f : I → R de classe C 2 no intervalo I. Dado a ∈ I, defina a função ϕ : I → R
f (x) − f (a)
como ϕ(x) =
se x 6= a e ϕ(a) = f 0 (a). Mostre que ϕ é de classe C 1 .
x−a
23. Sejam f, g : I → R duas vezes deriváveis no ponto a ∈ int(I). Se f (a) = g(a),
f 0 (a) = g 0 (a) e f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ I. Prove que f 00 (a) ≥ g 00 (a).
24. Sejam f : I → R e g : I → R convexas com f (I) ⊂ J e g não-decrescente. Mostre que
g ◦ f : I → R é convexa.
25. Se f : I → R possui um ponto crı́tico não degenerado c ∈ int(I) e f 00 é contı́nua, então
existe δ > 0 tal que f é convexa ou côncava em (c − δ, c + δ).
26. O produto de funções convexas pode não resultar em numa função convexa. Dê um
contra-exemplo.
27. Seja f : [a, b] → R contı́nua e convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Então existe um único
c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
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