Relatividade Matemática
Ficha 14
A entregar até Terça-feira dia 15 de Junho
Seja γ a métrica Riemanniana esfericamente simétrica definida em R3 por
γ=
dr2
1−
2m(r)
r
+ r2 dθ2 + sen2 θdϕ2 ,
onde m é uma função de classe C ∞ .
1. Verifique que em coordenadas Cartesianas se tem
γij = δij +
1
2m(r)
r3
xi xj .
− 2m(r)
r
2. Mostre que se existe
M = lim m(r)
r→∞
então γ é assimptoticamente plana e a sua massa ADM é M .
3. Conclua que se o desenvolvimento globalmente hiperbólico máximo de (R3 , γ, 0) é estacionário então a sua massa ADM coincide com a sua massa de Komar (para uma normalização apropriada do campo de Killing).
4. Verifique que a curvatura escalar de γ é
R=
4 dm
.
r2 dr
5. Prove o Teorema da Massa Positiva para a métrica γ.
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