Séries – 8. Funções a Valores Vetoriais
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Curvas Planas
Trajetória: Uma curva formada no plano, cujos pontos são dados em função
do tempo e são da forma:
(x, y) = (f (t), g(t)) ,
t ∈ I,
I é um int. de tempo
A curva C descrita por pontos, como na forma acima, é uma curva parametrizada.
Vetor posição: Vetor que liga a origem (0, 0) ao ponto P (x, y), como segue
abaixo
~ = hf (t), g(t)i = f (t)i + g(t)j
r(t) = 0P
Funções componentes: f (t) e g(t).
Função Vetorial: r(t) na variável t ∈ I
Exemplo (1): Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas
x = t2 − 2t y = t + 1
Ilustração Gráfica
Limite
Definição: Seja r(t) = f (t)i + g(t)j. Se
lim f (t) = L1
t→c
e
lim g(t) = L2
t→c
então:
lim r(t) = L1i + L2j
t→c
Continuidade: r(t) é contı́nua em t = c, c ∈ Dom(r(t)), se
lim r(t) = r(c)
t→c
Exemplo (2): Calcule o limite e os valores de t para os quais a função vetorial
é contı́nua e descontı́nua
sen 2t
lim
i + (ln(t + 1)) j
t→0
t
Derivadas
∆r = r(t + ∆t) − r(t)
= [f (t + ∆t)i + g(t + ∆t)j] −
[f (t)i + g(t)j]
= [f (t + ∆t) − f (t)] i+
[g(t + ∆t) − g(t)] j
Quando ∆ → 0, temos:
f (t + ∆t) − f (t)
g(t + ∆t) − g(t)
∆r
= lim
i + lim
j
lim
∆t→0
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
∆t
df
dg
=
i+
j
dt
dt
Exemplo (3): Encontre a reta tangente à curva r(t) = (2 cos t − 3) i +
(3 sen t + 1) j, no ponto t = π/4.
Regras de Derivação
Sejam
• r e s funções vetoriais deriváveis em
t;
• c um escalar (constante);
• C um vetor constante;
• f (t) uma função escalar qualquer.
1. Multiplicação por Constante
4. Produto Escalar
d
d
0
0
C=0
[r(t)
·
s(t)]
=
r
(t)·s(t)+r(t)·s
(t)
dt
dt
2. Multiplicação por Escalar
5. Regra da Cadeia
d
[cr(t)] = cr0(t)
d
dt
[r (f (t))] = f 0(t) · r0 (f (t))
d
dt
[f (t)r(t)] = f 0(t)r(t) + f (t)r0(t)
dt
3. Soma / Diferença
d
[r(t) ± s(t)] = r0(t) ± s0(t)
dt
Movimento
dr
aponta na direção e sentido do movimento e também fornece a taxa de
dt
variação da posição em relação ao tempo. Desta maneira, seja r(t) o vetor
posição de uma partı́cula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Assim:
dr
Vetor Velocidade: v(t) = , tangente à curva.
dt
Módulo da velocidade: |v(t)|.
dv d2r
Vetor Aceleração: a(t) =
= 2.
dt
dt
Exemplo (4): A trajetória de uma partı́cula para t > 0 é dada por:
2
r(t) = t +
i + 3t2 j
t
dy
(a) Encontre as coordenadas de cada
(b)
Encontre
quando t = 1.
ponto na trajetória onde a compodx
nente horizontal da velocidade da
d2y
(c) Encontre 2 quando y = 12.
partı́cula é zero.
dx
Integrais
Integral Indefinida: Conjunto de todas as primitivas de r(t), em relação a t:
Z
r(t) dt = R(t) + C
onde R(t) é qualquer primitiva de r(t).
Cálculo: Se r(t) = f (t)i + g(t)j, então:
Z
Z
Z
r(t) dt =
f (t) dt i +
g(t) dt j
Integral Definida: Se as componentes de r(t) = f (t)i + g(t)j são integráveis
em [a, b] então r(t) também é e sua integral definida é dada por:
Z b
Z b
Z b
r(t) dt =
f (t) dt i +
g(t) dt j
a
a
a
Exemplos
Exemplo (5): Calcule
Z
π
4
[(sen t)i + (1 + cos t)j] dt
− π4
dr
= (t3 + 4t)i + tj e r(0) = i + j.
dt
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 133 à 136;
Exercı́cios: 1 à 43.
Exemplo (6): Determine r(t), sabendo que