4◦ LISTA SMA332
Professora: Irene I. Onnis
1. Funções de várias váriaveis
(1) Seja
x2
y2 − 3
e seja C a curva interseção da superfı́cie com o plano x = 3. Encontre as equações para a reta tangente
a C em P = (3, 2, 9).
xy
(2) Mostre que se u =
, então
x+y
z=
x2
∂2u
∂2u
∂2u
+ 2xy
+ y 2 2 = 0.
2
∂x
∂x∂y
∂y
(3) Seja f (x, y) uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contı́nuas em toda parte. É
possı́vel que
a) fx = x + y e fy = y − x?
b) fx = xy e fy = xy?
(4) Determine a equação do plano tangente à superfı́cie no ponto indicado:
a)
g(x, y) = e−(x
2
+y 2 )
(1, 0, e−1 )
,
b)
f (x, y) = ln(cos(x2 + y 2 )),
(0, 0, 0)
(5) Use
a)
b)
c)
o ı́tem anterior para determinar:
a aproximação afim de g(x, y) em (1, 0);
a aproximação afim de f (x, y) em (0, 0);
o valor aproximado de g(0.9, 0.3).
∂z
∂z
(x, y) e
(x, y) sabendo que a equação
(6) Use diferenciação implı́cita para determinar
∂x
∂y
sin(x + y) + sin(y + z) + sin(x + z) = 0
define implicitamente z = z(x, y). Determine também o valor das duas derivadas parciais acima em
(π, π), sabendo que z(π, π) = π.
(7) Prove, usando a definição, que a função f (x, y) = xy é diferenciável em todo ponto do seu domı́nio.
(8) Mostre que a função é diferenciável onde enunciada:
a)
2exy
f (x, y) =
,
x 6= y
x−y
b)
g(x, y) = ln(x2 + y 2 ),
(x, y) 6= (0, 0)
(9) Seja
 2
2

x −y ,
f (x, y) = x2 + y 2

 0,
se
(x, y) 6= (0, 0)
se
(x, y) = (0, 0).
a) Estude a continuidade da f (x, y) em (0, 0).
b) Estude a diferenciabilidade de f (x, y) em (0, 0). Justifique.
(10) Verificar se a função é diferenciável na origem:


5
1


 2x , se (x, y) 6= (0, 0)

,
2
2
2
2
a) f (x, y) = x + y
b) g(x, y) = x + y


 0,
 0,
se (x, y) = (0, 0).
1
se
(x, y) 6= (0, 0)
se
(x, y) = (0, 0).
2
2. Diferencial
(11) Sejam
g(x, y) = e−(x
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
2
+y 2 )
,
f (x, y) = ln(cos(x2 + y 2 )),
escreva a diferencial total das funções g(x, y) e f (x, y) .
Usando os diferenciais, avalie aproximadamente:
√
√
a) 4, 02 + 3 7, 9
b) (1, 1) cos(0, 03π)
c) 1, 023,001
Use diferencias para aproximar o valor de f (x, y) = x2 exy em (2.9, 0.01).
Determinar o erro decorrente da aproximação dz ≈ 4z se z = x2 y e (x, y) passa de (2, 4) para (2.1, 4.2).
Considerar um retângulo com lados a = 5 cm e b = 2 cm. Como vai variar, aproximadamente, a
diagonal desse retângulo se o lado a aumentar 0, 002 cm e o lado b diminuir 0, 1 cm?
Estime quanta madeira é necessária para fazer uma caixa retangular oca cujas medidas internas sejam
5 pés de cumprimento por 3 pés de largura por 2 pés de profundidade, se a caixa for feita com madeira
de 0, 5 pol de espessura e não tiver a tampa. (1 pé = 12 pol)
• Observe que que se z = f (x, y, z), então
dz = fx (x, y, z)dx + fy (x, y, z)dy + fz (x, y, z)dz.