VARIÁVEL REAL. HOJA 1
REVISAÕ DA TEORIA DE MEDIDA
1) Dado E ⊂ R, se define a medida exterior de Lebesgue como
L(E) = inf{
∞
X
long(Ik ) : E ⊂
k=1
∞
[
, Ik intervalos}
k=1
Demonstrar a partir da definição que:
S∞
P
i) L é uma “medida exterior”, L(∅) = 0 e se A ⊂ n=1 An , então L(A) ≤ n=1 ∞L(An ).
ii) A definição de L não muda se os intervalos Ik são da forma [ak , bk ).
iii) Para todo I ⊂ R se tem L(I) = long(I).
iv) Para todo conjunto E ⊂ R y a ∈ R se tem L(E + a) = L(E) y L(aE) = |a|L(E).
v) Se E é numerável, então L(E) = 0.
2) Considerar a correspondência c : P(R) → [0, ∞] que a cada E ⊂ R se faz corresponder
c(E) =
ı́nf
{
n=1,2,...
∞
X
long(Ik ) : E ⊂
k=1
n
[
, Ik intervalos}
k=1
(as vezes c(E) se denomina conteudo exterior de Jordan de E). Provar que c(Q ∩ [0, 1]) = c([0, 1]), e de forma geral
que c(E) = c(E), onde E =clausura de E. UDeduzir que c não é uma medida exterior e que nem sempre se verifica
que c(E) = c(E1 ) + c(E2 ), quando E = E1 E2 (união disjunta).
3) Demostrar com un exemplo simples que uma medida exterior abstracta não verifica necessariamente a propriedade µ(A1 ] A2 ) = µ(A1 ) + µ(A2 ).
(Sugestaõ: construir uma medida exterior apropriada).
4) Seja X um espaço métrico e µ uma medida exterior tal que os borelianos são µ-medı́veis. Provar que para todo
A, B ⊂ X com dist(A, B) > 0 se tem µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
5) Demostrar com um exemplo que A1 ⊃ A2 ⊃ · · · não implica necessariamente que lı́mn→+∞ µ(An ) =
µ(∩∞
n=1 An ).
6) Seja {fn : n = 1, 2, . . .} uma sucessão de funcões medı́veis com fn ≥ 0. Usar o teorema de convergencia
monótona para demostrar que
Z X
∞
∞ Z
X
(
fn )dµ =
fn dµ
X n=1
n=1
X
.
7) Supoem que µ(X) < ∞. Demostrar que se tem a seguinte versão do TCM. Se fn é uma sucessão decreciente
de funcões medı́veis positivas acotadas superiromente, i.e., M ≥ f1 ≥ f2 ≥ · · · ≥ 0. Então
Z
Z
lı́m
fn dµ =
( lı́m fn )dµ.
n→∞
X
X n→∞
A propriedade é certa se µ(X) = ∞?
8) Suponhamos
que µ(X)
R
R < ∞ e sejam fn : X → C funções medı́veis acotadas. Provar que se fn → f uniformemente, se tem X fn dµ → X f dµ. Mostrar com um exemplo que a hipótesis µ(X) < ∞ é essencial.
9) Provar que se f : R → C é continua e f (x) = 0 c.t.p. com respeito a medida de Lebesgue então f (x) = 0,
∀x ∈ R.
10)R Seja x > 0. Calcular os limites quando n → ∞ de:
n
a) 0 (1 + nx )n ex dx,
Rn
b) 0 (1 − nx )n e−x dx,
Rn
c) 0 (1 − 2xn )n ex dx.
11) Se diz que uma função medı́vel f : X −→ R está essencialmente acotada se ∃c < ∞ tal que |f (x)| ≤ c c.t.p.
Para esta função se pode definir o seu supremo essential (para ser mais precisos, o supremo essencial de |f |) como
esssup|f | = ı́nf{c : |f (x)| ≤ c c.t.p.}, que também denotamos por kf k∞ . Provar que se f , fn , n = 1, 2, . . . estam
acotadas essentialmente, então lı́m kfn − f k∞ = 0 ⇐⇒ ∃E ⊂ X de medida 0 tal que fn → f uniformemente em E c .