UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho”
Campus de Marília
Faculdade de Filosofia e Ciências
MARLENE LUCIA HOLZ DONEL
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM CÁLCULO E A RELAÇÃO COM O
RACIOCINIO LÓGICO FORMAL - UMA ANÁLISE NO ENSINO SUPERIOR
MARÍLIA - SP
2015
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho”
Faculdade de Filosofia e Ciências
Campus de Marília
MARLENE LUCIA HOLZ DONEL
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM CÁLCULO E A RELAÇÃO COM O
RACIOCÍNIO LÓGICO-FORMAL: UMA ANÁLISE NO ENSINO SUPERIOR
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Educação da Faculdade de Filosofia e
Ciências, da Universidade Estadual Paulista – UNESP
– Campus de Marília, para obtenção do título de Mestre
em Educação.
Linha de Pesquisa: Psicologia da Educação: Processos
Educativos e Desenvolvimento Humano.
Orientadora: Profª Drª Eliane Giachetto Saravali
Coorientadora: Profª Drª Shiderlene Vieira de Almeida
MARÍLIA – SP
2015
Ficha Catalográfica
D681d
Donel, Marlene Lucia Holz.
Dificuldades de aprendizagem em cálculo e a relação com
raciocínio lógico formal: uma análise no ensino superior /
Marlene Lucia Holz Donel – Marília, 2015.
182 f. : il. ; 30 cm.
Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de
Filosofia e Ciências, Universidade Estadual Paulista, 2015.
Bibliografia: f. 152-161.
Orientadora: Eliane Giachetto Saravali.
1. Aprendizagem em cálculo. 2. Dificuldades de
aprendizagem. 3. Ensino superior. 4. Raciocínio lógico. 5.
Teoria Piagetiana. I. Autor. II. Título.
CDD 378.98
MARLENE LÚCIA HOLZ DONEL
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM CÁLCULO E A RELAÇÃO COM O
RACIOCÍNIO LÓGICO-FORMAL: UMA ANÁLISE NO ENSINO SUPERIOR
Dissertação para obtenção do título de Mestre em Educação, da Faculdade de
Filosofia e Ciências da Universidade Estadual Paulista – UNESP – Campus de
Marília, na Linha de pesquisa Psicologia da Educação: Processos Educativos e
Desenvolvimento Humano.
BANCA EXAMINADORA
Orientador:________________________________________________________________
Profª Drª Eliane Giachetto Saravali
Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” – UNESP
2 Examinador:_____________________________________________________________
Profª Drª Francismara Neves de Oliveira
Universidade Estadual de Londrina – UEL
3 Examinador:_____________________________________________________________
Profª Drª Alessandra de Morais Shimizu
Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho” – UNESP
Marília, São Paulo 25 de fevereiro de 2015
Aos meus amados filhos, Evandro e Patrícia, meu
alento e sentido maior nessa caminhada.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela proteção constante e fé renovada a cada passo nessa jornada. Que me
dotou de inteligência e senso crítico para extrair da realidade o aprendizado de vida. Que
ouviu meu coração e me trouxe conforto espiritual, energia, serenidade e, principalmente,
sabedoria para me autossuperar.
Aos dirigentes da Universidade Pública Federal, em parceria com a Universidade
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela iniciativa em se unirem nessa proposta de
Mestrado Interinstitucional, lançando a semente dessa oportunidade valiosa para aqueles que
desejavam buscar o conhecimento e se tornar seres humanos mais realizados e mais
competentes no compromisso com a educação.
Às queridas orientadoras, Professoras doutoras Eliane Giachetto Saravali e
Shiderlene Vieira de Almeida, pela imensurável dedicação, companheirismo, amizade,
incentivo, apoio e, acima de tudo, respeito e compreensão no meu caminhar para o
amadurecimento. Pela disponibilidade durante toda essa trajetória da realização da pesquisa,
acreditando em mim e contribuindo no meu percurso. Pelo profissionalismo e rigor
científico com que me acompanharam de forma pontual e competente durante esse período.
Por esses e outros motivos, representam para mim uma referência positiva para a vida.
Às professoras doutoras, Dra. Alessandra de Morais Shimizu e Dra. Francismara
Neves de Oliveira, participantes da banca examinadora, pelas valiosas contribuições e
sugestões quando do exame de qualificação, as quais enriqueceram significativamente esse
trabalho.
Aos acadêmicos participantes dessa pesquisa, pelo maravilhoso gesto de
contribuição com a ciência e por, pacientemente, terem se submetido às atividades de
pesquisa, pois valemo-nos desses preciosos dados para a reflexão sobre as questões
investigadas. Incluo aqui o agradecimento especial ao acadêmico Anderson Teixeira da
Silva, pela sua sensibilização com a proposta, dispondo-se a contribuir e a colaborar na
coleta de dados, sendo elo de apoio e incentivo aos colegas, ponto crucial para a eficácia e
concretização da pesquisa.
Aos professores parceiros nesta pesquisa, especialistas da matemática, Priscila
Pigatto Gasparin, Pedro Elton Weber, Liliane Hellmann e André Sandmann, pela valiosa
contribuição no engajamento com essa proposta, imprescindível para a efetiva concretização
da mesma. Reconhecemos que vocês foram um braço do abraço imprescindível para a
concretização dessa conquista.
Aos professores dos Cursos de Engenharia que, gentilmente consentiram e
cederam suas aulas para viabilizar a implementação dos instrumentos de coleta de dados.
Aos professores do Curso de Pós-Graduação, pelos ensinamentos e fundamentos
teóricos recebidos e pelo estímulo ao desejo de aprender.
Aos colegas mestrandos que souberam, com sabedoria, engajar-se nessa iniciativa
do mestrado em favor de um sonho comum, especialmente as colegas Mariza Arruda e
Marilete De Marco, que tiveram a sabedoria e sensibilidade no período crucial e decisivo da
inscrição ao processo de seleção, momento ímpar em minha vida. Investimos e acreditamos
em nós mesmos e, com persistência, sem perder a esperança, realizamos esse sonho juntos.
Depois de um início tão incerto e inseguro, é um sonho que agora pode ser comemorado:
“Nada do que foi será de novo do jeito que já foi um dia”.
Aos colegas de trabalho, Gilberto Mattiello, pelo apoio prestado no momento
importante e crucial da minha pesquisa e profissionais do Departamento de Educação da
instituição na qual foi realizada a pesquisa, pelo companheirismo nos momentos em que
pensei que não teria condições de prosseguir. Obrigada pela cumplicidade com a proposta
desse trabalho, ponto crucial para o envolvimento, motivação e incentivo diário.
Aos meus filhos, Evandro e Patrícia, minha vida, razão maior de superação de todas
as dificuldades na difícil jornada de estudos, para quem sempre busquei ser exemplo de
dedicação, seriedade, responsabilidade e lealdade, em um compromisso de melhoria
constante. Vocês foram meu alento, apoio, incentivo maior, nessa caminhada. Souberam me
compreender, especialmente nos momentos atribulados em que me dividia entre a
responsabilidade do estudo e os poucos momentos livres em família. Agradeço pela
compreensão e força positiva recebida sempre. Espero que todo o esforço empreendido
nessa jornada sirva de inspiração na busca do sonho, independente de qual seja!
Aos meus pais Ignácio e Atila pelo exemplo de vida e de conquistas com
responsabilidade, comprometimento, determinação, garra e persistência.
Às demais pessoas, amigos e colegas, que direta ou indiretamente contribuíram com
apoio e incentivo.
A todos, o meu agradecimento de coração!
“Tenho perseguido um objetivo central que
tem permanecido sempre o mesmo: tentar
compreender e explicar em que consiste o
desenvolvimento do ser vivo em sua
perpétua construção de novidade e em sua
adaptação progressiva à realidade.”
(Jean Piaget)
DONEL, Marlene Lúcia Holz. DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM
CÁLCULO E A RELAÇÃO COM O RACIOCÍNIO LÓGICO-FORMAL: UMA
ANÁLISE NO ENSINO SUPERIOR. (000 f.). Disseretação de Mestrado em Educação –
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus Marília/SP. Orientadora:
Professora Doutora Eliane Giachetto Saravali. Marília, 2015
RESUMO
Esta pesquisa, de abordagem qualitativa e quantitativa, caracterizou-se por um estudo de
caso que teve como principal objetivo analisar as relações entre o desenvolvimento
cognitivo e as dificuldades de aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial Integral,
em acadêmicos de uma Universidade Pública Federal do Paraná. A discussão apoiou-se na
teoria construtivista piagetiana, voltada à compreensão do processo de construção e
aprendizagem da matemática. Sua aplicação foi realizada em três etapas, envolvendo
acadêmicos do 1º período de Engenharia ingressantes entre os anos de 2011 a 2014. A
primeira etapa consistiu na Análise do Rendimento Acadêmico na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral de ingressantes nos cursos de Engenharia entre os anos de 2011 a 2013,
que mostrou uma média geral de 55,7% de reprovação na referida disciplina. A segunda
etapa voltou-se para a Avaliação do Conteúdo Matemático dos acadêmicos ingressantes na
Engenharia no 2º Sem/2013. O instrumento utilizado nessa etapa foi elaborado por
professores especialistas na área da matemática e visava verificar o domínio dos conteúdos
matemáticos apreendidos em graus anteriores de ensino, necessários ao entendimento dos
conteúdos previstos para a disciplina de Cálculo Diferencial Integral. Essa aplicação foi
realizada em dois momentos, com finalidades distintas, sendo que desta última foi
selecionada uma amostra do instrumento aplicado, de 21 participantes reprovados na
Disciplina de Cálculo Diferencial Integral para realização da correção e atribuição de um
conceito (nota). Os resultados dessa fase indicaram que, 85% dos acadêmicos não
demonstram domínio de conceitos e noções básicas da matemática necessários ao bom
desempenho na disciplina de matemática. A terceira e última etapa da pesquisa, foi
direcionada a acadêmicos da Engenharia de Alimentos, por ter sido apontado como o curso
com maior índice de reprovações e cancelamentos na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral. A aplicação dessa terceira etapa ocorreu no 1º sem./2014, e considerou três fases de
aplicação: 1) Avaliação do Conteúdo Matemático, 2) Avaliação do Nível de
Desenvolvimento Cognitivo mediante provas operatórias piagetianas, 3) Análise do
Rendimento Acadêmico na disciplina de Cálculo Diferencial Integral. Os resultados dessa
etapa confirmaram falta de domínio de noções básicas da matemática, bem como, um
Rendimento Acadêmico correspondente a 75% de reprovação na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. Na avaliação do nível de Desenvolvimento Cognitivo nenhum sujeito
alcançou o nível pleno de desenvolvimento formal. Considerando o desempenho acadêmico
insatisfatório, aliado ao Nível de Desenvolvimento Cognitivo obtido pelos acadêmicos
podemos considerar que este último foi fator interferente e que corrobora na compreensão
das dificuldades de aprendizagem. A conclusão aponta portanto para a necessidade de se
considerarem no processo de ensino/aprendizagem os aspectos cognitivos e os mecanismos
necessário a sua constituição, bem como a implantação de ações educativas, visando a uma
ação educacional coerente a um efetivo aprendizado. Dessa forma os resultados, remetem a
discussões sobre mudanças emergentes no sistema de ensino, especialmente da matemática.
Palavras-chave: Aprendizagem em cálculo. Raciocínio lógico formal. Dificuldades de
aprendizagem. Ensino Superior. Teoria Piagetiana.
DONEL, Marlene Lúcia Holz. DIFICULDADES DE
APRENDIZAGEM EM
CÁLCULO E A RELAÇÃO COM O RACIOCÍNIO LÓGICO-FORMAL: UMA
ANÁLISE NO ENSINO SUPERIOR. (000 f.). Disseretação de Mestrado em Educação –
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus Marília/SP. Orientadora:
Professora Doutora Eliane Giachetto Saravali. Marília, 2015
ABSTRACT
This research, with a qualitative and quantitative approach, was characterized by a case
study that had, as a main goal, to analyze the relations between the cognitive development
and the learning difficulties in the discipline of Integral Differential Calculus, in academics
of a Federal Public University of Paraná. The discussion was based in the Constructive
Theory of Piaget, focused on the comprehension of the construction process and learning of
Mathematics. Its application was performed in three steps, involving first term Engineering
academics, freshmen between 2011 to 2014.The first step consisted in the Analysis of the
Academic Performance in the discipline Integral Differential Calculus of the freshmen in
the Engineering courses, between 2011 to 2013, that showed a general average of 55,7% of
failing in the mentioned discipline. The second step focused on the Evaluation of the
Mathematics Contents of the freshmen academics in Engineering in the second term of
2013. The instrument of this second step of evaluation was elaborated by expert teachers in
the mathematics area and aimed to verify the domain of the mathematics contents learned in
previous stages of learning, necessary to the understanding of the contents provided for the
discipline Integral Differential Calculus. This application was performed in two moments,
with distinct purposes. From this last one, it was selected a sample of the applied instrument
of 21 flunked participants in the Discipline of Integral Differential Calculus to perform the
correction and attribution of a concept (grade).The results of this stage indicated that, 85%
of the academics do not show domain of the concepts and the mathematics basic notions
required to the good performance in the mathematics discipline. The third and last step of
the research was directed to academics of the Engineering of Nourishment, because it was
pointed as the course with the biggest index of reproofs and cancellations in the discipline of
Integral Differential Calculus.The application of this third step occurred in the first semester
of 2014 and considered three steps of application: 1) Evaluation of the Mathematics Content,
2) Evaluation of the Cognitive Development Level by Piaget operative proofs, 3) Analysis
of the Academic Performance in the discipline Integral Differential Calculus.The results of
this step confirmed domain absence of the mathematics basic notions as well an Academic
Performance corresponding to 75% of reprobation in the discipline Integral Differential
Calculus.In the evaluation of the level Cognitive Development, not a single academic
achieved the full level of formal development.Considering the unsatisfying academic
performance, allied to the Cognitive Development Level obtained by the academics, we can
consider that this last one was an interfering factor that corroborates for the comprehension
of the learning difficulties.The conclusion points, therefore, at the necessity to consider, in
the teaching/learning process, the cognitive aspects and the mechanisms necessary to its
constitution, as well the implantation of educative actions, aiming a coherent educational
action to an effective learning. This way, the results refer to the discussions about emergent
changes in the learning system, especially of the mathematics.
Keywords: Learning in calculus. Formal Logical Reasoning. Difficulties in learning. Higher
Education. Piaget Theory.
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 - Índice Total de Rendimento- Cursos de Engenharia - 1º sem./2011 - 1º sem./2013, na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral....................................................................................... 94
Gráfico 2 - Índice Total de Rendimento por Curso – Disciplina de Cálculo Diferencial Integral 1º sem./2011 - 1º sem./2013. .......................................................................................................... 95
Gráfico 3 – Análise de Rendimento Acadêmico - Disciplina de Cálculo Diferencial Integral Curso Engenharia de Alimentos - 1º sem./2011 a 1º sem./2013....................................................... 96
Gráfico 4 – Análise do Rendimento Acadêmico, por semestre - Disciplina de Cálculo Diferencial
Integral - Curso de Engenharia de Alimentos - 1º sem./2011- 1º sem./2013. ................................... 97
Gráfico 5 - Índice de notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático-Curso de Engenharia
de Produção, Elétrica e Ambiental - 1º sem./2013. ....................................................................... 101
Gráfico 6 – Média percentual de notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático................. 105
Gráfico 7 – Média percentual de notas obtidas na Análise do Rendimento Acadêmico ................. 131
Gráfico 8 - Análise comparativa de Notas - Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do
Rendimento Acadêmico - Cálculo Diferencial Integral. ................................................................ 134
Gráfico 9 – Demonstrativo dos níveis cognitivos obtidos nas provas operatórias dos acadêmicos
“reprovados” em Cálculo Diferencial Integral. ............................................................................. 136
Gráfico 10 - Demonstrativo dos níveis cognitivos obtidos nas provas operatórias dos acadêmicos
“aprovados” em Cálculo Diferencial Integral................................................................................ 141
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Caracterização dos participantes da pesquisa – Engenharia de Alimentos - 1º Sem/2014 88
Tabela 2 - Situação curricular dos acadêmicos em Cálculo Diferencial Integral – Engenharia de
Alimentos - 2º sem./2013.....................................................................................................................99
Tabela 3 - Número de vezes em que a Disciplina de Cálculo Diferencial Integral, foi cursada – 1º
sem./2011 – 2º sem./2013.................................................................................................................... 99
Tabela 4 – Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do Rendimento AcadêmicoDisciplina de Cálculo Diferencial Integral - Cursos de Engenharia de Produção, Elétrica e
Ambiental – 1º sem./2013................................................................................................................ 102
Tabela 5 - Notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático- 1º sem./2014..............................105
Tabela 6 – Níveis de construção da noção de combinatória - Prova da Combinatória - 1º
sem./2014...........................................................................................................................................111
Tabela 7 – Níveis de construção da abstração reflexionante - Prova das Relações entre Superfícies
e Perímetros dos Retângulos - 1º sem./2014.......................................................................................118
Tabela 8 - Níveis de construção do equilíbrio- Prova do Equilíbrio da Balança - 1º sem/2014.........129
Tabela 9 – Resultado de notas da Avaliação do Conteúdo Matemático e da Análise do
Rendimento Acadêmico - Disciplina de Cálculo Diferencial Integral – 1º sem./2014.......................133
Tabela 10 – Comparação da Avaliação Conteúdo Matemático, Análise do Rendimento
Acadêmico e Nível de Desenvolvimento Cognitivo – 1º sem./2014.................................................. 135
LISTA DE SIGLAS
UNESP
Universidade Estadual Paulista
TCLE
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
CDI
Cálculo Diferencial Integral
ACM
Avaliação do Conteúdo Matemático
ARA
Análise do Rendimento Acadêmico
EAD
Educação à Distância.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 16
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA....................................................................................... 25
2.1
Epistemologia genética e a origem do conhecimento. ..............................................................25
2.2
A construção de estruturas.......................................................................................................33
2.3
O Desenvolvimento cognitivo .................................................................................................35
2.3.1
Estágio Sensório-Motor (0 a 2 anos aproximadamente) ..............................................37
2.3.2
Estágio Pré-operatório (2 – 7 anos aproximadamente) ................................................39
2.3.3
Estágio operatório concreto (7-8 - 11 anos aproximadamente) ....................................40
2.3.4
Estágio formal (11- 12 anos aproximadamente)..........................................................43
2.4
A Abstração Reflexionante e a Tomada de Consciência...........................................................47
2.5
Aprendizagem e a matemática.................................................................................................54
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................ 66
3.1
Pesquisas no âmbito do desenvolvimento cognitivo e desempenho na matemática ...................66
4 MÉTODO E ASPECTOS METODOLÓGICOS ................................................................ 80
4.1
Método Clínico Piagetiano ......................................................................................................80
4.2
Problema.................................................................................................................................85
4.3
Objetivos ................................................................................................................................85
4.4
Hipótese..................................................................................................................................86
4.5
Delineamento..........................................................................................................................87
4.6
Participantes da Pesquisa.........................................................................................................87
4.7
Procedimentos ........................................................................................................................89
4.8
Instrumentos ...........................................................................................................................92
5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................... 94
5.1
Etapa 1.Análise do Rendimento Acadêmico, na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral, dos Acadêmicos de Engenharia, ingressos do 1º sem./2011 ao 1º sem./2013. .......................94
5.2
Etapa 2. Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do Rendimento Acadêmico. .............100
5.3
Etapa 3. Avaliação do Conteúdo Matemático, Avaliação do Nível de Desenvolvimento
Cognitivo e Análise do Rendimento Acadêmico- Curso de Engenharia de Alimentos-1º
sem./2014. ......................................................................................................................................104
5.3.1
Resultado da Avaliação do Conteúdo Matemático .................................................... 105
5.3.2
Análise das Provas Operatórias ................................................................................106
5.3.3
Resultado da Análise do Rendimento Acadêmico, disciplina de Cálculo
Diferencial Integral ......................................................................................................................... 131
5.3.4
Análise comparativa do Resultado final da Avaliação do Conteúdo Matemático
e da Análise do Rendimento Acadêmico ......................................................................................... 132
5.3.5
Análise do Nível de Desenvolvimento Cognitivo, Análise do Conhecimento
Matemático e Análise do Rendimento Acadêmico...........................................................................135
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 143
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 150
APÊNDICE A – Termo de consentimento livre e esclarecido............................................... 160
APÊNDICE B – Instrumento de avaliação de conhecimento matemático............................. 161
ANEXO A – Parecer do projeto ............................................................................................. 167
ANEXO B – Protocolo da prova operatória da combinatória ................................................ 169
ANEXO C – Protocolo da prova operatória de relações entre superfícies de perímetros
dos retângulos ......................................................................................................................... 172
ANEXO D – Protocolo da prova operatória equilíbrio da balança ........................................ 177
16
1
INTRODUÇÃO
“Penso que o conhecimento seja uma perpétua construção nova, por interação com a
realidade.” (Jean Piaget)
Muito se tem debatido sobre o papel das Universidades públicas brasileiras em nossa
sociedade, as quais deveriam cumprir a missão no sentido de gerar, sistematizar e socializar o
conhecimento e o saber. Conforme Saravali (2005a), professores, em todos os graus de ensino
e universitários, têm sofrido os reflexos da formação deficitária por lacunas nos processos de
aprendizagem anteriores, o que contribui para a dificuldade na construção de conceitos
básicos, imprescindíveis ao curso superior:
[...] o aluno proveniente do ensino público e que chega à faculdade, teve uma
escolarização precária com todos os problemas que a caracterizam e vai
iniciar a nova etapa de escolarização sem dominar conceitos e conteúdos
básicos que o impedem de acompanhar as solicitações do meio universitário
(SARAVALI, 2005a, p. 100).
As problemáticas que envolvem as dificuldades no aprendizado da matemática
ultrapassam os limites do Ensino Fundamental e Médio e chegam ao curso superior,
agravadas pelo alto grau de desistência e/ou reprovação na disciplina de Cálculo e em outras
que necessitam dos conteúdos matemáticos.
Atuando como pedagoga no departamento de educação de uma Universidade Pública
Federal, tenho observado o dilema enfrentado pelos acadêmicos, especialmente dos
ingressantes, diante das dificuldades de adaptação às novas exigências impostas no meio
universitário, dentre elas, o de dar conta da autonomia necessária a essa nova realidade. Neste
contexto, destaca-se a dificuldade de superação das dificuldades de aprendizagem e das
problemáticas que envolvem o ensino do cálculo, decorrente da construção do conhecimento
por um ensino apoiado na verbalização comprometendo o processo educativo. Estas
dificuldades de aprendizagem são preponderantes considerando que demandam recursos
cognitivos provenientes de formação sólida e que deveria ter ser obtida nos graus anteriores
de ensino.
Nesse sentido, percebemos e comprovamos a preocupação e expectativa dos
acadêmicos, quanto ao desempenho acadêmico nas disciplinas, especialmente na disciplina
Cálculo Diferencial Integral, que se destaca pelo alto índice de reprovação e desistências.
Dessa forma, deparamo-nos com uma série de problemas decorrentes deste fato e que são
17
justificados pela maioria dos professores como “falta de base”. No entanto, sabemos que
fatores cognitivos também podem estar influenciando ou sendo o entrave no pensamento dos
acadêmicos ao entrar em contato com esses conhecimentos. Isso traz questionamentos quanto
ao que envolve o ensino e a aprendizagem dessa disciplina, no aspecto da construção do
conhecimento. Acreditamos que alguns fatores interferentes podem ser elucidados mediante
estudo e análise das relações implícitas entre o desenvolvimento cognitivo e a aprendizagem.
A partir desse quadro, nos propomos à realização dessa pesquisa, que acreditamos
trazer implicações significativas para uma melhor compreensão, entendimento e percepção de
aspectos implicadores e facilitadores da aprendizagem, visando buscar alternativas, propostas
e ações mais eficazes de intervenção e recondução do processo de ensino, vindo ao encontro
de um melhor desempenho e aprendizagem dos acadêmicos.
A Universidade, na qual foi realizada essa pesquisa, não foge a essa realidade de
reprovação e desistência na disciplina em questão, fato este que se evidencia na maioria das
instituições de ensino superior, especialmente nos cursos de Engenharia. Esta realidade é
comprovada pelos dados quantitativos e qualitativos que serão apresentados no contexto da
presente pesquisa e que impulsionaram a buscar elementos de ordem cognitiva, para
compreender melhor as implicações dessas reprovações, especialmente de acadêmicos
ingressantes nos cursos de Engenharia. Assim, esse estudo considera fundamental
compreender as consequências de um ensino que não leva em conta o desenvolvimento
cognitivo no processo de aprendizagem.
Esta referida instituição tem implantado alternativas pedagógicas visando a melhoria
do processo de aprendizagem na graduação, tais como Curso de Pré-Cálculo e Cálculo
Diferencial Integral na modalidade de Educação à Distância EAD. No entanto, essas
alternativas necessitam de uma avaliação continuada e efetiva sobre sua eficácia, visto que as
reprovações e evasões continuam sendo uma realidade bastante presente. O Programa de
Monitoria é uma estratégia institucional para a melhoria do processo ensino-aprendizagem.
Conta com 40 monitores atuando nas mais diversas disciplinas curriculares prestando apoio
ao aprendizado dos estudantes que apresentam dificuldade em disciplinas curriculares.
Baseado no banco de dados dos relatórios semestrais e anuais do programa, o número de
atendimentos em 2013 foi de 3.527 atendimentos. A área da matemática, que dispõe de 13
monitores, realizou 1725 atendimentos, sendo que destes 443 foram especificamente em
Cálculo Diferencial Integral.
Por meio do relatório de avaliação semestral do Programa de Monitoria, realizado
com os acadêmicos monitores da instituição pesquisada, constatamos que não tem havido da
18
parte dos acadêmicos que procuram atendimento um aproveitamento pleno desse recurso de
apoio, por não ser uma prática habitual, regular e efetiva, em conformidade com os objetivos
e propósitos a qual se destina. Outra questão observada pelos monitores de Cálculo
Diferencial Integral, com base nos atendimentos aos acadêmicos e que vêm ao encontro da
presente pesquisa, é a sua percepção quanto às dificuldades de entendimento de conteúdos
básicos na disciplina, a saber: conceitos especialmente de nível médio envolvendo frações
algébricas, trigonometria, exponenciais e logaritmos (equações, inequações, funções),
derivadas e integrais simples.
Nesse sentido, além do Programa de Monitoria a instituição realiza também um
Curso de Pré-Cálculo que é outra atividade de apoio a aprendizagem oferecida aos
acadêmicos ingressos no curso de Engenharia. Esse curso, realizado semestralmente,
possibilita a revisão dos conceitos fundamentais da matemática, trabalhados no ensino
fundamental e médio, buscando um melhor rendimento na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral I. Com base em dados levantados e efetuados pelo Programa de Monitoria em 2012,
com acadêmicos participantes do Curso de Pré-Calculo em 2011, o índice de aprovação na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral no referido semestre foi de 37%. Dos 63%
reprovados na Disciplina de Cálculo Diferencial Integral naquele semestre, 35% tiveram
aprovação no semestre posterior. Esses dados requerem portanto maiores estudos para avaliar
a contribuição desse curso para a efetiva aprendizagem e rendimento na disciplina de
Cálculo Diferencial Integral.
As estratégias institucionais de apoio, citadas anteriormente, requerem estudos mais
específicos, aprofundados e continuados, aliados a uma ação reguladora no sentido de avaliar
e mensurar a eficácia, a implicação e a contribuição das mesmas para a melhoria da
aprendizagem de forma geral e, principalmente, para a redução do índice de reprovação na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
Dessa perspectiva, considerando as problemáticas resultantes da não aprendizagem
em Cálculo Diferencial Integral, que constituem preocupação de todos os envolvidos no
processo, faz-se necessário buscar fatores interferentes, ou seja, indicativos cognitivos que
favoreçam ou dificultem a aprendizagem. Tais defasagens estruturais, e até mesmo aquelas
não perceptivas, dificultam o entendimento matemático necessário no ensino superior. Desta
forma, nossa pesquisa orienta-se a partir de uma questão considerada norteadora para o
desenvolvimento do trabalho: As dificuldades de aprendizagem em Cálculo Diferencial
Integral possuem relações com o nível de desenvolvimento cognitivo dos acadêmicos?
19
Estudar os saberes no ensino e aprendizagem de cálculo, buscando entendimento e
alternativas para resolver a problemática ora abordada corrobora com pesquisas existentes na
área da Educação Matemática que possui um número crescente de trabalhos sobre ensino e
aprendizagem, especialmente do Cálculo Diferencial Integral, no ensino superior. Conforme
Igliori (2009), os resultados das pesquisas confirmam tal dificuldade, independente do nível
de ensino, incluindo-se o ensino superior. O autor define a Educação Matemática como
campo científico que tem por objetivo investigar a atividade matemática, especialmente no
ambiente escolar nos diversos níveis de ensino, ideia que justifica, também, a presente
pesquisa.
Segundo Igliori (2009, p. 12), “a pesquisa tem papel fundamental no levantamento
de causas e na indicação de caminhos a serem trilhados na busca de melhorias”. Por
conseguinte, as pesquisas “se justificam tanto pelo fato do Cálculo Diferencial Integral - CDI
constituir-se um dos grandes responsáveis pelo insucesso dos estudantes quanto por sua
condição privilegiada na formação do pensamento avançado em Matemática” (IGLIORI,
2009, p. 13).
Pesquisas nessa área podem esclarecer as causas que são resultantes desse fracasso,
para elucidar quais são os problemas, mostrando alternativas para melhoria e superação dessa
realidade. Nesse sentido, faz-se importante buscar explicação da não apropriação desse
conhecimento matemático, que passa pelo entendimento e compreensão dos significados e
relações dos sistemas de representação utilizados no processo de ensino-aprendizagem na área
da Matemática.
Lacaz et al. (2007) apresentam alguns aspectos observados em acadêmicos
ingressantes, como a não familiaridade no tratamento dos números reais e das funções
elementares; não desenvolvimento de estruturas cognitivas relacionadas à interpretação da
linguagem matemática e à compreensão de conceitos que são estruturantes para o
desenvolvimento de outros posteriores e que surgirão ao longo do estudo universitário;
dificuldades de reflexão, investigação, exploração e principalmente de dedução; memorização
técnica sem incorporação do significado dos conceitos e consequentemente dificuldade de
adaptação ao sistema de ensino universitário, resultando em falhas no desempenho
acadêmico. Os professores, por sua vez, têm encontrado dificuldades do ponto de vista
intelectual dos estudantes que apresentam comportamento limitado, demonstrando
dificuldades de raciocínio frente à compreensão de conceitos simples ou conteúdos com os
quais deveriam saber operar com certa facilidade.
Diante dessa realidade, vários questionamentos surgem buscando respostas para
20
elucidar porque o estudante universitário encontra tantas dificuldades e empecilhos ao entrar
em contato com conteúdos novos. Baseada nestas questões, Saravali (2005a, p. 117) alega que
tais defasagens se encontram presentes desde o início da escolarização e apresenta outro
questionamento: “quem nos garante que esses adultos que conseguem cursar a faculdade, já
estão de posse dos mecanismos cognitivos característicos do período formal?” Segundo
Inhelder e Piaget ([1976], 1976), múltiplos fatores concorrem para se atingir esse estágio de
desenvolvimento do pensamento que pode ou não ser alcançado enquanto estrutura global de
esquemas, uma vez que
[...] essa efetivação pode ser acelerada ou retardada em função das condições
culturais e educativas; é por isso que tanto o aparecimento do pensamento
formal quanto a idade de adolescência em geral, isto é, a integração do
indivíduo na sociedade adulta depende de fatores sociais e até mais do que
fatores neurológicos (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 251).
Diante dessas considerações, Saravali (2005a) assegura que é imprescindível avaliar
os níveis de conhecimento do aluno adulto, para avaliar a vida dos estudantes universitários e
proporcionar iguais condições de aprendizagem. Esse nível de conhecimento requer conhecer
as organizações internas que possibilitam a integração de dados e informações cada vez mais
complexas, assim como interações que favorecem a construção do conhecimento. Quanto ao
processo de aprendizagem e respectivas dificuldades, a autora destaca:
[...] aqueles que lidam com as situações de aprendizagem, principalmente os
professores, necessitam estar atentos ao que está ocorrendo com os alunos. É
preciso sim investigar porque os estudantes não aprendem, mas, sobretudo,
quais os meios que a escola pode se valer para minimizar as condições de
fracasso que são impostas a esses alunos (SARAVALI, 2005a, p. 113).
Nessa linha de raciocínio, recorremos ao modelo de desenvolvimento e
aprendizagem, preconizada por Inhelder e Piaget ([1976], 1976), que tem trazido
contribuições para o estudo do estudante universitário, por pesquisar o desenvolvimento do
raciocínio do período operatório formal e o processo de equilibração majorante. Assim, a
construção gradual das estruturas cognitivas como um processo de equilibração sucessivo e
contínuo é caracterizada por estágios ou períodos. Cada um destes define um momento de
desenvolvimento ao longo do qual o sujeito constrói o próprio conhecimento.
21
Pesquisas realizadas por Piaget e outros pesquisadores confirmam a existência de
uma defasagem entre a idade e o período no qual o indivíduo se apresenta. A partir deste
ponto de vista, não se pode afirmar que todos os adolescentes e adultos cheguem ao
desenvolvimento das operações formais. Sendo assim, devemos considerar, conforme
Grossman (1988), a hipótese de que as estruturas do pensamento formal possam ser
construídas muito além dos 15 anos (de 15 a 20 anos).
Com base na teoria piagetiana e considerando a idade cronológica dos estudantes
universitários, pode-se pensar que, como sujeitos epistêmicos, já estariam de posse de uma
organização do pensamento e de uma estrutura mental formal, própria do estágio mais
avançado de desenvolvimento. No entanto, abordando as questões inerentes ao sujeito
psicológico, pergunta-se: por que estes estudantes se deparam com empecilhos e dificuldades
ao ingressarem no contexto universitário, sobretudo ao entrar em contato com os conteúdos
novos da matemática?
Considerando as defasagens na construção dos instrumentos intelectuais, esquemas,
estruturas cognitivas, citadas por Saravali (2005a), que deveriam ter sido consolidados, e as
carências estruturais de conhecimento, várias reflexões poderiam ser feitas em relação às
dificuldades na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, responsável pelos alarmantes
índices de fracasso escolar que atingem o sistema universitário brasileiro.
Cálculo Diferencial Integral é considerada uma disciplina de importância para os
diversos segmentos das ciências e da tecnologia e que faz parte do currículo escolar na
maioria dos cursos de nível superior de exatas, especialmente dos cursos de Engenharia. Faz
parte do currículo escolar “devido à sua grande aplicabilidade, desempenhando importante
papel como linguagem na representação de fenômenos e como instrumento para a resolução
de problemas [...]” (CATAPANI, 2001, p. 48).
É considerada por Cury (2003, p. 56): “disciplina de destaque nos vários campos do
conhecimento científico da ciência, relacionada à memória de trabalho e ao raciocínio” e
cujo conteúdo é considerado base para as diversas profissões das ciências exatas. Enquanto
Ciência Exata, a matemática é um componente imprescindível ao Curso de Engenharia, pois,
a partir da aplicação desta, explicam-se vários conceitos de dimensionamento e lógica e
aplicações gerais nas Engenharias. Neste contexto, as dificuldades podem tornar-se ainda
maiores.
Apesar da importante implicação dessa disciplina na formação profissional, ela é
considerada responsável por um índice elevado de reprovações, desistências e evasões,
especialmente nos cursos de Engenharia. Com base em diversas pesquisas, especialmente na
22
área da educação matemática, tais problemas são ocasionados por diversos fatores tais como
os de ordem motivacional, econômica, social, escolar, metodológica e de ensino. Assim, o
insucesso na disciplina vem sendo analisado por vários ângulos, tanto do ponto de vista dos
acadêmicos como também dos professores.
O Cálculo Diferencial Integral diferencia-se das demais disciplinas pela dificuldade
que apresenta no seu aprendizado, exigindo constructos cognitivos para a sua aprendizagem.
As dificuldades no ensino e na aprendizagem do Cálculo Diferencial Integral vêm se
mostrando constantes e estão presentes nas pesquisas e discussões, sobretudo nos estudos da
Educação Matemática. De acordo com Flemming, Luz e Coelho (2000), Araujo (2002) e Cury
(2003), os índices de reprovação e evasão acadêmica são alarmantes, principalmente nos
primeiros períodos dos cursos de Engenharia. O quadro de repetências em questão e a evasão
escolar resultante acarretam sérias consequências para o sistema universitário brasileiro.
Nesse contexto, a Universidade Pública Federal na qual esse estudo foi desenvolvido
não foge a realidade aqui descrita de forma sucinta, uma vez que os cursos de Engenharia têm
um elevado índice de reprovação, cancelamentos e desistências na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral, conforme já apontamos. Considerando o exposto nessa introdução, a
presente pesquisa visa diagnosticar as relações entre as dificuldades de aprendizagem na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral e o Nível de Desenvolvimento Cognitivo, em
acadêmicos de Engenharia, de uma Universidade Pública Federal, do ponto de vista da
Epistemologia Genética.
Escolheu-se essa abordagem por considerar-se que é uma das teorias mais coerentes
com a finalidade a que se propõe a nossa pesquisa, visto que se utiliza uma metodologia
específica, centrada e estreitamente vinculada a estudos experimentais. Essa concepção
epistemológica, com base no método clínico-crítico, trouxe respaldo para entender o
desenvolvimento do pensamento e das estruturas utilizadas pelos indivíduos e as
consequentes dificuldades de aprendizagem.
Estudos na perspectiva construtivista piagetiana, na área das dificuldades de
aprendizagem e fundamentados na Epistemologia Genética da formação do pensamento
matemático podem contribuir para a melhoria da qualidade do ensino e para a minimização
dos índices de reprovação, especialmente nas disciplinas das ciências exatas. Nessa
abordagem, entende-se a aprendizagem como fruto de uma relação entre sujeito e meio, uma
vez que Inhelder e Piaget ([1976], 1976) explicam a necessidade de estruturas operatórias
cognitivas necessárias para a aprendizagem e cuja evolução se revela na construção gradual
23
da inteligência.
Pretende-se, assim, possibilitar, mediante as contribuições dessa pesquisa, maior
propagação da teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget, especialmente do pensamento
adulto, perante as dificuldades de aprendizagem em Cálculo Diferencial Integral.
Os resultados obtidos poderão trazer contribuições à compreensão das diferenças
individuais no desempenho acadêmico, ajudando, assim, na viabilização de estratégias de
intervenção, delineamento de procedimentos experimentais e em modos alternativos para
revisão das propostas de ensino e de novas práticas pedagógicas. A pesquisa carrega em si
também o anseio de que a prática docente olhe para o estudante como um sujeito capaz de
agir e construir conhecimento, e não como alguém que obtém êxito ao receber um amontoado
de informações que utiliza para aplicar em situações diversas.
A forma de organização desta dissertação está distribuída em cinco capítulos,
organizados e delineados considerando os parâmetros estabelecidos a seguir:
O Capítulo 1, após essa apresentação introdutória do trabalho, oferece a retomada
teórica da pesquisa com a caracterização sucinta da teoria piagetiana de desenvolvimento e
do processo de aprendizagem. A fundamentação teórica sobre a Epistemologia Genética e a
construção do conhecimento, na visão de Jean Piaget, trata sobre o desenvolvimento
cognitivo e as consequentes implicações sobre a construção do conhecimento.
Descreveremos o período operatório formal, etapa em que ocorre a consolidação da estrutura
cognitiva
que
dá
sustentação
ao
pensamento
científico
ou
lógico-matemático.
Apresentaremos, também, em linhas gerais, aspectos sobre a aprendizagem e a matemática,
do ponto de vista piagetiano, assim como aspectos sobre o método clínico-crítico piagetiano
que apoia metodologicamente a presente pesquisa.
O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica de algumas pesquisas realizadas no
âmbito do desenvolvimento cognitivo e/ou relacionadas ao desempenho na matemática no
ensino superior.
O Capítulo 3 consiste na apresentação dos aspectos metodológicos: problema;
objetivos; hipótese; delineamento; justificativa, participantes; instrumentos e procedimentos
da pesquisa, desenvolvida em três etapas distintas.
O Capítulo 4 demonstra a análise dos resultados com base nos dados investigados.
No Capítulo 5, responde-se, também, ao problema central da pesquisa, fazendo-se
considerações e reflexões acerca da coleta e análise dos dados, mostrando caminhos e
possibilidades para a efetiva aprendizagem do acadêmico. Procede-se a uma análise
conclusiva e a implicações para a prática pedagógica, apoiada na revisão teórica e nos
24
resultados da pesquisa e pontuam-se recomendações para o desenvolvimento de outras
investigações nessa área. Sobre este aspecto, vale ressaltar que “transformar os princípios da
teoria piagetiana em ações educativas e pedagógicas é um desafio muito grande para muitos
educadores” (CAMARGO DE ASSIS; MANTOVANI DE ASSIS, 2003, p. 7).
25
2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Epistemologia genética e a origem do conhecimento.
Para discutir e entender a origem do conhecimento é necessário compreender
primeiramente como este age sobre o meio e consegue transformá-lo.
A Epistemologia Genética entende que o conhecimento não é jamais um estado e,
sim, um processo, e nesse sentido, “[...] esse processo é essencialmente a passagem de uma
validade menor para uma validade superior [...]” (PIAGET, [1974], 1978a p. 14).
A
construção do conhecimento está diretamente relacionada ao objetivo da Epistemologia
Genética, sendo que tal teoria explica a construção das diferentes capacidades cognitivas, de
ordem sucessiva na aquisição das competências, onde se pressupõem outras que são
anteriores a estas competências:
O conhecimento não pode ser concebido como algo predeterminado nem nas
estruturas internas do sujeito, porquanto estas resultam de uma construção
efetiva e contínua, nem nas características preexistentes do objeto, uma vez
que elas só são conhecidas graças à mediação necessária dessas estruturas, e
que estas, ao enquadrá-las, enriquecem-nas (PIAGET [1970], 2012, p. 1).
Epistemologicamente, o conhecimento é sempre produto de realizações do sujeito, e
a construção deste conhecimento, via psicogênese, busca determinar os invariantes que
existem nesse processo que vincula o sujeito ao objeto de seu interesse.
Nesse sentido, Piaget ([1970], 2012) dedicou-se a pesquisar e a definir um modelo
para a estrutura cognitiva humana que viabilizasse a formação e o desenvolvimento do
conhecimento. Conforme Chiarottino (1972, p. 5), Piaget “não podendo observar o fenômeno
senão em seus efeitos, lança-se à tarefa de explicá-los através da criação de um modelo de
sua estrutura”. O conceito de estrutura é central, pois envolve padrões de ação física e mental
e corresponde a estágios do desenvolvimento cognitivo.
Os experimentos piagetianos reforçaram a concepção de que a estrutura cognitiva
não se constitui apenas por herança genética, nem somente pela experiência, mas se
desenvolvem por ambos os aspectos. Num cenário em que o sujeito cognoscente é
participante ativo no processo cognitivo, vários conhecimentos são possíveis:
[...] existem três tipos de conhecimentos possíveis: 1) os conhecimentos
ligados a mecanismos hereditários (instinto, percepção, etc.), existentes, ou
26
não no homem, mas correspondendo biologicamente ao domínio dos
caracteres transmitidos pelo genoma; 2) os conhecimentos tirados da
experiência, e correspondendo assim biologicamente aos acomodados
fenotípicos; e 3) os conhecimentos lógico-matemáticos, resultantes de
coordenações operatórias (funções, etc.) correspondendo biologicamente aos
sistemas de regulações em qualquer escala (PIAGET, [1967],1973a, p. 119).
Do ponto de vista genético, podemos considerar três interpretações para a origem do
conhecimento. Na citação anterior, podemos observar pressupostos inatistas, que provêm da
programação hereditária; empiristas, que provêm de informações exógenas, fornecidas pelo
“meio”; e construtivistas, que provêm de uma origem comum, considerando a dupla
construção dos conhecimentos lógico-matemáticos e físicos e, sobretudo, da necessidade
intrínseca, dependente de autorregulações.
No entanto, para criar e demonstrar a teoria de construção do conhecimento, Piaget
([1967],1973a) desenvolveu uma análise crítica das teorias empiristas e inatistas do
conhecimento. O autor recusa as teses inatistas ou pré-formistas, isto é, de que as estruturas
de conhecimento estão presentes na bagagem hereditária do sujeito, e também as teses
empiristas, ou seja, aquelas que acreditam apenas em um ser que só conhece o mundo a
partir dos sentidos, pela pressão do meio físico e social sobre o sujeito.
Para Piaget ([1967], 1973a), a concepção apriorista é insuficiente para explicar o
desenvolvimento das funções cognitivas por desconsiderar a autorregulação vista por ele
como uma das características mais universais da vida. Discorda desta concepção por
acreditar que a construção das estruturas intelectuais é progressiva e depende do movimento
contínuo de assimilações e acomodações do sujeito ao meio (físico e social).
O apriorismo explica o conhecimento a partir das estruturas pré-formadas no
organismo do sujeito e, portanto, para Piaget ([1974], 1978a), é uma estrutura mental que já
está pronta, pré-formada no indivíduo ao nascer e que se manifesta de dentro para fora no
momento em que o contato com o meio o exige. Assim, o sujeito, ao nascer, já traz as
possibilidades que se manifestariam imediatamente ou de forma progressiva, de acordo com
a maturação biológica. Essas condições de conhecimento resultantes das formas inatas
(inatismo) ou submetidas ao processo maturacional são predeterminadas (apriorismo).
Para Macedo (2002), o conhecimento na concepção apriorista está sujeito à préformação ou herança genética, à qual a capacidade intelectual está sujeitada. É uma visão
que valoriza a dimensão estrutural de inteligência concebida como limitação que mudaria
muito pouco com a experiência e que não pode avançar além de certo ponto. Assim é
concebida, e torna-se uma questão de medida, que pode ser mensurada ou avaliada
27
quantitativamente.
Conforme Becker (2003, p. 101), a concepção apriorista acredita que “o
conhecimento, enquanto forma e enquanto conteúdo, já está, de algum modo,
predeterminado”, é algo com que a pessoa já nasce, como um talento nato, precisando apenas
despertá-lo. Tais condições do conhecimento e da aprendizagem se manifestarão ou
imediatamente ou progressivamente pelo processo geral de maturação. Neste sentido, toda a
atividade de conhecimento é exclusiva do sujeito, sendo que o meio não participa dela.
Refletindo sobre ações pedagógicas derivadas dessa forma de compreender como o
homem conhece, tem-se que uma pedagogia apriorista é não-diretiva e defende que o aluno já
possui conhecimentos, e o professor precisa apenas trazê-los à consciência, organizá-los,
devendo intervir o mínimo possível. Portanto, nesta concepção, não se concebe a eficácia do
ensino, uma vez que “O conhecimento não provém do meio, do mundo, do objeto, nem é
uma construção do sujeito em interação com o objeto” (BECKER, 2003, p. 101). Nessa
visão, conforme Macedo (2002), a inteligência é independente de sujeito e submissa a sua
pré-formação genética e estrutural, caracterizada pela própria organização mental,
capacidade de solucionar problemas, esquemas mentais, conceituais, físicos ou de raciocínio.
Desse ponto de vista, a experiência tem pouca participação no referido desenvolvimento,
pois a inteligência, assim, é considerada limitada e que avança até certo ponto. Na visão
inatista, na psicologia e na educação, a inteligência correspondente a um dom ou capacidade
própria do indivíduo. Valoriza-se a mensuração, tornando-se uma medida de quociente
intelectual, avaliação quantitativa, seletiva e diagnóstica e previsão da capacidade de
aprender.
O processo de desenvolvimento da inteligência , para Macedo (2002), não se reduz a
formas externas de intervenção. Ela depende de uma base cognitiva interna (estrutura
biológica) que vai sendo construída ao longo do seu processo de desenvolvimento. A
inteligência é o único mecanismo que viabiliza o processo de construção do saber. Apesar da
versão negativa dessa concepção apriorista, expressada por sentimentos de impossibilidade e
passividade, Macedo (2002) entende que esse modelo, do ponto de vista da aprendizagem,
valoriza o ajuste das características do ambiente, selecionando tarefas, condizentes aos limites
do indivíduo, bem como objetos e materiais adequados às necessidades e possibilidades.
Piaget (2012), por sua vez, contesta essa concepção apriorista de desenvolvimento da
inteligência.
28
Todo conhecimento contém um aspecto de elaboração nova, e o grande
problema da epistemologia consiste em conciliar essa criação de novidades
com o fato duplo de que, no terreno formal, elas fazem-se acompanhar de
necessidades imediatamente elaboradas, e de que, no plano do real,
permitem (e são, de fato, as únicas a permitir) a conquista da objetividade
(PIAGET, [1970], 2012, p. 1).
Na concepção empirista, a única fonte de conhecimento humano é a experiência
adquirida em função do meio físico e social e mediada pelos sentidos, ou seja, o
conhecimento efetiva-se por meio das experiências concretas com o mundo sensível e pela
percepção deste mesmo mundo, de modo que a postura empirista “caracteriza-se por atribuir
aos sentidos a fonte de todo conhecimento” (BECKER, 2003, p. 99).
O referencial inicial não é o sujeito, mas as informações que vêm do meio exterior e
que agem sobre ele. A perspectiva empirista estabelece que “o conhecimento é a apreensão
de uma verdade e não sua construção” (BECKER, 2003, p. 100), por conseguinte o homem
necessita do contato direto com o mundo exterior para desenvolver a sua capacidade mental
e a criação do próprio conhecimento.
Segundo Macedo (2002), a inteligência resulta das qualidades positivas da
experiência que poderão trabalhar em favor do seu desenvolvimento ou inibir a expressão
deste por experiências negativas ou contextos desfavoráveis. Neste sentido, esta visão
enfatiza a ação do sujeito em favor do desenvolvimento da inteligência, considerando os
benefícios da experiência, uma vez que, na visão empirista, o desenvolvimento da
inteligência é resultante de uma fonte interna de base fisiológica ou perceptiva e outra,
externa, de base sociocultural.
A primeira, de base fisiológica, possibilita a experiência sensorial; e a outra, de base
sociocultural, está associada aos sentidos, palavras ou conceitos relacionados ao vivido pela
experiência. Esse somatório de fontes do conhecimento é considerado por Macedo (2002) a
riqueza da inteligência, associadas no espaço e tempo. A inteligência, na visão empirista, tem
perspectiva funcional e genética, pois opera segundo leis e regras que produzem o
comportamento desejável, inibindo o indesejável e expressando uma visão heterônoma de
inteligência cujo desenvolvimento é dependente da ação externa e da mediação sobre o
sujeito.
De acordo com Piaget ([1964], 1975a, p. 339), o empirismo considera a experiência
como “[...] algo que se impõe por si mesmo, sem que o sujeito tenha de organizá-la, isto é,
como se ela fosse impressa diretamente no organismo sem que uma atividade do sujeito seja
necessária à sua constituição”. Piaget ([1970], 2012) critica as posições
empirista e
29
apriorista, por não considerar que as mesmas não respondem r satisfatoriamente à pergunta
sobre a origem do conhecimento e por concentrarem a compreensão da realidade como
dependente, ora de fatores externos (objeto), ora predominantemente internos (sujeito).
Assim, a resposta piagetiana propõe o papel essencial da ação do sujeito sobre o meio, ou
seja, a interação mútua de acomodação e assimilação, integrando a experiência dentro da
existência de conceitos mentais.
Piaget ([1970], 2012) parte do pressuposto de que a aquisição do conhecimento
supõe sempre a atividade do sujeito em relação ao objeto, nunca de forma passiva, apenas de
receptividade, mas de forma ativa e construtiva. Para o autor ([1964],1975a, p. 341), “a
experiência nada mais é do que uma ‘acomodação’, por muito exata que possa tornar-se”, ou
seja, a experiência é ativa, resultante de construções progressivas dos elementos que o sujeito
assimila ao agir sobre o meio.
Piaget ([1964],1975a) não nega a influência externa no desenvolvimento da
inteligência em todos os níveis, outorgando mérito à concepção empirista, porém ressalta que
o problema central desta teoria de conhecimento consiste em saber como o meio exerce esta
ação e como o sujeito registra os dados da experiência. Neste ponto, a concepção
epistemológica deste autor diverge do empirismo.
Abordando as implicações educacionais decorrentes da maneira como concebemos a
constituição do conhecimento humano, Becker (2008, p. 331) constata, em sua pesquisa, que
”[...] a epistemologia subjacente ao trabalho docente é a empirista e que só em condições
especiais o docente afasta-se dela” e conclui que raramente um docente utiliza um modelo
interacionista-construtivista. Quando o faz, é porque o professor é confrontado com sua
prática escolar, ou seja, ao ser questionado sobre sua epistemologia de conhecimento, alterna
momentos empiristas e aprioristas.
A visão empirista caracteriza mais amplamente a epistemologia do professor no
sistema educacional brasileiro, pois concebe o aprendizado como algo externo, atribuindo aos
sentidos a fonte de todo o conhecimento. Desta relação, surge o professor como detentor do
conhecimento: aquele que transmite para o aluno o que este não possui. A visão apriorista
entende a origem do conhecimento dos indivíduos como decorrente da bagagem hereditária,
portanto, pré-determinada. Deste ponto de vista, o meio tem pouca participação para a
efetivação da aprendizagem e, consequentemente, a atuação do professor não é tão
importante.
Piaget ([1970], 2012) se dedica, portanto, a elaborar a terceira interpretação para o
conhecimento, ao argumentar que as estruturas mentais, específicas para o ato de conhecer,
30
constituem a inteligência, que não está pré-formada no indivíduo e nem é determinada
exclusivamente pelo meio. Piaget ([1970], 2012) também se refere à organização das
estruturas que se constroem, progressivamente, por coordenações das ações do sujeito sobre o
mundo exterior e em contínua interação, por meio das muitas solicitações provenientes desse
meio. A novidade da posição construtivista reside em se situar, de forma equidistante, do
posicionamento do empirismo e do inatismo, defendendo uma unidade do sujeito e do objeto.
O construtivismo ou interacionismo representa uma postura epistemológica que
compreende a origem do conhecimento na interação do sujeito com o objeto; concebe o
conhecimento como uma ação transformadora do sujeito sobre o objeto de conhecimento.
Para Piaget ([1970], 2012), o conhecimento é resultante da ação do sujeito sobre os objetos
de conhecimento, sejam eles físicos ou sociais. Neste sentido, trata-se de uma construção que
resulta de interações com uma troca a partir das ações sobre o mundo objetivo e subjetivo,
construção esta constitutiva do próprio sujeito. Por conseguinte, tal interação leva à
construção de estruturas mentais:
A inteligência não aparece, de modo algum, num determinado momento do
desenvolvimento mental, como um mecanismo inteiramente montado, e
radicalmente distinto dos que o precedem. Pelo contrário, apresenta uma
notável continuidade com os processos adquiridos ou mesmo inatos
proveniente da associação habitual e do reflexo, processos esses em que a
inteligência se baseia, ao mesmo tempo em que os utiliza (PIAGET, [1964],
1975a, p. 31).
Em vista disso, grande parte do conhecimento que o homem constrói é resultado do
próprio esforço em compreender e dar significado ao mundo e para explicar a construção do
conhecimento, portanto a teoria piagetiana se baseia num modelo biológico de interação do
homem com o ambiente.
Na visão construtivista, conforme Macedo (2002, p.118), a inteligência possibilita,
de modo estrutural e funcional, relações com os objetos de maneira interdependente e
reversível, uma vez que “os elementos interagem em um contexto sistêmico sendo partes e
todo ao mesmo tempo”. Assim, “inteligência é um todo, composto por um conjunto de
estruturas ou esquemas que possibilitam nossos modos de compreensão e realização
conforme as características determinadas por seu nível ou estádio” (MACEDO, 2002, p. 7),
ou seja, a inteligência expressa de modo estrutural e funcional o que é possibilitado nos
diferentes estágios de desenvolvimento.
31
Becker (2008) considera o professor construtivista um desafiador, pois, mediante
atenção e respeito, identifica as facilidades e dificuldades de seus alunos e oferece recursos e
procedimentos para o avanço estrutural e conceitual do aprendiz, visto que desafios são
lançados de acordo com as possibilidades do aluno para resolvê-los individualmente ou em
grupo, em cooperação com seus pares.
Ao abordar o ensino em uma escola de caráter ativo, Piaget (1972) sugere que se leve
em consideração o ritmo de desenvolvimento dos alunos; que a escola esteja atenta aos
progressos científicos das matérias de ensino, e que esta se preocupe com a atualização
didática e a preparação científica de seus professores, com a evolução cultural, social e
econômica do mundo moderno e que realize estudos comparativos com outros países relativos
a programas de ensino.
No construtivismo, considerar a realidade do aluno significa não reduzir o
conhecimento deste à transmissão dos saberes culturais e ou científicos da sua realidade.
Portanto, podemos concluir que a aprendizagem, numa perspectiva construtivista, não se
realiza por memorização ou associação entre estímulos e respostas, tampouco por simples
maturação. Mas, necessariamente, implica a atribuição de significados aos objetos de
conhecimento, por meio da construção, revisão e fechamento de hipóteses sobre este. Este
resultado apenas é obtido mediante atividades desafiadoras, que instiguem a dúvida,
originando a incerteza dos alunos, configurando, assim, o papel do professor construtivista.
Nesse sentido, Becker (2008) reafirma que um ensino baseado no construtivismo
parte de uma teoria de aprendizagem construtivista que toma por referência a construção do
conhecimento por meio da ação (mental ou física) do sujeito sobre o objeto de conhecimento,
mediada por encaminhamentos didáticos que favoreçam tal processo. Assim, todo ser vivo
procura adaptar-se ao seu ambiente e possui propriedades de organização que podem ser
consideradas como totalidades ou sistemas de relações entre os elementos que possibilitem a
própria adaptação. Dessa forma, a vida seria, segundo Piaget ([1970], 2012), uma criação
contínua de formas, cada vez mais complexas, e da progressiva adaptação do ser vivo ao meio
exterior. A partir de tais colocações, podemos depreender que a inteligência consiste na
capacidade individual de adaptação ao meio e, portanto, o processo cognitivo teria início nos
reflexos fortuitos e difusos do recém-nascido, desenvolvendo-se progressivamente.
O funcionamento das estruturas cognitivas está agregado ao do sistema nervoso e é,
visto por Piaget ([1970], 2012), como prolongamento altamente especializado deste último.
Ao se referir ao desenvolvimento do conhecimento e da inteligência, Piaget ([1967], 1973a)
aponta a influência de alguns fatores, tais como: a maturação do sistema nervoso; a
32
experiência adquirida, a transmissão ou ação do meio social e a equilibração majorante,
sendo este último o fator principal.
O primeiro fator: a hereditariedade, a maturação interna, é considerado por Piaget
como um importante fator ([1970], 2012), porém é insuficiente, porque nunca existe no
estado puro ou isolado; se um efeito de maturação intervém em toda parte, ele permanece
indissociável dos efeitos do exercício da aprendizagem ou da experiência. A maturação é um
fator biológico e uma condição necessária para abertura de possibilidades de
desenvolvimento, e por ser uma continuação do processo de formação, ela define os limites
por meio do quais o desenvolvimento é estabelecido pela continuação da embriogênese.
O segundo fator: a experiência, a ação sobre os objetos, corresponde à experiência
ativa, que pode ser física ou lógico-matemática. A experiência física consiste na ação sobre
os objetos, abstraindo suas propriedades diretamente observáveis; enquanto que a lógicomatemática implica também na ação sobre os objetos, mas procurando conhecer o resultado
desta coordenação de ações. Essa experiência com o meio possibilita a ativação dos
processos de assimilação e acomodação, resultando em mudança cognitiva. Para Piaget
([1967],1956), todos os dados e informações fornecidos pela ação com o meio serão
assimilados às estruturas e “lidos” a partir de esquemas anteriores, uma vez que a
estruturação é ativa de assimilação a quadros lógico-matemáticos do nível sensório-motor ao
pensamento formal.
Para Piaget, ([1970], 2012), não existe experiência sem a ação na sua origem, de
maneira que o conhecimento não é extraído das propriedades físicas dos objetos, mas, sim,
das ações exercidas sobre eles pela experiência lógico-matemática. A partir dessas ações, são
introduzidas nos objetos propriedades que não pertenciam a eles antes. Nesta experiência
lógico-matemática está presente a abstração reflexionante sobre a qual discorreremos
posteriormente.
O terceiro fator: a transmissão social, fator educativo, no sentido amplo e
naturalmente determinante no desenvolvimento como produto das interações sociais,
revelando a contribuição de fatores exógenos ao desenvolvimento. Piaget ([1970], 2012)
apresenta a transmissão social como um dos fatores do desenvolvimento que ocorre pelo
intercâmbio entre indivíduos e conteúdos transmitidos e cuja troca inter-individual intervém
durante esse desenvolvimento, de acordo com um processo de socialização das pessoas nas
suas relações com os outros.
O quarto fator: a equilibração majorante ocupa a função norteadora ou integradora
dos demais fatores, pois consiste na conquista de estados de equilíbrio, qualitativamente
33
superiores ou melhores que os precedentes, uma vez que resultam de múltiplos desequilíbrios
e reequilibrações. Portanto, é considerado fator fundamental no desenvolvimento intelectual,
porque cada novo conhecimento é uma descoberta que deve se equilibrar com as outras. Para
Piaget ([1970], 2012), o próprio desenvolvimento, em certo sentido, é uma equilibração
sucessiva que permite o trânsito de um estado de menor equilíbrio a um equilíbrio superior.
Estes fatores, para Piaget ([1968], 1970), atuam concorrentemente ao se submeterem às leis
de equilíbrio como forma de adaptação às condições impostas, processo em que o equilíbrio
e a estrutura são dois aspectos complementares de toda organização do pensamento.
2.2 A construção de estruturas
O conceito de estrutura cognitiva é central na teoria de Piaget. A estrutura da
inteligência refere-se às organizações mentais, que se formam no decorrer do processo
evolutivo.
Para Piaget ([1968],1970), o conceito de estrutura inclui necessariamente as relações
sujeito-objeto, que preveem transformações, com conservações, organização, funcionamento
e autorregulação:
Uma estrutura é um sistema de transformações que comporta leis enquanto
sistema (por oposição à propriedade dos elementos) e que se conserva ou se
enriquece pelo próprio jogo de suas transformações, sem que essas
conduzam para fora de suas fronteiras ou façam apelo a elementos
exteriores. Em resumo, uma estrutura compreende os caracteres da
totalidade, de transformações e de autorregulação. ( PIAGET, [1968], 1970,
p. 8).
Em vista disso, a estrutura de conhecimento, inicialmente biológica, constrói-se
durante todo o desenvolvimento do sujeito, desenvolve-se e se transforma na relação com os
objetos, mediante a experiência dessa interação com o meio físico e social, avançando para
formas mais evoluídas de organização cognitiva. A estrutura cognitiva vai construindo-se e
aprimorando-se paulatina e concomitante à construção de novos conhecimentos, na busca
natural do homem pela sua adaptação como sujeito ativo nesta interação, produzindo a si
próprio e a realidade na qual vive.
34
As mudanças nas estruturas são utilizadas por Piaget ([1968], 1970) para analisar e
caracterizar os estágios de desenvolvimento. Essa formação da capacidade cognitiva que
ocorre sucessivamente, explicada pela Epistemologia Genética, mostra, pelo estudo da
gênese, que não existe um começo absoluto e que o desenvolvimento não é linear, mas que é
fruto de saltos, rupturas e estágios que representam uma lógica de estruturas mentais que
serão superadas por outro estágio e lógica superior de conhecimento. Essa construção de
estruturas resultante da interação dialética do sujeito com o mundo está permeada pelas
funções de assimilação, acomodação e adaptação.
A assimilação está ligada à ação, ou seja, como um processo assimilativo ativo,
onde os elementos envolvidos agem uns sobre os outros, transformando-se mutuamente.
Todo conhecimento contém um processo de assimilação às estruturas anteriores e de
incorporação de novas informações exteriores aos esquemas já estabelecidos pelo sujeito.
Nesta linha de pensamento, Piaget ([1970], 2012) afirma:
A assimilação, definida assim em termos funcionais muito gerais,
desempenha papel necessário em todo conhecimento. [...] quando um
homem ou animal percebe um objeto, identifica-o como pertencentes a
certas categorias, conceituais ou práticas, ou, no plano propriamente
perceptivo, percebe-o por intermédio de esquemas funcionais ou espaciais
(como uma figura que se destaca sobre um fundo, como ocupando uma
posição no espaço, etc.). Assimila-o, pois a estruturas mais ou menos
complexas de níveis diversos, mas anteriores à sua percepção do momento
(PIAGET, [1970], 2012, p. 14).
Todo conhecimento precisa do mecanismo de assimilação, já que esse processo
proporciona significados a algo que é percebido e, além disso, “[...] exprime o fato
fundamental de que todo conhecimento está ligado a uma ação e conhecer um objeto ou
conhecimento é utilizá-lo, assimilando a esquemas de ação” (PIAGET, [1970], 2012, p. 15).
Em sentido amplo, significa uma integração às estruturas prévias como mecanismo que
atribui significados ao objeto; além de incorporá-lo a algum esquema de ação: “A
assimilação não se reduz [...] a uma simples identificação, mas é construção de estruturas ao
mesmo tempo em que incorporação de coisas a essas estruturas” (PIAGET, [1970], 1973a, p.
364). Assim, a assimilação incorpora elementos exteriores e compatíveis com sua natureza.
Conforme Piaget ([1975],1976), só a atividade de assimilação não traz ao sujeito a
construção de novidades no sistema cognitivo; é preciso a criação de novos conhecimentos;
faz-se necessário, também, outro mecanismo fundamental no processo de construção do
conhecimento: a acomodação. O processo assimilativo está relacionado ao processo de
35
acomodação, conforme afirma Piaget ([1964], 1975b, p. 387): “[...] experiência jamais é
recepção passiva: é acomodação ativa, correlativa à assimilação”, são, portanto, dois
processos inseparáveis, porém, distintos, onde um só é possível pela existência do outro.
Desta forma, não há assimilação sem acomodações, assim como não existem acomodações
sem assimilação, pois o meio desencadeia ajustamentos ativos no sujeito.
O esquema de assimilação alimenta-se por meio da incorporação de características
exteriores, no entanto só a atividade de assimilação não traz a construção de novidades. Na
acomodação, temos a modificação dos esquemas em função das resistências oferecidas pelos
objetos de conhecimento ao serem assimilados. Quando incorporados, novos elementos
firmam-se em estruturas já construídas ou se reajustam, acomodando-se por causa das
transformações ocorridas.
Quando ocorre o equilíbrio entre a assimilação e a acomodação, o indivíduo
consegue reagir à solicitação do meio, porque o processo de adaptação permite que ele
organize sua atividade mental com as ações do exterior. A adaptação como processo propicia
o equilíbrio entre a assimilação e a acomodação: “a adaptação é o equilíbrio entre
assimilação da experiência às estruturas dedutivas e a acomodação dessas estruturas aos
dados da experiência (PIAGET, [1969], 1998, p. 157). Destes apontamentos, resulta a
afirmação de Piaget de que “a inteligência é uma adaptação” (PIAGET, [1966], 1975a, p.
15), na busca da conservação pela sobrevivência.
2.3 O Desenvolvimento cognitivo
A teoria de Piaget sobre o desenvolvimento cognitivo supõe, antes de qualquer coisa,
que os seres humanos passam por uma série de mudanças ordenadas e previsíveis . Processase através de estágios cuja ordem de sucessão é invariante e cujas aquisições são
progressivamente mais complexas.
Segundo Piaget ([1968],1970), o desenvolvimento cognitivo implica num processo
de mudanças, tanto quantitativas como qualitativas de estruturas cognitivas, ou seja, as
estruturas são construídas e reconstruídas de forma a tornar o indivíduo cada vez mais
adaptado.
A inteligência humana é vista como um sistema de operações vivas e atuantes em
busca de uma adaptação do organismo ao meio. Neste processo evolutivo, cada nova
estrutura possibilita um equilíbrio mais amplo e mais estável em relação às anteriores; cada
36
nova estrutura envolve, ao mesmo tempo, a superação e a conservação da anterior. Neste
sentido, o funcionamento cognitivo evolui de uma forma gradativa, iniciando pelas ações
sensório-motoras; perpassando as representações simbólicas; e atingindo a construção das
estruturas operatórias concretas e formais.
A Epistemologia e a Psicologia Genéticas estão assentadas no interacionismo, no
construtivismo, no estruturalismo e no princípio da gênese. O princípio genético está
associado ao conceito de gênese que significa que “estando em presença de uma estrutura
como ponto de partida, e de uma estrutura mais complexa como ponto de chegada, entre as
duas se situa, necessariamente um processo de construção, que é a gênese” (PIAGET,
[1964],1980b, p. 25).
Piaget ([1964], 1980b), ao estudar a gênese e o processo de adaptação, observa que
determinadas manifestações se repetiam em diferentes situações, constatação que estruturou
suas conclusões e o fez propor o desenvolvimento humano por uma sucessão de estágios que
não seguem uma sequência linear de etapas, mas um caminho em uma espiral ascendente de
raio crescente (divergente). Conforme essa representação, a cada ciclo que se completa, o
sujeito alcança um ponto acima do ponto correspondente ao ciclo anterior e mais distante do
eixo central.
O processo de construção da inteligência refere-se às mudanças estruturais que se
realizam em etapas sucessivas, de forma gradual e contínua, definida por estágios de
desenvolvimento. Cada estágio representa um potencial de inteligência, como processo de
formação em que ocorrem diferenciações progressivas de estruturas que culminam em
formas superiores de equilíbrio. Nestes estágios, o desenvolvimento não é linear no sentido
de um novo conhecimento vir a substituir o anterior. Cada um começa por uma
reorganização, em um novo nível de aquisições alcançadas no nível precedente. Esta
reorganização caracteriza-se por novas estruturas que diferem das anteriores e que tem
características alteradas pelo desenvolvimento subsequente. Conforme Piaget ([1964],
1980b, p. 14), "cada estádio constitui então, pelas estruturas que o definem, uma forma
particular de equilíbrio, efetuando-se uma evolução mental no sentido de uma equilibração
sempre mais completa”. A passagem subsequente de um estágio para outro respeita uma
ordem hierárquica de operações e de desenvolvimento, cuja ordem é sequencial, com uma
evolução própria:
37
Cada estágio é caracterizado pela aparição de estruturas originais, cuja
construção o distingue dos estágios anteriores. O essencial dessas
construções sucessivas permanece no decorrer dos estágios ulteriores, como
subestruturas, sobre as quais se edificam as novas características (PIAGET,
[1964], 1980b, p. 13).
Esses estágios obedecem a critérios específicos, sendo um deles: “a ordem de
sucessão é constante, embora as idades médias que as caracterizam possam variar de um
indivíduo para outro, conforme o grau de inteligência, ou de um meio social a outro”
(PIAGET, [1972], 1978b, p. 131). Não são, portanto, padronizados no sentido de idades
cronológicas fixas, mas, por estruturas de pensamento apresentadas em cada um desses
momentos. Para se atingir cada estágio, é necessário “[...] ter passado por desmanches
preliminares. É necessário ter construído as pré-estruturas, as subestruturas preliminares que
permitem progredirmos mais” (PIAGET, [1973], 1978c, p. 215).
Nesse processo, ocorre uma integração com a estrutura existente, que, em um
primeiro momento, é reconstruída e que passa posteriormente para uma dimensão mais
ampla, acarretando o desenvolvimento mental, ou seja, frente a perturbações ou conflitos, o
sujeito tende a reagir por meio de regulações contínuas, reorganizando suas estruturas
cognitivas anteriores, as quais se incorporam às estruturas dos estágios seguintes. “As
estruturas de um conjunto são integrativas e não se substituem uma às outras: cada uma
resulta da precedente, integrando-a na qualidade de estrutura subordinada e prepara a
seguinte, integrando-se a ela mais cedo ou mais tarde” (PIAGET, [1972], 1978b, p. 132). Os
estágios, por sua vez, estão subordinados à experiência física e social e à ação do sujeito
sobre o meio e definem um processo de intensas mudanças de estruturas cognitivas, com
construções contínuas e sucessivas, e equilibrações estabelecidas entre a estrutura precedente
e a ação do meio.
Os diferentes estágios do desenvolvimento cognitivo, estabelecidos por Piaget
([1964], 1980b), constituem um momento de mudanças e permanências segundo as
necessidades a serem supridas, “na realidade, a tendência mais profunda de toda atividade
humana é a marcha para o equilíbrio” (PIAGET, [1964], 1980a, p. 65).
2.3.1 Estágio Sensório-Motor (0 a 2 anos aproximadamente)
A compreensão da construção do pensamento do adulto passa pelo entendimento
primeiramente do pensamento da criança, pois as primeiras construções desta possibilitam
38
desvelar o pensamento daquele. “Assim, para chegar ao pensamento formal, é necessário
percorrer o caminho dos reflexos, primeiros esquemas, interiorização dos esquemas de ação,
coordenação das ações interiorizadas e a construção de estruturas lógicas elementares”
(PIAGET, [1964], 1980b, p. 11).
Para Piaget (1980b), esse período é essencial para conquista cognitiva do indivíduo,
representando a tomada de todo o universo prático. Ao analisar o desenvolvimento da
criança nos primeiros dois anos de vida, Piaget ([1964], 1980b) observa a existência de uma
inteligência sensório-motora, ou seja, uma inteligência “sem pensamento ou representação,
sem linguagem e sem conceitos”, marcada pela ausência da função simbólica (DOLLE,
1987, p. 115). Conforme Piaget ([1964], 1980b), esse período é extremamente fértil, pois
corresponde a um progresso considerável pela formação dos primeiros hábitos e pelo
nascimento da inteligência, caracterizada pela intencionalidade que ocorre nos 18 primeiros
meses.
No estágio sensório-motor, ocorre o nascimento da inteligência da criança,
peculiarmente prática, tendendo a resultados práticos, relacionados a conquistas, de modo
que:
[...] toda a gente admite a existência de uma inteligência antes da linguagem.
Essencialmente prática, isto é, tendente a resultados favoráveis e não ao
enunciado de verdades, essa inteligência nem por isso deixa de resolver,
finalmente, um conjunto de problemas de ação (PIAGET, [1964], 1978b, p.
12).
Esse estágio divide-se em seis sub-períodos e, conforme Flavell (1975, p. 88), “As
várias atividades reflexas começam a passar por modificações isoladas decorrentes da
experiência e a se coordenarem mutuamente de várias maneiras complexas”. A partir dessas
considerações, destaca-se que o primeiro é marcado pela presença dos reflexos; o segundo,
pelos primeiros hábitos; o terceiro, pela coordenação da visão e da preensão e pelo início das
distinções entre meios e fins. O indivíduo começa, conforme Flavell (1975), a realizar ações
orientadas para os objetos e eventos externos e demonstra uma espécie de prenúncio de
intencionalidade nas tentativas de reproduzir os efeitos ambientais por meio das próprias
ações.
O quarto e quinto sub-estágio são marcados pelo aprimoramento da causalidade, e o
sexto estágio, pela elaboração de hipóteses (no plano prático) para a resolução de problemas,
antecedendo-se à ação, passando a agir de modo a se satisfazer. Neste último, segundo
Flavell (1975), a criança começa a fazer representações elementares e transpõe os limites
39
entre o período sensório-motor e o pensamento pré-operacional. Ainda neste sexto subperíodo, “[...] não significa que os comportamentos estudados até aqui estejam condenados a
desaparecer, mas simplesmente que vão doravante a ser completados por condutas de um
novo tipo: a invenção por dedução ou combinação mental” (PIAGET, [1966], 1975a, p. 311).
Piaget ([1966], 1975a) declara que a inteligência sensório-motora é puramente
vivida e o bebê, satisfaz-se em chegar ao objetivo prático, sem visar à constatação ou
explicação, e que perdura durante a existência toda, constituindo o órgão essencial da
atividade perceptiva. O período da inteligência sensório-motora é substituído pelo
desenvolvimento da inteligência representativa. Ele termina num estádio que efetua a
transição entre a inteligência propriamente sensório-motora, sem linguagem, sem
representação, sem conceitos, para a inteligência representativa que se efetua por
transformações lentas e sucessivas que se reelaboram.
Na chegada ao período seguinte, denominado pré-operatório, a criança é capaz de
fazer combinações interiorizadas, ou seja, já não se prende a encontrar meios apenas
manipulando os objetos. Piaget ([1972], 1978b, p. 76) afirma que “[...] a criança torna-se
capaz de encontrar novos meios, não mais por simples tateio exteriores ou materiais, senão
por combinações interiorizadas, que redundam numa compreensão súbita ou insight”. Tais
considerações demonstram que, conforme PIAGET ([1966]1975a), cada um dos subperíodos prepara os posteriores, alcançando patamar de comportamento e pensamento mais
avançado.
2.3.2 Estágio Pré-operatório (2 – 7 anos aproximadamente)
No estágio pré-operatório, conforme Piaget ([1966], 1975a), a criança passa a
apresentar adaptações intelectuais mais avançadas, e os esquemas de ação começam a se
interiorizar progressivamente. Com a consolidação da linguagem, aumenta a capacidade do
sujeito em realizar representações mentais interiorizadas por imagem mental, executadas em
pensamento, sem a necessidade de uma ação imediata. Assim, ele é capaz de evocar uma
situação, reconstituindo por narrativa, e antecipar futuras ações pela representação verbal.
O marco desse estágio caracteriza-se pela consolidação da função simbólica ou
semiótica, fundamental à evolução das estruturas operatórias posteriores. A função simbólica
consiste na capacidade da representação de um objeto ausente (significante), por meio de um
significado, “capacidade de evocar por meio de um signo ou de uma imagem simbólica o
40
objeto ausente ou a ação ainda não realizada” (PIAGET, [1966], 1975a, p. 215).
Assim, Piaget ([1964], 1975b, p. 352) explica a importância da função simbólica
para evolução das estruturas operatórias posteriores para estabelecer um sistema de
significações: “A função simbólica [...] é essencial à constituição do espaço representativo”,
utilizando-se de sistemas de representação com a adequação do uso de símbolos dentro de
uma linguagem e a proposição de alternativas que possibilitam a resolução dos diferentes
problemas cotidianos, de maneira que o pensamento se reconstrói, apoiando-se nas
aquisições anteriores.
A função simbólica ou semiótica é constituída por cinco manifestações próprias, que
apresentam relevância no desenvolvimento desse período, são elas: imitação diferida, jogo
simbólico, desenho, imagem mental e linguagem ou evocação verbal, considerando que:
[...] o emprego dos signos como o dos símbolos, pressupõe essa aptidão,
inteiramente nova em contraste com as condutas sensório-motoras, que
consiste em representar alguma coisa por outra. Pode-se, então, aplicar à
criança essa noção de uma “função simbólica” geral, de que se fez às vezes a
hipótese a propósito da afasia, porque é a formação desse mecanismo que
caracterizaria, em resumo, o aparecimento simultâneo da imitação
representativa, do jogo simbólico, da representação com imagem e do
pensamento verbal (PIAGET, [1967], 1956, p. 130).
O pensamento da criança é intuitivo para a compreensão dos fenômenos, e Piaget
([1964], 1980b, p. 29) considera essa compreensão como “a forma de pensamento mais
adaptada ao real que a criança conhece”.
Contudo, mesmo sendo o período pré-operatório marcado pela capacidade
representativa, a criança ainda encontra dificuldades para estabelecer relações lógicas entre
fatos e acontecimentos, expressando ações cognitivas com um critério particular de
elaboração, marcado por características interdependentes.
O egocentrismo é, também, característica essencial desse período, que consiste em
partir do próprio eu para julgar a realidade e os outros, constituindo-se numa incapacidade de
se colocar na perspectiva do outro, não havendo, portanto, percepção sobre a incoerência dos
fatos, sendo este um dos maiores obstáculos à conquista do raciocínio lógico.
2.3.3
Estágio operatório concreto (7-8 - 11 anos aproximadamente)
Nesse período, ocorre um fato importante no desenvolvimento da inteligência, a
consolidação das operações que se tornam reversíveis, mesmo que ainda sejam apoiadas em
41
suportes materiais, num pensamento interiorizado, com vínculos ao mundo real, presas à
experiência concreta e ao observável. Tem-se a construção da noção de conservação num
nível operatório que, no entender de Piaget ([1970], 2012), é o melhor critério para indicar o
aparecimento das operações ao nível das estruturas concretas.
Para Becker (2003), somente nesse período, dar-se-á a aquisição da capacidade de
ação reversível e a reciprocidade do pensamento, após anos de ações sobre os objetos. Essa
capacidade é uma primeira forma de totalidade operatória e, portanto, uma primeira forma de
equilíbrio estável. Essa capacidade permite ao sujeito executar a mesma ação nos dois
sentidos, com a consciência que se trata da mesma ação, realizando mentalmente as ações, ou
seja, “conservar”, considerar ao mesmo tempo, tanto o todo como vários reagrupamentos de
suas partes. Isso permite a organização do pensamento em estruturas coerentes e totais, numa
relação hierárquica ou sequencial; possibilita, ainda, perceber uma transformação como parte
de um sistema de transformações possíveis, relacionada à outra que a anula. Com esta
possibilidade de reversibilidade, a criança é capaz de classificar, agrupar, tornar reversíveis
as operações e pensar sobre um fato a partir de diferentes perspectivas.
Conforme Piaget ([1970], 2012), como característica principal desse período, as
ações mentais já interiorizadas operam com coerência e lógica em nível de pensamento, que
passa de pré-lógico a operatório, possibilitando capacidade cognitiva para coordenação de
diferentes pontos de vista de maneira lógica: “As ações interiorizadas ou conceptualizadas
com as quais o sujeito tinha até aqui de se contentar adquirem o lugar de operações enquanto
transformações reversíveis que modificam certas variáveis e conservam as outras a título de
invariantes” (PIAGET, [1970]1978a, p. 18).
Piaget ([1970], 2012) esclarece que as operações interiorizadas e reversíveis devem
ser compreendidas não como representação de uma transformação, mas como em si mesma
uma transformação do objeto possível de ser executada simbolicamente. Julga essas
operações como partes de um sistema. Piaget ([1970], 2012) chama de operações:
Chamamos operações às ações interiorizadas (ou interiorizáveis) reversíveis
(no sentido de poderem se desenrolar nos dois sentidos e consequentemente
de comportarem a possibilidade de uma ação inversa que anula o resultado
da primeira) e se coordenando em estruturas, ditas operatórias que
apresentam leis de composição caracterizando a estrutura em sua totalidade,
como sistema (PIAGET, [1970], 2012, p. 376).
A reversibilidade operatória possibilita ao sujeito utilizar, de forma isolada e não
42
unida, em um sistema único e total essa capacidade no plano das ações concretas. Trata-se de
um método ascendente para as inclusões de classe, denominado, por Piaget ([1970], 2012),
reversibilidade por inversão ou negação.
Conforme Piaget ([1970], 2012), essa é uma característica da estrutura de
agrupamento que pode ocorrer de duas formas distintas: por inversão (negação) e por
reciprocidade (simetria). É um método sistemático sucessivo entre menor ou maior elemento,
visando construir uma ordem serial, denominada reversibilidade por reciprocidade e seriação
e que apresenta também outras propriedades: composição, associatividade, identidade geral e
identidade especial. Por meio deste processo, o sujeito adquire estruturas de classificação,
seriação e de relações parciais entre objetos que vão se organizando em estruturas operatórias
de conjunto (agrupamentos):
Em resumo, o pensamento concreto continua fundamentalmente ligado ao
real, e o sistema de operações concretas, que constitui a forma final de
equilíbrio do pensamento intuitivo, chega apenas a um conjunto restrito de
transformações virtuais, e, portanto, a uma noção do “possível” que é apenas
uma extensão (não muito grande) do real (INHELDER; PIAGET, [1976],
1976, p. 188).
As noções adquiridas nesse período, por ser ainda incompletas, permitem a operação
direta e exclusivamente sobre os objetos, próprias do raciocínio concreto e de formas de
reversibilidade não coordenadas entre si, compondo totalidades distintas. Desta maneira, o
raciocínio possui limitações que se caracterizam pela necessidade do plano concreto.
Para Piaget ([1970], 2012), as operações pressupõem sistemas estruturados com
outras operações relacionadas, cujo termo é definido como qualquer ação representativa que
faça parte de uma rede ou sistema organizado de atos relacionados. Cada operação não
ocorre sem a existência de todo um sistema de operações potenciais, considerando-se como
exemplo o sistema de classe, conceito que não é possível adquirir, sem termos a
compreensão do que um sistema de classificação requer, pois a classe isolada é somente uma
abstração do sistema total. Como as operações fazem parte de um sistema organizado de atos
relacionados, torna-se possível transformar os dados perceptivos num sistema coerente de
relações objetivas. Neste sentido, a reversibilidade permite antecipar as perturbações e
compensá-las mentalmente, procedendo a uma autocorreção mental que constitui a lógica
operatória (PIAGET, [1970], 2012).
Piaget ([1970], 2012) utilizou o modelo de agrupamento de classe e relações para
explicar o sistema característico dessas operações concretas as quais se apóiam em duas
43
formas de reversibilidade: a reversibilidade por inversão (classes) e a reversibilidade por
reciprocidade (relações).
No período ora em destaque, as inversões e as reciprocidades ainda não se
encontram reunidas num sistema único de transformações, portanto, de acordo com Piaget e
Inhelder ([1977], 1995, p. 86), “do ponto de vista lógico, o agrupamento é uma estrutura de
conjunto de composições limitadas”.
2.3.4
Estágio formal (11- 12 anos aproximadamente)
A partir dos 11 ou 12 anos de idade, inicia-se o estágio das operações formais,
caracterizado como o ápice do desenvolvimento da inteligência, quando o sujeito atinge a
forma final de equilíbrio e de padrão intelectual do pensamento, definido por Inhelder e
Piaget ([1976], 1976) como hipotético-dedutivo.
Uma das características desse período, descritas por Inhelder e Piaget ([1976],
1976), é a inversão de sentido entre o real e o possível. Ao tentar encontrar o real dentro do
possível, o adolescente precisa considerar o possível como um conjunto de hipóteses que
devem ser confirmadas ou rejeitadas. Perante um problema, o sujeito tenta imaginar todas as
relações possíveis e válidas e, por meio de uma combinação de procedimentos de
experimentação e análise lógica, verifica quais são verdadeiras e o que os dados permitem
admitir como hipótese. É uma forma de pensamento hipotético-dedutivo que consiste em
tirar consequências de situações abstratas, não mais apenas de extensões do real, mas de
hipóteses elaboradas mentalmente:
Finalmente, com o pensamento formal ocorre uma inversão de sentido entre
o real e o possível. Em vez de o possível se manifestar simplesmente sob a
forma de um prolongamento do real ou das ações executadas na realidade, é
ao contrário, o real que se subordina ao possível [...] (INHELDER; PIAGET,
[1976], 1976, p. 189).
Outra característica do período formal, descrita por Inhelder e Piaget ([1976], 1976),
corresponde à lógica das proposições (classes e relações), usada para referenciar elementos
verbais e não mais diretamente os objetos. Os dados rudimentares da realidade passam a ser
afirmações–proposições. Novas possibilidades operatórias são estabelecidas por disjunções,
implicações, exclusões etc., até a construção da lógica de todas as combinações possíveis.
Tem-se também, nesse momento do desenvolvimento a constituição de um sistema de
44
operação, elevada à segunda potência e a utilização de procedimento combinatório.
Nesse sentido, essa fase é considerada por Piaget ([1970], 2012), uma fase de
abertura para todos os possíveis, é o nível mais evoluído de estruturação cognitiva, onde o
sujeito adquire instrumentos intelectuais novos e mais poderosos como a capacidade de
pensar sobre o próprio pensamento:
É este poder de fazer operações sobre operações que permite ao
conhecimento ultrapassar o real e que lhe abre a via indefinida dos possíveis
por meio da combinatória, libertando-se então das elaborações por
aproximações às quais permanecem submetidas às operações concretas
(INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 28).
O pensamento formal opera em segunda, terceira e enésima potência, por meio das
relações das relações e das coordenações das coordenações das ações envolvidas na lógica das
proposições. A construção da combinatória abrange essa totalidade, sendo ela própria
operação de segunda potência: “as permutações são seriações de seriações, as combinações
são multiplicações de multiplicações, etc.” (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 190).
Esta nova forma de estruturação do pensamento supõe a formação de “operações
combinatórias, proporções, sistemas duplos de referência, esquemas de equilíbrio mecânico
(igualdade entre ação e reação), probabilidades multiplicativas, correlações, etc.”
(INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 190). Pensando assim, a inteligência alcança um
nível no plano das relações, portanto:
[...] para conceber o possível, o pensamento formal é obrigado a dispor, em
cada situação específica, de uma grande amplitude de operações virtuais
que ultrapassam o domínio das operações momentaneamente utilizadas [...]
constituem uma condição necessária de equilíbrio compatível com as
ligações do sistema (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 193).
No pensamento formal, os fatos não são explicados e admitidos como fatos, senão
depois de verificação ao conjunto de hipóteses compatíveis. A dedução não se refere a
realidades percebidas, mas a proposições e suposições, independente do caráter real e
possível:
É esta inversão de sentido entre o real e o possível que, mais que qualquer
outra propriedade subseqüente, caracteriza o pensamento formal: em vez de
apenas introduzir um início de necessidade no real, como ocorre nas
inferências concretas, realiza desde o início a síntese entre o possível e o
necessário, deduzindo com rigor as conclusões de premissas, cuja verdade
45
inicialmente é admitida apenas por hipótese, e, assim, vai do possível para o
real (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 189).
Do ponto de vista do desenvolvimento genético, conforme Dolle (1987) é chegado o
nível de acabamento da inteligência. O indivíduo adquire capacidade de realizar operações
mentais que seguem os princípios da lógica formal, que dará riqueza de conteúdo e
flexibilidade de pensamento, temos, pois, a passagem da lógica indutiva para a lógica
dedutiva. Corroborando este ponto de vista, Delval (1998, p. 124) afirma que “a
característica desse período é uma gigantesca ampliação das possibilidades de resolução de
problemas”. O sujeito, com progressos de caráter dedutível da experiência, serve-se de todos
os dados disponíveis, construindo sistemas teóricos complexos.
Conforme Inhelder e Piaget ([1976], 1976), nesse período, adquire-se independência
em relação ao concreto, e o indivíduo liberta-se do atual e se orienta para o não-atual e para o
futuro, adquirindo a capacidade de raciocinar proposicionalmente: “[...] as operações lógicas
começam a ser transpostas do plano da manipulação concreta para o das idéias, expressas em
linguagem qualquer, mas sem apoio da percepção, da experiência, nem mesmo da crença”
(PIAGET, [1972], 1980b, p. 63). Todo esse processo leva a uma reflexão sobre o próprio
pensamento, buscando justificativas lógicas para seus julgamentos, o que o levará à
construção de autonomia e identidade. A pessoa usa o raciocínio científico e princípios da
lógica, traço característico nesse período:
A partir de agora os fatos são concebidos como o setor das realizações
efetivas no meio de um universo de transformações possíveis, pois não são
explicados, e nem admitidos como fatos, senão depois de uma verificação
que se refere ao conjunto das hipóteses compatíveis com a situação dada
(INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 189).
Superpõe-se uma nova lógica – a das proposições – à das classes e relações que se
referem aos objetos. A lógica das proposições manifesta-se em formas mais características de
situações experimentais como, por exemplo, diante de problemas puramente verbais
(INHELDER; PIAGET, [1976], 1976). Essas situações experimentais possibilitam o
pensamento do possível e não limitado à estruturação direta do percebido, numa lógica de
combinações possível de pensamento, tanto em nível experimental como verbal.
Nesse período, o sujeito adquire capacidades como a compreensão de metáforas e
analogias, pensar em termos de lógica, abstrações, lidar com previsões, antecipações; passa a
considerar um conjunto de possibilidades, construindo sistemas e teorias, confiadas apenas
46
na necessidade de raciocinar.
Essa inteligência para Inhelder e Piaget ([1976], 1976), pode ser entendida nos seus
agrupamentos mais complexos em que a capacidade de se desprender do real possibilita ao
pensamento trabalhar por hipóteses e proposições, regidas por uma combinatória (reticulado
ou rede) ou por um conjunto de transformações (grupo INRC). O pensamento formal com
raízes nas operações concretas tem propriedades de grupo e de reticulado que permitem o
emprego das 16 operações proposicionais binárias, além de outras ternárias ou superiores,
assim como a estruturação esporádica de noções e esquemas organizados por operações
precedentes.
Para Flavell, Miller e Miller (1999, p. 220), o adolescente, perante situações
problemáticas, “[...] comprova a existência de uma estrutura cognitiva com as propriedades
de um grupo de quatro transformações - um grupo matemático cujos elementos consistem de
quatro transformações”. Este grupo pode ter, no raciocínio adolescente, várias realizações
concretas ou diferentes sistemas que exemplificam suas propriedades relacionadas com a
cognição, sendo que uma delas se refere diretamente às operações proposicionais.
A estrutura é dotada de um método exaustivo, englobando todas as possibilidades,
inclusive as inversões e reciprocidades, compostas em um sistema único, isto é, cada
operação aparece ao mesmo tempo como a inversa de outra e a recíproca de uma terceira, o
que constitui um grupo cumulativo, ou seja, as quatro transformações do grupo INRC, em
que “de cada proposição (I) pode-se tirar sua inversa (N) e sua recíproca (R) e a recíproca da
inversa (C) e ainda voltar à mesma posição (I), sem perder as referências do raciocínio”
(FRANCO, 1998, p.44). Esse grupo das quatro transformações, sob a operação de
multiplicação ou de combinação, é explicado também por Flavell, Miller e Miller (1999, p.
220):
1. Identidade (I) é uma alteração “nula” que não altera em nada a proposição
sobre a qual incide.
2. Negação (N) é uma transformação que modifica tudo na proposição sobre
a qual incide, ou seja, todas as afirmações transformam-se em negação e vice
– versa. Todas as conjunções tornam-se disjunções e vice-versa
3. Reciprocidade(R), transformação que permite as conjunções e disjunções,
mas não altera as afirmações e negações.
4. Correlatividade (C) que permuta as conjunções e disjunções, mas não
altera as afirmações e negações.
Uma realização de grupo de quatro transformações refere-se diretamente às
operações proposicionais em que uma determinada operação proposicional pode ser
47
transformada numa operação diferente de várias maneiras, denominado grupo físico INRC.
A segunda realização refere-se às transformações que ocorrem dentro de sistemas físicos e
não às transformações de proposições em si, referido como grupo lógico INRC.
Assim, o pensamento apresenta uma independência dos mecanismos formais e dos
conteúdos, substituindo os objetos ausentes pela representação, equivalendo ao real. O
trabalho mental requerido, nesse momento, é maior, se comparado ao período anterior. O
pensamento formal executa as operações em pensamento, como também reflete estas
operações independentes dos objetos e as substitui por proposições numa representação de
ações possíveis.
Conforme Flavell, Miller e Miller (1999, p. 221), “as exigências da composição, a
multiplicação de duas ou mais destas quatro transformações equivale (produz o mesmo
resultado) à aplicação isolada de qualquer uma delas”. A relação destes grupos, isolados e
em conjunto com o pensamento adolescente, pode ser explicada pelo fato de o grupo geral
INRC ser um modelo de cognição adolescente, no mesmo sentido de que o reticulado, assim
como o agrupamento é um modelo de cognição da criança pequena, baseado nos resultados
dos experimentos evolutivos.
Os esquemas operatórios com estrutura formal, identificados por Inhelder e Piaget
([1976], 1976) são as operações combinatórias; proporções; coordenação de dois sistemas de
referência e a relatividade dos movimentos e das velocidades; noção de equilíbrio mecânico;
noção de probabilidade; noção de correlação; compensações multiplicativas; formas de
compensação que ultrapassam a experiência.
Posteriormente a esse estágio, o
desenvolvimento consistirá uma ampliação em extensão e profundidade e não mais de
aquisição de novos modos de funcionamento mental.
2.4
A Abstração Reflexionante e a Tomada de Consciência
A construção do conhecimento implica na condição de um processo de abstração
mediante os desequilíbrios que surgem e a necessidade de superá-los pelo uso de estruturas
mentais e reorganização de elementos de construções anteriores. Assim, Piaget et al. ([1977],
1995), atribuem ao mecanismo da abstração reflexionante papel essencial nesse processo,
pois esse pode ser considerado o motor do desenvolvimento.
Piaget et al. ([1977], 1995) concebiam o conhecimento como uma construção que é
explicada por meio do processo de abstração reflexionante que, conforme Becker (2001),
48
comporta o reflexionamento e a reflexão, como aspectos inseparáveis. Para Becker (2001), a
abstração é uma palavra latina que significa retirar, arrancar, extrair algo de algo, ou seja,
algumas características que o esquema de assimilação possibilita retirar como síntese das
experiências anteriores e nunca a totalidade.
Assim, o conhecimento é concebido como uma construção que ocorre por meio de
um processo de abstração que permite a construção de novas estruturas. Conforme Piaget et
al. ([1977], 1995), temos dois tipos de abstração: a abstração empírica e a abstração
reflexionante; o autor complementa, ainda, que a abstração reflexionante pode ser também
uma abstração pseudo-empírica ou uma abstração refletida que vão ocorrer conforme o tipo
de trabalho cognitivo realizado pelo sujeito.
A abstração empírica, decorrente da experiência física, apoia-se sobre as
propriedades observáveis dos objetos ou sobre aspectos materiais das ações. Nesse tipo de
abstração, as propriedades dos objetos existem antes de qualquer constatação. É entendida
como a ação de retirar características e qualidades dos objetos, presentes nestes antes mesmo
das ações do sujeito. Essa abstração “[...] busca atingir o dado que lhe é exterior, isto é, visa a
um conteúdo em que os esquemas se limitam a enquadrar formas que possibilitarão captar tal
conteúdo [...]” (PIAGET at el., [1977], 1995, p. 5).
A abstração empírica, como uma experiência física, resulta da ação real ou
representada que a interação do sujeito com os objetos possibilita. Neste sentido, não se
resume a uma simples leitura de características físicas dos objetos e depende do uso de
esquemas construídos anteriormente para abstrair destes as suas propriedades. É necessário o
uso de instrumentos de assimilação, que se originam de esquemas sensórios-motores ou
conceituais construídos pelo sujeito.
A abstração reflexionante, por sua vez, decorre da experiência lógico-matemática e
se origina e se apoia nas coordenações das ações ou operações cognitivas que o sujeito
exerce sobre os objetos como a construção de esquemas, coordenações de ações, operações
para retirar o necessário para outras finalidades: “[...] é fonte contínua de novidades porque
atinge novas reflexões sobre cada um dos planos sucessivos do reflexionamento” (PIAGET,
et al., [1977], 1995, p. 205). É um processo de formação de estruturas cognitivas, pela
reorganização de elementos retirados e por estruturas construídas, constituindo o saber-fazer
que o sujeito possui. Neste sentido, a abstração reflexionante é uma “sucessão interminável
de construções e desconstruções” (PIAGET, et al., [1977], 1995, p. 136), reconstruindo o que
já se fez.
49
Referindo-se à relação entre a abstração empírica e a reflexionante, Piaget et al.,
([1977], 1995, p. 278) explica:
A abstração empírica [...] se limita a acolher, dentre os observáveis
perceptíveis, aqueles que respondem a uma dada questão, ao passo que a
abstração reflexionante comporta uma atividade contínua, que pode
permanecer inconsciente, a começar pelas coordenações sobre as quais ela
influi, mas cujas realizações atingem, a partir de um certo nível, tomadas de
consciência complexas.
A abstração reflexionante tem como suporte a abstração empírica que a subsidia na
obtenção de dados que se deseja conhecer dentro do que é observável; esta abstração
encarrega-se de eliminar as contradições por meio da reorganização. Deste ponto de vista, a
abstração empírica fornece os dados e a abstração reflexionante é estruturante.
Por meio da abstração reflexionante, o sujeito estabelece relação com o objeto como
comparar, quantificar etc., processando, pela experiência física ou matemática, a
aprendizagem. A modificação do objeto pelas ações e o seu enriquecimento por propriedades
retiradas das coordenações dessas ações são realizados por meio da chamada abstração
pseudo-empírica: “Trata-se aqui de um caso particular de abstração reflexionante” (PIAGET
et al., [1977], 1995, p. 274):
Trata-se, portanto, de uma experiência “lógico-matemática” que dá lugar a
um novo saber por abstração reflexionante. Entretanto, e isso é próprio da
abstração pseudo-empírica, os objetos da realidade constituíram um suporte
necessário às atividades do sujeito (MONTANGERO; NAVILLE, 1998, p.
94).
Ao resultado de uma abstração reflexionante, quando se torna consciente, chama-se
abstração “refletida”.
A abstração reflexionante consiste em dois momentos: o reflexionamento e a
reflexão. O reflexionamento tem o sentido de projetar, transpor a um patamar superior o que
é colhido do precedente; abstrai o significado, elevando-o a um nível superior. A reflexão é a
reconstrução mental do conhecimento já projetado, dando (re)significação do conhecimento
abstraído anteriormente.
Esse processo possibilita novas coordenações e a construção de estruturas novas, num
processo denominado de reflexionamento:
50
[...] nos níveis superiores, quando a reflexão é obra do pensamento, faz-se
necessário distinguir também seu processo enquanto construção de sua
temática retroativa, que se torna, então, uma reflexão sobre a reflexão:
falaremos neste caso de “abstração refletida” (réfléchie) ou de pensamento
reflexivo (réflexive) (PIAGET, et al., [1977], 1995, p. 6).
Na abstração reflexionante, a construção e reflexão atuam juntas por um processo de
tomada de consciência, ou seja, a abstração refletida é o resultado de uma abstração
reflexionante que se tornou consciente. Em função da existência de tomada de consciência,
essa abstração é denominada refletida. Quando uma abstração reflexionante torna-se
consciente, esta é uma abstração refletida, pois consiste na tomada de consciência, tornando
possível a constituição de sistemas lógico-matemáticos de cunho científico. A maior parte dos
conceitos lógicos e matemáticos deriva das abstrações reflexionantes, nas quais a abstração
empírica leva a constatação e a reflexionante leva a compreensão e conceituação; assim
ambas (empírica e reflexionante) se complementam.
A abstração reflexionante realiza generalizações construtivas e se apoia sobre as
operações, produzindo novas organizações estruturais; elabora sistemas, manifestando-se em
compreensão, pois as estruturas de ordem superior apresentarão propriedades novas (PIAGET
et.al., [1977], 1995).
A compreensão dos mecanismos de constituição do conhecimento equivale à
compreensão dos mecanismos envolvidos na formação do pensamento lógico-matemático,
retirado da experiência, com base nas ações do sujeito sobre os objetos e da coordenação
destas ações.
Conforme Becker (2003, p. 38), “Trata-se, portanto, de uma ação de segunda
potência”, cujo estabelecimento de relação é considerado por Piaget et al., ([1977], 1995) o
cerne do pensamento proposicional. Piaget ([1977], 1995, p. 28) corrobora tal ponto de vista,
ao definir que:
Toda esta evolução é dirigida por uma lei de equilíbrio entre as
diferenciações e as integrações, resultando as primeiras do processo de
“reflexionamento”, próprio das abstrações reflexionantes, que retira de um
nível inferior certas ligações, empregadas implicitamente ou simplesmente
implicadas, mas não notadas para as transformar em pensamento no nível
ulterior. As segundas resultam, então, da reflexão ou reorganização
necessária, sobre o novo plano, do sistema assim enriquecido pela
introdução destes objetos de pensamento não considerados até então. Esta
“reflexão”, segundo aspecto da abstração reflexionante, é, então,
necessariamente generalizadora. [...] Não se trata, portanto, somente de
relações indissociáveis da abstração e da generalização que determinam os
dois pólos do processo de equilibração, mas, de modo mais geral, dos pólos
da diferenciação e da integração.
51
No processo de abstração reflexionante, existe inter-relação entre dois movimentos
ou componentes indissociáveis: o “reflexionamento”, que projeta o que tem significado para
um patamar ou nível superior àquilo que foi retirado de patamar inferior ou nível precedente;
e a reflexão, “[...] ato mental de reconstrução e reorganização sobre o patamar superior
daquilo que foi assim transferido do inferior” (PIAGET et al., [1977], 1995, p. 274), de
maneira que a reflexão é a reconstrução ou reorganização cognitiva (consciente ou
inconsciente) em um novo plano realizado da apropriação anterior, daquilo que foi assim
transferido.
A abstração dá origem a essa sucessão de níveis hierárquicos por meio de interações
alternadas de reflexionamento, mas em relação tão íntima como o refinamento das relações,
que se constitui um só e mesmo mecanismo de conjunto. O reflexionamento e reflexão
formam patamares sucessivos de forma qualitativa e de grau, com reflexões sobre reflexões
precedentes de pensamento, constituindo sistemas lógico-matemáticos.
Este processo
contínuo possibilita novas reflexões sobre planos sucessivos de reflexionamento: “Cada ato
de abstração reflexionante comporta o deslocamento e a utilização de coordenações já em
ação no ponto de partida, mas com acréscimo de novas características resultantes de uma
construção, sob este aspecto, criadora” (PIAGET et al., [1977], 1995, p. 282). A abstração
reflexionante apoia-se sobre todas as atividades cognitivas do sujeito para delas retirar novos
caracteres e utilizá-los para outras finalidades:
[...] todo reflexionamento de conteúdos (observáveis) supõe a intervenção de
uma forma (reflexão), e os conteúdos assim transferidos exigem a construção
de novas formas devido à reflexão. Há, assim, pois, uma alternância
ininterrupta de reflexionamentos→ reflexõ es→ reflexionamentos; e (ou) de
conteúdos→ formas→ conteúdos reelaborados→ novas formas, etc., de
domínios cada vez mais amplos, sem fim e, sobretudo, sem começo absoluto
(PIAGET et al., [1977], 1995, p. 276).
A abstração reflexionante permite compreender o processo do pensamento como
produto de abstrações refletidas precedentes de formulação consciente. São reorganizações
mentais progressivas, aprimorando o conhecimento. Essa tomada de consciência pode
ocorrer em diversos níveis, visto que sempre que há tomada de consciência, trata-se de uma
variedade de abstração reflexionante a qual Piaget et.al. ([1977], 1995) denominam abstração
refletida: “Nesse caso, a reflexão consiste nessa tomada de consciência e em uma
possibilidade de formulação - na verdade, de formalização” (MONTANGERO; NAVIELLE,
1998, p. 94).
52
O conhecimento, para Piaget et. al. ([1977], 1995), constitui-se em função das ações
do sujeito, das coordenações de ações e tomadas de consciência que representam a
apropriação dos sujeitos das ações próprias. Gera significados à medida que se apropria
daquilo que fez, modificando sua estrutura e possibilitando a apreensão de conteúdos novos.
O sujeito estrutura a “realidade”, ou seja, seus objetos de conhecimento, à medida
que estrutura primeiramente as próprias ações e, a partir delas, suas conceituações. Na
tomada de consciência, a conceituação passa, decididamente, a determinadas ações que não
constituem uma simples leitura, mas, sim, “[...] uma reconstrução, e que induz características
novas sob a forma de ligações lógicas, com estabelecimento de conexão a compreensão e as
extensões” (PIAGET, [1973], 1978c, p. 208):
O estudo das relações entre saber-fazer e conceituação (ou ação e
pensamento) confirma que a ação é uma forma de conhecimento autônomo,
que pode se organizar sem tomada de consciência dos meios empregados. A
conceituação apresenta, assim, retardo sobre a ação e se faz por uma
reconstrução por vezes laboriosa, no plano do pensamento, do que foi
realizado no plano da ação. A tomada de consciência não consiste, portanto,
em iluminar o que escapava à consciência, mas antes em uma reconstrução
cujos resultados acabam por serem superiores ao conhecimento em ação. A
partir de um certo nível (Piaget menciona as idades de 11-12 anos), e para as
ações complexas, é a conceituação que dirige e programa as ações
(MONTANGERO; NAVILLE, 1998, p. 73).
A tomada de consciência é o processo pelo qual o sujeito passa a compreender suas
ações, ou ainda, as causas e os efeitos de tais ações; ocorre pela apropriação dos mecanismos
da própria ação, em sucessivas e progressivas coordenações de ações do sujeito; evolui de
forma gradativa, buscando esquemas (tomando-os como conteúdo) e aplicando-os em novas
situações (utilizando novas formas). Enquanto a tomada de consciência orienta-se para os
mecanismos centrais da ação do sujeito, o conhecimento do objeto orienta-se para suas
propriedades intrínsecas:
O que desencadeia a tomada de consciência é o fato das regulações
automáticas (por correções parciais, negativas ou positivas, de meios já em
atuação) não serem mais suficientes e ser preciso, então, procurar novos
meios mediante uma regulação mais ativa e, em conseqüência, fonte de
escolhas deliberadas, o que supõe a consciência. A tomada de consciência
não ocorre apenas por ocasião das inadaptações. Ela procede da periferia
para o centro. Definimos a periferia pela reação mais imediata e exterior do
sujeito em face do objeto: utilizá-lo em conformidade com um objetivo (o
que, para o observador, equivale a assimilar esse objeto a um esquema
anterior) e anotar o resultado obtido (PIAGET, [1974], 1977a, p. 198).
53
A tomada de consciência, conforme Piaget ([1974], 1977a), é o resultado de um
processo construtivo, baseado no repensar sobre o próprio pensamento, sobre as ações
efetuadas e relações estabelecidas. Ela reverte em uma nova construção de conceitos,
construídos a partir de significados. Dessa forma, desenvolve-se mediante regulações das
mais simples às mais complexas, até atingir a autorregulação a qual se caracteriza pela
consciência dos meio que levam à realização de uma ação ou operação. É entendida como
uma construção decorrente das relações com os objetos, sendo vista como “[...] passagem de
uma assimilação prática (assimilação do objeto a um esquema) a uma assimilação de
conceitos” (PIAGET, [1974], 1977a, p.200).
Neste sentido, para Piaget ([1974], 1977a), o processo de tomada de consciência
desenvolve-se de forma sucessiva e hierárquica em três níveis. O primeiro nível corresponde
diretamente à ação material, que, apesar de constituir um saber elaborado, ainda não tem
conceituação. Nesse nível, o sujeito interage com os objetos, registrando os observáveis
como resultados exteriores da ação por abstração reflexionante. O segundo nível já de
conceituação possibilita retirar, mediante a tomada de consciência, elementos da ação,
acrescentando elementos novos ao conceito. Ocorre o desenvolvimento material da ação com
a tomada de consciência das coordenações internas das ações, possibilitando o conhecimento
das propriedades menos imediatas dos objetos, resultante da abstração reflexionante. O
terceiro nível, o das operações formais, é considerado o das abstrações refletidas, que cresce
em importância. O processo de abstração refletida está conectado aos processos de tomada
de consciência, de fazer e compreender, bem como de generalização construtiva.
A tomada de consciência, por meio de uma ação ou operação concreta, possibilita,
mediante reflexão, projetar em um novo plano decorrente do precedente, generalizando e
superando as estruturas anteriores. A tomada de consciência das coordenações internas das
ações possibilita o conhecimento das propriedades menos imediatas dos objetos, resultantes
dos processos de abstração reflexionente. Dessa forma, Piaget ([1974], 1977a, p. 204) afirma
que “o mecanismo da tomada de consciência é um processo de conceituação que reconstrói e
depois ultrapassa, no plano da semiotização e da representação, o que era adquirido no plano
dos esquemas de ação”.
Para Piaget ([1974], 1977a), a tomada de consciência é atividade de reconstrução
com uma assimilação excepcionalmente nova que pode gerar ou não conflito, dependendo
das coordenações exigidas, requerendo ou não a correção de um esquema anterior. Ela não
ocorre de forma abrupta, demanda construções e reconstruções que podem garantir
conservação e mudança na estrutura cognitiva do sujeito. O nível de consciência alcança seu
54
grau mais elevado atingindo a conceituação.
Tomar consciência, portanto, é transformar um esquema em conceito, de idéias
explicitadas e reconstruir no plano das representações o que foi realizado no plano das ações,
organizar no plano do discurso o que assimila na ação.
Da mesma forma que o conhecimento está condicionado à tomada de consciência
que permite reconstruir o fazer em um novo patamar, a abstração refletida possibilita a
construção dos conceitos matemáticos. A compreensão depende desta maneira, das ações
físicas e dos reflexionamentos.
A aprendizagem é compreendida como um processo de construção do aluno e que se
efetiva por meio de uma prática ativa, desafiadora e propulsora de aprendizagem,
possibilitando a construção do conhecimento lógico-matemático, ou seja, da abstração
reflexionante.
2.5
Aprendizagem e a matemática
Segundo Piaget ([1964], 1980b), a aprendizagem é um processo que ocorre por meio
da acomodação das estruturas de pensamento, portanto a capacidade de aprender reside nessa
construção de estruturas que “não são dadas nos objetos, pois dependem de uma ação, e nem
no sujeito, pois o sujeito deve aprender como coordenar suas ações (PIAGET, [1969], 1980b,
p. 73). Nesse processo, existe uma busca em assimilar o objeto a ser conhecido e a
acomodação da capacidade assimiladora. Assim, a inteligência, para Piaget ([1969], 1980b),
não é entendida como a faculdade de saber, mas como conjunto de estruturas
momentaneamente adaptadas e, de acordo com este autor, “toda inteligência é uma
adaptação” (PIAGET, [1969], 1998, p. 162), uma vez que se relaciona com a aquisição de
conhecimento à medida que assume sua função de estruturar as interações sujeito-objeto. Tais
asserções orientam que a inteligência deve ser compreendida como algo que pode ser
construído e que não pode ser concebido como saber e modelo acabado, pronto e
incontestável, sem espaço para construção de conhecimento.
Demo (2004) ressalta que é preciso entender que a aprendizagem é um processo
reconstrutivo, que ocorre de dentro para fora, mas desencadeado por fatores externos e
internos, por meio do qual cada ser vivo se comunica e se informa em contato com a realidade
e faz disso uma ideia reconstruída. Somos, por consequência, biológica e culturalmente
capazes de perceber e reconstruir a realidade de formas diferentes.
55
Na obra, Aprendizagem e Conhecimento, Piaget e Greco ([1959], 1974, p. 54)
atribuem duas definições ao termo aprendizagem: no sentido restrito (s.str.) e no sentido
amplo (s.lat.). A aprendizagem no sentido restrito (s.str.) é adquirida em função da
experiência de forma mediata, de forma física e lógico-matemática. No sentido amplo, (s.lat.)
é definida como a união das aprendizagens, adquirida pela experiência de forma mediata, mas
ocorrendo ao mesmo tempo o processo de autorregulação: “[...] a união das aprendizagens
s.str. e desses processos de equilibração”.
A aprendizagem para Piaget e Greco ([1959], 1974) está subordinada ao
desenvolvimento, como um processo espontâneo ligado ao processo global da embriogênese.
Ela é responsável pelo desenvolvimento do corpo, do sistema nervoso e das funções mentais,
de contexto geral biológico e psicológico, relacionado com a totalidade de estruturas do
conhecimento, que só termina na vida adulta. Desta forma, as aprendizagens necessitam e
requerem a coordenação de ações, uma vez que apenas a experiência física é insuficiente para
a aquisição de estruturas operacionais, pois requer a intervenção de uma atividade lógicomatemática, baseada na coordenação de esquemas e de ações e não apenas na simples leitura
das propriedades físicas dos objetos.
Piaget e Greco ([1959], 1974) consideram que nem todo resultado adquirido pela
experiência constitui aprendizagem e esclarece o entendimento do termo: “reservar o termo
aprendizagem a uma aquisição em função da experiência, mas se desenvolvendo no tempo,
quer dizer, mediata e não imediata como a percepção ou a compreensão instantânea”
(PIAGET; GRECO, [1959], 1974, p. 53). A experiência, entretanto, não garante que o
resultado se constitua em aprendizagem. Quanto a este aspecto, podemos entender que Piaget
e Greco (1974), ao se referirem à inteligência e a sua evolução, declaram que ela não se
esgota na experiência mediata, mas que, com o processo de equilibração, assume a dimensão
do próprio desenvolvimento da estrutura cognitiva, atingindo, assim, o crescimento biológico
e intelectual do indivíduo.
Por este aspecto, o ponto essencial desta teoria, é de que o conhecimento resulta de
interações entre sujeito e objeto e que estas interações são mais ricas do que aquilo que os
objetos podem fornecer por eles mesmos (PIAGET; GRECO, [1959], 1974). Desta forma,
evidencia que o conhecimento não ocorre pelas informações que os objetos têm, mas pela
ação do sujeito sobre essas informações, transformando-as em conhecimentos; nessa relação
sujeito e objeto processa-se a construção do saber.
Considerando-se que a compreensão e o conhecimento estão relacionados à
56
assimilação de dados e às estruturas intelectuais, Assis (2012) argumenta que, para aprender
noções matemáticas, mesmo as elementares, dependemos consequentemente da formação de
estruturas mentais que possibilitem adquirir essas noções e operações. Logo, a assimilação
sem as estruturas lógicas adequadas comprometerá o desempenho e pode ser considerado um
fator que explica a grande dificuldade dos alunos em matemática:
[...] a aprendizagem dos conceitos matemáticos escolares depende das
estruturas cognitivas que o aluno possui. Sendo assim, não há compreensão
se os conteúdos programáticos, não puderem ser assimilados pelos alunos,
pois não correspondem às estruturas cognitivas de que ele dispõe (ASSIS,
2012, p.188).
Piaget ([1969], 1998) também se dedicou a estudar as dificuldades comuns das
crianças em matemática:
De maneira geral, existe uma impossibilidade para a criança, antes de cerca
de 10 anos, de compreender a natureza hipotético-dedutiva e não empírica da
verdade matemática: podemos, portanto, espantar-nos de que a pedagogia
clássica suponha sob este ponto de vista, aos alunos, uma maneira de
raciocinar que os gregos conquistaram com grande esforço depois de séculos
de aritmética e de geometria empírica. Por outro lado, as análises que
pudemos fazer de certos raciocínios simplesmente verbais mostram
igualmente a dificuldade de raciocínio formal antes dos 10-11 anos
(PIAGET, [1969], 1998, p. 167).
As palavras dessa citação de Piaget ([1969], 1998) confirmam que o conhecimento
matemático vai além da simples compreensão do que é o número e o cálculo, pois, de acordo
com este autor, a matemática é um “sistema de construções que se apóiam igualmente, nos
pontos de partida das coordenações das ações e das operações do sujeito, e procedendo por
uma sucessão de abstrações reflexionantes de níveis cada vez mais elevados” (PIAGET et al.
[1967], 1980a, p. 339). Considerando esta asserção, compreender a matemática implica
“buscar as conexões entre as estruturas matemáticas nascentes e operatórias do sujeito”
(PIAGET et al., [1967], 1980a, p. 338). Cardoso (2003) corrobora o ponto de vista
piagetiano, referindo-se às dificuldades em matemática e cita fatores interferentes,
relacionados ao período pré-operatório:
[...] da introdução da matemática formal bem antes da criança atingir a fase
de abstração, ou seja, da capacidade de operar exclusivamente com
símbolos. A carência conceptual dos objetos matemáticos, principalmente os
relacionados com a álgebra formal, a descontextualização dos conteúdos, são
algumas das barreiras encontradas no processo ensino-aprendizagem na
57
matemática, na maioria das vezes, descontextualizado, sem significação
alguma para a criança (CARDOSO, 2003, p. 14)
A Epistemologia Genética, no entanto, oferece-nos subsídios para perceber a
matemática como ciência acessível a todos, acrescentando que, para Piaget ([1948], 1984, p.
14), os fracassos escolares na área da matemática ocorrem devido à “passagem muito rápida
do qualitativo (lógico) para o quantitativo (numérico)”. Este autor, já na década de 50, ao se
referir ao ensino da "Matemática Moderna", já advertia prejuízos dessa prática:
[...] embora seja “moderno” o conteúdo ensinado, a maneira de o apresentar
permanece às vezes arcaica do ponto de vista psicológico, enquanto
fundamentada na simples transmissão de conhecimentos, mesmo que se
tente adotar (e bastante precocemente, do ponto de vista da maneira de
raciocinar dos alunos) uma forma axiomática (...). Uma coisa, porém, é
inventar na ação e assim aplicar praticamente certas operações; outra é tomar
consciência das mesmas para delas extrair um conhecimento reflexivo e,
sobretudo teórico, de tal forma que nem os alunos, nem os professores
cheguem a suspeitar de que o conteúdo do ensino ministrado se pudesse
apoiar em qualquer tipo de estruturas naturais (PIAGET, [1948], 1984, p. 16
e17).
Com relação às dificuldades de aprendizagem em Matemática, muitos estudos e
pesquisas já têm sido realizados a fim de apresentar estratégias e propostas de ensino que
utilizem tendências da Educação Matemática, bem como alternativas para repensar o
problema da aprendizagem dos alunos nas disciplinas relacionadas ao cálculo.
O ensino da matemática tem assumido papel de destaque, confirmado pela
problemática que envolve a aprendizagem desta ciência. Conforme Igliori (2009, p. 12), “é
fato indiscutível que é alto o percentual de estudantes de nível superior cujo desempenho na
aprendizagem da Matemática, em especial de cálculo, tem deixado muito a desejar”. Essa
problemática de aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial Integral incorre em altos
índices, comprovados pelas estatísticas de diversas Universidades, de reprovação e
desistências, muitas vezes relacionadas à falta de conhecimento da matemática básica.
A carência de conteúdos em matemática elementar contribui para as dificuldades e
para a não compreensão dos conceitos; segundo Lopes (1999), para o estudante aprender os
diversos métodos abordados no cálculo, é necessário que ele tenha alguns conhecimentos e
conceitos matemáticos básicos anteriores, pois o conhecimento matemático é em camadas que
se superpõem e requer, assim como a física, a utilização de certo tipo de raciocínio elaborado
que permite o desenvolvimento de habilidades de resolver problemas de maneira criativa.
Para isso, fazem-se necessários bons métodos de ensino.
58
Nasser (2009, p. 47) expressa assertivamente a problemática que envolve os alunos:
“Parece que os alunos chegam à Universidade com preguiça de raciocinar e que foram
acostumados apenas a aplicar algoritmos e fórmulas decoradas, sem saberem bem o que estão
fazendo e por que adotam determinado procedimento”. Comprova-se, assim, em todos os
âmbitos escolares, o porquê da dificuldade que os alunos apresentam na transposição dos
conceitos aprendidos a problemas do mundo real, ou seja, o ensino prevalece como expositivo
e memorístico, sem nenhuma relação entre a teoria e a prática.
Dessa forma, a dificuldade de aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral está relacionada a uma prática predominante da visão mecanicista do ensino básico e
às dificuldades de natureza epistemológica, na introdução dos primeiros conceitos abstratos.
Conforme Lopes (1999) existe a tendência nas áreas da ciência de uma matematização de leis,
regras e princípios, quantificados como forma de expressão determinística ou estatística dos
fenômenos que se deseja analisar; tendência esta que também sofre influências da forma
tradicional de ensino com que os conteúdos são abordados pela maioria dos docentes.
Da perspectiva de um processo de ensino-aprendizagem significativo e da produção
de conhecimento, é necessário que se estabeleça ao aluno um sistema de relações entre a
prática vivenciada e a construção e estruturação do vivido, sendo necessário, para isso,
desencadear um processo de ensino que valorize o “fazer matemático”, ou seja, o fazer com
compreensão.
A matemática tem sido uma disciplina difícil de ser ensinada e de ser aprendida em
virtude das exigências cognitivas que desencadeia, da demanda de necessidades de atenção,
memória e prática continuadas. Segundo Becker (1998), decompor o raciocínio matemático
revela os componentes do próprio pensamento e, portanto, transcende a compreensão do que é
o número e o cálculo. A sua aplicação em contextos diferentes daqueles em que foram
adquiridos exige domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, capacidade de análise e
abstração, ou seja, capacidades necessárias em todas as áreas de estudo. Faz-se necessário,
assim, uma aprendizagem significativa, estabelecendo relações entre conteúdo, método e
processos cognitivos, o que requer que o professor, além do domínio da matéria e do
mapeamento conceitual do conteúdo, identifique as modalidades de recursos cognitivos que
sejam manifestadas nas atividades.
As dificuldades com a matemática têm sido motivo de preocupação para
profissionais das mais diversas áreas educacionais, e várias pesquisas são desenvolvidas,
buscando-se alternativas para as dificuldades que podem ser atribuídas a diversos fatores
relacionados como, por exemplo, ao professor (metodologias e práticas pedagógicas); ao
59
aluno (causas orgânicas, psicológicas, comportamentais, emocionais); e a outros aspectos
relacionados à escola e à família. Conforme Sanchez (2004), as dificuldades na matemática
podem apresentar problemas de diversos âmbitos, tais como:
1. Dificuldades em relação ao desenvolvimento cognitivo e à construção da
experiência matemática; do tipo da conquista de noções básicas e princípios
numéricos, da conquista da numeração, quanto à prática das operações
básicas, quanto à mecânica ou quanto à compreensão do significado das
operações. Dificuldades na resolução de problemas, o que implica a
compreensão do problema, compreensão e habilidade para analisar o
problema e raciocinar matematicamente.
2. Dificuldades quanto às crenças, às atitudes, às expectativas e a fatores
emocionais acerca da Matemática.
3. Dificuldades relativas à própria complexidade da Matemática, como seu
alto nível de abstração e generalizações, a complexidade dos conceitos e de
alguns algoritmos; a natureza lógica exata de seus processos; a linguagem e
a terminologia utilizadas.
4. Podem ocorrer dificuldades mais intrínsecas, como bases neurológicas
alteradas. Atrasos cognitivos generalizados ou específicos. Problemas
lingüísticos que se manifestam na Matemática; dificuldades atencionais e
motivacionais, dificuldades na memória, etc.
5. Dificuldade originada no ensino inadequado ou insuficiente seja porque a
organização do mesmo não está bem seqüenciada, ou não se proporcionam
elementos de motivação suficientes; seja porque os conteúdos não se ajustam
às necessidades e ao nível de desenvolvimento do aluno, ou não estão
adequados ao nível de abstração, ou não se treinam as habilidades prévias;
seja porque a metodologia é muito pouco motivadora e muito pouco eficaz
(SANCHEZ, 2004, p. 174-175).
Lacaz et al. (2007), por sua vez,
apresentam outros aspectos observados nos
acadêmicos que cursam a disciplina de Cálculo Diferencial Integral:
Não demonstram familiaridade no tratamento dos números reais e das
funções elementares; não têm desenvolvidas estruturas cognitivas
relacionadas à interpretação da linguagem matemática e à compreensão de
conceitos que são estruturantes para o desenvolvimento de outros que
surgirão ao longo do estudo universitário; revelam dificuldades de reflexão,
investigação, exploração e principalmente de dedução; memorizam a
técnica, o que é exigido para a aprovação no vestibular, mas não incorporam
o significado dos conceitos, e sendo assim apresentam grandes dificuldades
em se adaptar ao sistema de ensino universitário, resultando em grandes
falhas no seu desempenho, principalmente na execução de tarefas mais
abertas que venham a ser solicitadas pelos professores, como por exemplo, a
resolução de problemas (LACAZ et al., 2007, p. 7).
Não são novos os problemas, em todos os níveis, decorrentes do ensino da
matemática; estes se apresentam de forma variada e com grau de complexidade distinta e
difíceis de serem resolvidos.
60
Como disciplina obrigatória nos currículos escolares, a matemática tem o
compromisso de desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar,
projetar etc., no entanto se constata no meio universitário, o ingresso de estudantes com
deficiências na formação escolar anterior, ou seja, falhas quanto ao conhecimento de
matemática do ensino básico as quais dificultam o acompanhamento das disciplinas iniciais, a
exemplo do Cálculo Diferencial Integral - CDI, comprometendo e dificultando o
acompanhamento das matérias que compõem os currículos básicos dos primeiros anos da
formação do acadêmico. Assim, essas lacunas não superadas se multiplicam ao longo do
curso, gerando outros problemas que comprometem a qualidade do profissional formado.
Neste contexto, relatamos, na sequência, demais aspectos e preocupações com relação à
aprendizagem de cálculo dos cursos de Engenharia.
Com relação aos aspectos da aprendizagem na área da matemática e que envolvem
professores, Cury (2001) observa que aqueles que lecionam disciplinas matemáticas em
cursos da área de ciências exatas são, de modo geral, bacharéis ou licenciados em
Matemática, com pós-graduação em Matemática pura ou aplicada; uns com mestrado e
doutorado em educação ou em educação matemática. Apesar disso, o referido autor evidencia
a pouca preocupação com a formação do professor dessa área em um ensino tradicional e
descontextualizado, de aprendizado baseado na exercitação e memorização. Outros autores
justificam as dificuldades pela concepção de ensino e aprendizagem dos professores, de modo
que a matemática é concebida como um acúmulo de conhecimentos sistematicamente
hierarquizados, reforçando um sistema didático conservador e conteudista. Neste sentido, fica
difícil resgatar todos os conceitos necessários para o aprendizado da disciplina, especialmente
diante de práticas pedagógicas tradicionais.
A prática educativa tradicional, de visão fragmentada da realidade, não possibilita
epistemologicamente a construção de estruturas cognitivas que levam ao conhecimento e
possibilitam a aprendizagem, pois o aprendizado só se consolida se o estudante desempenhar
papel ativo de construir o próprio conhecimento e experiência, com orientação e participação
do professor. No que tange ao aprendizado dos alunos, Lacaz et al. (2007) observam dois
paralelos distintos entre o que o aluno deveria ter aprendido até o final da educação básica
com o que se espera que ele tenha aprendido ao chegar à Universidade:
Sabemos da nossa experiência, que grande parte dos alunos inicia a
disciplina com falhas quanto ao conhecimento de matemática do ensino
básico. Não demonstram familiaridade no tratamento dos números reais e
das funções elementares; não têm desenvolvidas estruturas cognitivas
61
relacionadas à interpretação da linguagem matemática e à compreensão de
conceitos que são estruturantes para o desenvolvimento de outros que
surgirão ao longo do estudo universitário; revelam dificuldades de reflexão,
investigação, exploração e principalmente de dedução; memorizam a
técnica, o que é exigido para a aprovação no vestibular, mas não incorporam
o significado dos conceitos, e sendo assim apresentam grandes dificuldades
em se adaptar ao sistema de ensino universitário, resultando em grandes
falhas no seu desempenho, principalmente na execução de tarefas mais
abertas que venham a ser solicitadas pelos professores, como por exemplo, a
resolução de problemas (LACAZ et al., 2007, p. 7).
Conforme Barbosa (2004) a dificuldade com essa disciplina está prioritariamente
centrada no próprio aluno que vem imaturo e com deficiência de conhecimentos para a
Universidade. Diante dessas falhas do Ensino Fundamental e Médio, torna-se difícil mudar o
quadro de reprovação.
Saravali (2005b) relata que uma explicação comum por parte dos universitários
quanto ao problema de aprendizagem em cálculo é a falta que eles têm do domínio de certos
conceitos fundamentais; no entanto, para além disso, existem outros aspectos que são
colocados como interferentes como, por exemplo, características que requerem um tipo de
raciocínio presente na estrutura operatório-formal:
O pensamento operatório formal surge, desde logo, como condição
necessária, embora não suficiente, para a elaboração dessas novas formas de
pensamento e para a assimilação dos conhecimentos que estas permitem
elaborar. Por outras palavras, para assimilar os conhecimentos científicos
elaborados no decurso da sociogênese, é necessário dispor das estruturas
próprias do pensamento operatório formal (LEGENDRE, 1998, p. 183).
Conforme Saravali (2005a), várias pesquisas realizadas com universitários indicam
que boa parte deles não se encontra ainda no nível formal, não tendo, portanto, estruturas para
lidar com os conteúdos previstos no nível de ensino em que se encontram. Torna-se
fundamental, desse modo, considerar as dificuldades por fatores cognitivos que, muitas
vezes, passam despercebidas pelos educadores, seja por desconhecimento da psicologia do
desenvolvimento e dos processos cognitivos, seja por não se perceber relação disso com a
aprendizagem. Os conhecimentos científicos de Piaget fornecem fundamentos que permitem
compreender o processo de construção do conhecimento e construir modelos aplicáveis que
possibilitam, em qualquer ambiente e cultura, entender e explicar o funcionamento das
estruturas mentais orgânicas e a lógica operatória.
Analisando a dificuldade do ponto de vista cognitivo, Assis (2012) afirma que os
acadêmicos recorrem à memorização dos conteúdos e ao consequente não desenvolvimento
62
do raciocínio. Por isso, a autora considera necessário adequar processos de ensino e
atividades escolares ao nível de estruturação cognitiva e intelectual, bem como de
conhecimentos anteriores, para o êxito no processo de aprendizagem, tendo em vista que o
fracasso escolar em cálculo poderá estar relacionado à construção de estruturas do
pensamento que possibilitam o domínio dos conceitos básicos que favoreçam o aprendizado.
A atividade do sujeito com o objeto de conhecimento baseia-se no norteamento da
construção do conhecimento, por isso, na aprendizagem, ocorre um processo operativo, que
implica ação cognitiva e transformação do real, considerando-se a evolução mental e a
disponibilidade de estruturas lógicas para compreensão, sendo que a disponibilidade desses
instrumentos cognitivos é vista como condição para o aprendizado:
O caráter abstrato dos estudos matemáticos surpreende o principiante nos
primeiros contatos com o mundo das idéias e representações, desprovidos
das particularidades das coisas materiais. Apesar de a matemática ser
utilizada e estar presente na vida diária, exceto para quem já compartilha
deste saber, as idéias e os procedimentos matemáticos parecem muito
diferentes dos utilizados na experiência prática ou na vida diária (BICUDO,
1999, p. 162).
Várias são as críticas de Piaget (1984) referente ao processo de ensino-aprendizagem
da matemática nas escolas tradicionais, dentre elas, o autor cita acúmulo de informações,
pouca experimentação, passividade dos alunos, altos índices de reprovação em matemática e
grande dificuldade no estabelecimento de relações lógicas nas aulas de matemática observada
nos alunos.
O autor defende também a capacidade de todo aluno em ter um bom raciocínio
matemático, reforçando a importância do método de ensino-aprendizagem a ser desenvolvido
pelo professor. Considera que as dificuldades, de forma geral, podem resultar de métodos
inadequados de ensino, que devem se ajustar aos dados psicológicos do desenvolvimento.
Entende-se, dessa forma, a necessidade de compreender a maneira como as estruturas lógicomatemáticas se constroem no pensamento da criança, para possibilitar a aprendizagem delas
em todos os níveis. Neste sentido, Piaget ([1973], 1978c) propõe um método ativo que
permite ao sujeito agir sobre os objetos e transformá-los:
[...] o triste paradoxo que nos apresenta o excesso de ensaios educativos
contemporâneos é querer ensinar matemática moderna com métodos na
verdade arcaicos, ou seja, essencialmente verbais e fundados exclusivamente
na transmissão mais do que na reinvenção ou na redescoberta pelo aluno
(PIAGET, [1973], 1978c, p. 221).
63
Fica evidente, dessa maneira, a necessidade da realização de um trabalho
diferenciado que contribua para a superação das dificuldades de aprendizagem e, neste
contexto, a abordagem tradicional, passiva, conteudista, de conteúdo pronto e acabado, não
possibilita o estímulo e uso do pensamento, do raciocínio e da reflexão e também não
favorece a construção de conhecimento. É fundamental, então, que a educação potencialize e
favoreça a construção de estruturas intelectuais, considerando a necessidade da ação para a
construção do conhecimento.
A teoria psicogenética, portanto, por proporcionar elementos que possibilitam
princípios metodológicos sobre os quais se deve basear o ensino, tem servido de inspiração e
incentivo para aplicação da teoria piagetiana à atividade pedagógica. Iniciativas como
reformulação de métodos de ensino para o diagnóstico e tratamento de dificuldades de
aprendizagem são possíveis, a partir da compreensão mais ampla do desenvolvimento
intelectual.
Uma Pedagogia inspirada na Epistemologia Genética envolve, segundo Franco
(1998), uma ação docente problematizadora: “Isto significa que o professor está ali para
organizar as interações do aluno com o meio e problematizar as situações de modo a fazer o
aluno, ele próprio construir o conhecimento sobre o tema que está sendo abordado”
(FRANCO, 1998, p. 56). Destarte, o processo educacional tem papel importante ao provocar
situações que sejam desequilibradoras para o aluno e adequadas ao desenvolvimento mental
dele, de forma a permitir a construção progressiva de conhecimentos e, ao mesmo tempo,
oportunizar que ele viva intensa, intelectual e afetivamente, cada etapa de seu
desenvolvimento. Em função do exposto anteriormente, recorremos, mais uma vez, a Piaget
([1973], 1973b) que propõe um ensino matemático que ressalte situações concretas:
O papel inicial das ações e das experiências lógico-matemáticas concretas é
precisamente de preparação necessária para chegar-se ao desenvolvimento
do espírito dedutivo, e isto por duas razões. A primeira é que as operações
mentais ou intelectuais que intervém nestas deduções posteriores derivam
justamente das ações: ações interiorizadas, e quando esta interiorização,
junto com as coordenações que supõem, são suficientes, as experiências
lógico matemáticas enquanto ações materiais resultam já inúteis e a dedução
interior se bastará a si mesmo. A segunda razão é que a coordenação de
ações e as experiências lógicas matemáticas dão lugar, ao interiorizar-se, a
um tipo particular de abstração que corresponde precisamente a abstração
lógica e matemática (PIAGET, [1973], 1973b, p. 46).
Num ensino que toma como referência a perspectiva piagetiana, oposta à pedagogia
64
tradicional, educar não é transmitir e impor conhecimentos produzidos e estruturados
externamente ao sujeito cognoscente, mas, sim, propiciar o desenvolvimento da inteligência
do aprendiz. É aproveitar da construção de estruturas que tornem possível a compreensão da
realidade por parte do aluno. O ensino tradicional que favorece a memorização compromete o
sucesso escolar; portanto, de acordo com Piaget ([1948], 1984, p. 16), “será preciso proceder
a uma revisão dos métodos e do espírito de todo ensino [...]”. Cabe à escola, em vista disso,
repensar os processos de ensino e de aprendizagem, considerando os processos inerentes à
construção do conhecimento.
As instituições de ensino devem, por conseguinte, no seu processo educativo,
possibilitar estratégias de ação, a reinvenção e a descoberta, mediante atividade livre e
espontânea:
Em resumo, o princípio fundamental dos métodos ativos só se pode
beneficiar com a história das ciências e assim pode ser expresso:
compreender é inventar, ou reconstruir através da reinvenção, e será preciso
curvar-se ante tais necessidades se o que se pretende, para o futuro, é
moldar indivíduos capazes de produzir ou de criar, e não apenas repetir
(PIAGET, [1948], 1984, p. 20).
Os educadores precisam estar cientes do fato de que todas as experiências devem ser
organizadas e inter-relacionadas a partir da atividade do indivíduo, para que não se reduza a
mudanças momentâneas as informações provisórias que se perdem por falta de compreensão
real. Deve-se, assim, levar em consideração as modificações de pensamento decorrente da
própria evolução mental e da disponibilidade das estruturas lógicas para a compreensão,
possibilitando a aprendizagem, tendo em vista que a disponibilidade desses instrumentos
cognitivos é condição para o aprendizado:
[...] descobrir maneiras psicologicamente corretas para se ensinar os
conteúdos escolares, significa romper com o ciclo de transmissão de
informações e de conhecimentos e estimular a ação do sujeito a fim de
proporcionar uma tomada de consciência sobre sua própria ação e uma
reflexão qualitativamente melhor que as anteriores (PIAGET, [1948], 1984,
p. 17).
Para Piaget (1998) “[...] o objetivo principal do ensino é desenvolver a inteligência e,
sobretudo, aprender a desenvolvê-la o mais longamente possível” (PIAGET, [1969], 1998, p.
8).
65
O ato de ensinar matemática não deve, portanto, estar descontextualizado da
formação de estruturas cognitivas necessárias à aprendizagem dos conceitos matemáticos,
assim como do resgate dos saberes matemáticos mínimos necessários. Para tanto, exige-se
uma proposta de trabalho diferenciada que também privilegie o sentido da matemática.
Antunes (2010) refere que esse aprendizado não é privilégio de poucos e, mesmo com
dificuldades, ele é possível, se transformarmos os alunos em “Caçadores de curiosidade”.
Freire (1999), por sua vez, assevera que a capacidade de aprender deve ser exercida
criticamente, pois, para ele, o ensinar não significa apenas transferir conhecimento, mas criar
possibilidades para a produção e construção de conhecimento. Este autor reforça, assim, a
importância de uma relação dialógica entre aluno e aquisição de conhecimento, que seja
aberta, curiosa, indagadora e não apassivada, além de se adotar uma metodologia que desafie
o raciocínio e facilite a aprendizagem do aprendiz, despertando o interesse dele pela
satisfação da necessidade.
66
3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Pesquisas no âmbito do desenvolvimento cognitivo e desempenho na matemática
As Universidades brasileiras têm enfrentado inúmeras dificuldades no que tange
ao ensino da matemática nos cursos de Ciências Exatas, especialmente nas Engenharias,
pelos elevados índices de reprovação e evasão, principalmente nos anos iniciais dos cursos.
As dificuldades de aprendizagem em matemática vêm se constituindo em uma
grande preocupação, especialmente para os envolvidos no processo educativo, nas Instituições
de Ensino Superior (IES) do país. Esta problemática tem se tornado um desafio e, ao mesmo
tempo, corresponde a um agente motivador para a intensificação de pesquisas no meio
científico. Desta perspectiva, esta área educacional já tem um percurso de estudos, pesquisas,
investigações e publicações bem delimitados e que vêm aumentando gradativamente em
vários âmbitos: cognitivo, sociocultural, educacional, biológico e afetivo. Diferentes linhas de
pesquisa têm embasado a teoria e a prática nessa área de conhecimento e, em razão da
particularidade de contexto, as diferentes discussões sobre esse tema remetem a várias
análises, inclusive sobre a qualidade de ensino nos níveis fundamental, médio e superior.
A preocupação em compreender os processos e as dificuldades que afetam a
aprendizagem é um problema complexo, pois este se manifesta em diversas áreas, por
diferentes causas, levantando, assim, a questionamentos em busca de respostas com relação à
origem e à explicação do fracasso escolar.
A educação matemática, tem se ocupado de pesquisas buscando problemas
relacionados ao ensino e aprendizagem da matemática, entre elas estudos baseados em teorias
baseadas no desenvolvimento cognitivo e formação do pensamento, inclusive o matemático.
Nesse universo da educação matemática, a disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral tem motivado as pesquisas nessa área, por ser a que mais reprova praticamente em
todas as instituições de ensino superior e cujos índices têm prejudicado o rendimento e
causado o atraso no curso universitário.
Barufi (1999), mediante pesquisa nos cursos de graduação da Universidade de São
Paulo - USP, revelou dados da realidade do ensino de Cálculo Diferencial Integral, no período
de 1990 a 1995, mostrando índices de 43,8% de reprovação e desistência; índice este elevado
que comprovou que a mesma realidade acontece também na Escola Politécnica. Observou que
67
mesmo em instituições onde a disciplina de Cálculo Diferencial Integral está mais adaptada à
realidade local, essa realidade se faz presente da mesma forma.
Rezende (2003) também apontou problemáticas de reprovação nas Universidades
Fluminenses (UFF), revelando variações de índices de reprovação entre 45% a 95%, sendo
que o curso de Matemática alcança índices de 65%. Da mesma forma, Pereira (2009) revela
índices elevados de reprovação na Universidade Federal do RJ os quais até o ano de 2005
atingem taxas de 73%. No curso de Matemática, representam 58%; na Química, Geologia,
Astronomia e Metereologia, 54% em 2005, sendo que na Engenharia o índice é um pouco
menor comparativamente, representando 42%.
Rezende (2003) constata que as raízes dessa problemática estão além dos métodos e
técnicas e ratifica que o único lugar-matriz das dificuldades de aprendizagem de natureza
epistemológica do ensino do cálculo está na omissão das ideias básicas e dos problemas
construtores do cálculo, considerados a principal fonte dos obstáculos epistemológicos que
surgem no Ensino Superior. Para o autor, o cálculo é importante para a construção e para a
evolução do próprio conhecimento matemático.
Conforme Reis (2010 os professores alegam categoricamente que estas são
resultantes principalmente da má formação no 1º e 2º anos do ensino fundamental, com
alunos sem domínio de conceitos básicos, capacidade crítica e hábito de estudo. Da mesma
forma Reis (2010) investigando sobre a visão dos acadêmicos em relação ao baixo
desempenho e dificuldades em Cálculo, constata que a acentuada dificuldade é justificada
pela falta de aplicação nos estudos, bem como a monotonia das aulas, insegurança e forma de
explicação do professor. Essa realidade faz com que muitas respostas a essa problemática
sejam observadas com base nas pesquisas.
Nascimento (2000) também afirma que a construção da base conceitual para o
aprendizado do Cálculo Diferencial Integral se inicia no Ensino Fundamental e, se não
construída, tenderá a agravar-se no Ensino Médio. Portanto, a metodologia adotada nos dois
segmentos possui diferenças gritantes em relação aos cursos superiores, impedindo, assim,
que a base conceitual seja desenvolvida e dificultando sua recuperação. Reafirma que a
principal crença sobre a causa para a dificuldade na disciplina é a falta de base dos alunos, a
diferença metodológica entre o 2 grau e o curso superior e as dificuldades características
dessa disciplina.
Da mesma forma temos pesquisas com enfoques de investigação revelando fatores
interferentes como: problemas relativos ao alto grau de abstração e idéias complexas
(CATAPANI, 2003 apud BALDINO, 1995; BARBOSA, NETO, 1995; FRANCHI, 1993, SAD
68
1998, BALDINO 1995, disciplina trabalhada em ritmo acelerado e com aulas muito reduzidas; no
campo pedagógico, a didática de ensino que se revela de modo conservadora, implicando numa
prática conservadora na qual o aluno é mero espectador, numa posição passiva (CATAPANI,
2001)
A pesquisa realizada por Flemming, Luz e Coelho (2000) constatou defasagens de
conteúdos básicos de ingressantes no ensino superior, fazendo com que os autores criassem
um projeto de ensino extraclasse como estratégia de apoio aos estudantes. Doering et al
(2004), por sua vez, vivenciaram a criação do Programa de Pré-Cálculo, numa Universidade
federal, buscando reduzir o desnível de conhecimento do Ensino Médio, a fim de se
conseguir um bom desempenho no cálculo. Da mesma forma, Barbosa (2004) vivenciou a
implementação de uma disciplina de Pré-Cálculo, em uma Universidade pública, que,
embora comprovadamente importante, não tenha sido devidamente valorizada pelos
acadêmicos por motivo variados.
Araújo e Moreira (2005) realizaram pesquisas na área de monitoria de cálculo e
afirmam a importância desta em função da defasagem em nível de educação básica dos
alunos, da carência de habilidades de interpretar a linguagem matemática, ou seja, sabem a
técnica, mas não o significado dos conceitos.
Cury (2003) investigou erros matemáticos cometidos em questões de prova, em geral,
os discentes não dominam conteúdos de álgebra, trigonometria e geometria do ensino básico.
Esse problema, somando-se a dificuldades de abstração e generalização, também coopera para
a reprovação e repetência em disciplinas matemáticas de tais cursos. As dificuldades que
afetam a aprendizagem são problemas complexos, pois se manifestam em diversas áreas, por
diferentes causas, levantando, assim, questionamentos em busca de respostas com relação à
origem e à explicação do fracasso escolar.
Murta e Máximo (2004, p. 8), referindo-se ao ensino da matemática nas IES,
afirmam que “padece o mesmo mal: a falta de conexão entre o que é estudado em sala de aula
com a realidade do aluno”. Neste contexto, Gomes, Lopes, e Nieto (2005), com base em
pesquisas com o cálculo na Universidade, concluem: “é certo que uma reforma deveria ser
iniciada nos ensino fundamental e médio, no entanto, esse aluno está chegando ao curso
superior e nós, professores universitários não podemos enviá-lo de volta” (p.7). Em vista
desta problemática na disciplina, muitas pesquisas têm sido realizadas, buscando reduzir as
dificuldades intrínsecas quanto à disciplina em questão, com dois propósitos: o de
investigação e de correção das deficiências. Nesse sentido, as pesquisas no âmbito da
educação matemática envolvem diversos aspectos como, por exemplo, causas e possíveis
69
soluções; déficits de aprendizado; adaptação ao grau superior; nivelamento; concepções de
dificuldades de aprendizagem; aspectos teóricos, metodológicos e curriculares com alunos e
professores; concepções de professores sobre a matemática; e seu ensino e de fatores
associados ao insucesso.
Curi et al. (2008) investigaram, por meio de estudo de caso, os índices de repetência
de acadêmicos da Universidade Federal de Campina Grande- PB, mediante questionário
semiestruturado, aplicado aos alunos repetentes no primeiro período, nas disciplinas que, por
levantamento prévio, tiveram um maior número de reprovações.Relatam algumas
dificuldades encontradas no inicio dos cursos de Engenharia na visão dos alunos. Constatam
que a disciplina com um maior índice de reprovação foi Cálculo I, com 79%, no curso de
Engenharia de Minas; e 57%, no curso de Engenharia Civil e Agrícola. Participaram,
também, acadêmicos reprovados em Álgebra Vetorial e em Química geral nas quais também
havia um elevado índice de reprovação. Os autores constataram que o alto nível de repetência
é reflexo da difícil adaptação à vida acadêmica o que demonstra uma necessidade de mudança
tanto da instituição quanto dos discentes para melhor aproveitamento na disciplina. As
principais dificuldades citadas para o não aprendizado do Cálculo são atribuídas aos seguintes
fatores: falta de conhecimentos necessários ao acompanhamento das disciplinas que
deveriam ter sido adquiridos durante o Ensino Médio; dificuldade de adaptação à diferente
metodologia de ensino; ritmo acelerado que as disciplinas na Universidade impõem; alto nível
dos conteúdos ministrados; quantidade de assuntos que deve ser absorvida em um espaço de
tempo relativamente curto; e a dificuldade em relacionar-se com o professor. Os professores
alegam que as dificuldades coincidem e são geradas pelos mesmos motivos em todas as
disciplinas, ou seja, “a total falta de conhecimento dos conteúdos de graus anteriores” e um
sentimento enorme imediatista dos alunos o que os faz sucumbir ao encontrar a primeira
dificuldade.
Dentre as principais dificuldades apontadas pelos alunos para o aprendizado,
destacam-se a falta de conhecimentos adquiridos no Ensino Médio; dificuldade de
adaptação às diferentes metodologias de ensino; ritmo acelerado nas disciplinas; dificuldade
de organização do tempo livre; falta de estímulo para o estudo; falta de afinidade com as
disciplinas; relação aluno/professor, com dificuldades de relacionamento; alto nível dos
conteúdos ministrados; quantidade de assuntos desenvolvidos, aliada ao espaço de tempo
curto. Curi et al. (2008) alegam ainda que, na opinião dos professores, a decadência das
escolas fundamental e média, implica na falta de conhecimento básico necessário para o
entendimento do que será visto no ensino superior.
70
Buscando saber como os acadêmicos absorvem e entendem os conteúdos de
matemática, Reis et al.(s/d), comprovaram, em uma pesquisa com acadêmicos da Pedagogia
da rede privada, municipal e estadual, que a maioria não entende a linguagem do professor,
sugerindo que os docentes devam ser mais dinâmicos na metodologia utilizada.
Pascual e Nascimento (2010), em um estudo sobre as estruturas cognitivas formais,
decorrente de uma pesquisa realizada com estudantes do ensino médio em escolas públicas,
tecem uma reflexão sobre as condições de acesso à Universidade pública. Realizaram um
estudo debruçado sobre o desenvolvimento de estruturas cognitivas formais como
instrumentos psicológicos para a aprendizagem e o domínio de conhecimentos específicos
exigidos aos candidatos por ocasião do vestibular, valendo-se da matriz epistemológica
genética na análise de conteúdos. Defenderam, neste estudo, que o desenvolvimento de
estruturas cognitivas formais se torna tão importante quanto os conteúdos das disciplinas
para o sucesso no vestibular. Afirmaram, ainda, que estudantes que analisam as questões
mediante estruturas cognitivas formais desenvolvidas concorrem ao vestibular com mais
sucesso, mantendo igualdade de conhecimentos nos conteúdos.
Partindo desse mesmo princípio, Rossetti et al. (2012) tiveram como proposta de
estudo a verificação da possibilidade de estabelecer relações entre o desenvolvimento de
certas noções operatórias, metacognição e dificuldades de aprendizagem, em universitários
matriculados em cursos da área de exatas. Foram entrevistados cinco estudantes de
Engenharia de uma instituição pública de ensino superior do Espírito Santo. Todos
frequentavam um programa de reforço escolar de uma das disciplinas básicas do núcleo
comum das Engenharias e tinham como queixa a dificuldade de aprendizagem. A estes, foi
aplicada a prova de flutuação de corpos, uma prova de correlação, e uma entrevista
semiestruturada.
Realizou-se, também, uma análise do conteúdo tanto das provas quanto das
entrevistas, por meio de uma adaptação das metodologias de análise já utilizadas e baseadas
nos princípios da epistemologia genética. Os resultados indicaram, entre outros, que
nenhum dos participantes atingiu o nível mais elevado nas respostas, que equivaleria à
aplicação plena do raciocínio operatório formal o que poderia justificar as dificuldades
acadêmicas enfrentadas pelos participantes. Por outro lado, foi muito marcante a relativa
ausência ou pouca variedade de estratégias de aprendizagem mencionadas pelos
universitários pesquisados.
Da mesma forma, o estudo de Cantelli et al. (2005) tinha como objetivo a análise do
desenvolvimento intelectual de alunos da Educação de Jovens e Adultos brasileiros, maiores
71
de 16 anos. O nível de estruturação intelectual em que se encontravam os sujeitos foi
determinado pelas provas piagetianas para diagnóstico do pensamento operatório concreto e
formal. Como instrumentos de pesquisa para amostra, foram utilizados questionários para
avaliação do perfil socioeconômico dos sujeitos e, para determinar o nível intelectual, foram
utilizadas seis provas piagetianas para o diagnóstico do pensamento operatório: prova das
abstrações, diferenciações e integrações no emprego das operações aritméticas elementares;
prova do equilíbrio da balança; prova das relações entre superfícies e perímetros dos
retângulos; prova da frequência das oscilações do pêndulo; prova da conservação de volume,
prova da combinatória. Dos 77 sujeitos estudados, 5 não são operatórios; 35 encontram-se
no estágio operatório concreto; 32 em transição do operatório concreto para o operatório
formal; e 5 no início do estágio operatório formal.
Considerando-se que a amostra era constituída de sujeitos com idade maior ou igual
a 16 anos, idade que corresponde ao estágio de desenvolvimento operatório formal, este
estudo considerou que: estariam em atraso no desenvolvimento, os sujeitos cujos níveis de
desenvolvimento intelectual estivessem situados entre o estágio pré-operatório até o
operatório concreto. Por outro lado, foram considerados não atrasados aqueles que se
encontrava em transição entre o operatório concreto e o operatório formal. Por se tratar de
jovens e adultos, tanto os níveis correspondentes ao período pré-operatório como os do
período operatório concreto foram considerados como reveladores de atraso no
desenvolvimento intelectual destes alunos.
A problemática da reprovação foi pesquisada também por Sousa (2012), nos
cursos de Engenharia na Universidade Federal do Vale do São Francisco, e cujo objetivo
consistiu em analisar a relação entre desenvolvimento cognitivo na construção do raciocínio
matemático e reprovação nas disciplinas da área básica dos cursos de Engenharia das
Univasf. Os participantes foram 37 estudantes de Engenharia das disciplinas Cálculo I,
Física e Geometria Analítica, bem como 5 professores destas disciplinas. Os dados
referem-se ao período de 2009 a 2010, obtidos no campus Univasf de Juazeiro-BA, sendo
utilizadas entrevistas com os estudantes e professores; aplicação das provas piagetianas
(flutuação de corpos e do pêndulo) e entrevistas com discentes e docentes.
As categorias de análise foram os níveis de desenvolvimento cognitivo; desempenho
dos estudantes nas disciplinas básicas e nas provas de raciocínio; conceitos, habilidades e
dificuldades na área de matemática; processo ensino-aprendizagem e suas relações, cujos
dados foram analisados numa abordagem quanti-qualitativa. Os resultados apontaram que os
estudantes aprovados tiveram os melhores desempenhos nos raciocínios espacial, numérico e
72
abstrato; já os reprovados se classificaram como medianos, acrescentando o raciocínio
mecânico.
Fernandes Filho (1997) desenvolveu um estudo com o objetivo de identificar
os principais motivos que ocasionam o baixo nível de acadêmicos nas disciplinas de
Cálculo Diferencial Integral e Geometria Analítica, nos Cursos de Engenharia Civil e
Engenharia Sanitária, tendo como princípio o estudo da influência do nível de
desenvolvimento cognitivo ou intelectual. Para atingir seu objetivo, utilizou como
instrumento um questionário socioeconômico-cultural dos alunos, a fim de permitir
conhecer o que pensavam, além de provas operatórias baseadas na teoria de Piaget, para
diagnosticar o nível de desenvolvimento mental.
O universo da pesquisa consistiu em 156 alunos ingressantes no ano de 1996.
Destes, 123 de Engenharia Civil; e 33 de Engenharia Sanitária. Os resultados revelaram
que os principais motivos do alto índice de reprovação nestas disciplinas são: o baixo
nível cognitivo dos alunos ingressantes que, segundo o estudo, encontram-se no período
intermediário entre o operatório concreto e formal. Fernandes Filho (1997, p. 87) afirma:
“para definir os fatores que influenciam o alto grau de reprovação, encontrei na Teoria
de Piaget, respostas para as minhas dúvidas”. Ainda, conforme o autor, “o docente a
priori deve conhecer o nível de desenvolvimento de seus alunos para adequar seus
conteúdos programáticos, visando um ensino qualitativo”.
Igualmente, Santos e Neto (1992), desenvolveram uma pesquisa sobre a avaliação do
desempenho no processo de ensino - aprendizagem de Cálculo Diferencial Integral, da UFC
– Universidade Federal do Ceará, considerando o índice baixo de concluintes na disciplina de
Cálculo (29.3%) devido às reprovações, desistência e trancamento, concluem que estes
fenômenos constituem reflexo de falhas no processo de ensino-aprendizagem, tanto da parte
de professores, de alunos como da instituição. As causas apontadas que originam resultados
tão adversos nesse processo de ensino foram: falta de conhecimentos básicos de Matemática ao
ingressar na Universidade; pouca motivação para o estudo; e incapacidade cognitiva para
aprender os conteúdos do Cálculo. Entretanto, os pesquisadores consideraram que a origem
do não desempenho acadêmico é bem mais abrangente, incluindo-se fatores de ordem
socioeconômica (origem de classe, renda familiar, nível instrucional dos pais, custos com
educação); e de ordem pedagógica (metodologia utilizada pelo professor, tipo da relação
professor-aluno, postura do professor em relação às dificuldades de aprendizagem do aluno);
e fatores relativos às condições institucionais (composição das turmas com alunos de
diferentes cursos, bibliotecas com um número insuficiente de livros para atender à demanda
73
dos alunos, instalações das salas de aulas).
A investigação dos obstáculos que influenciam o alto índice de reprovação na
disciplina de Cálculo também foi realizada por Reis e Matos (2012), no curso de Licenciatura
em Matemática, na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – campus de Jequié. Com a
aplicação da metodologia do estudo de caso e de outros dados obtidos por questionário
aplicado a professores e a alunos do Curso de Licenciatura, os pesquisadores conseguiram
demonstrar a existência de obstáculos epistemológicos, didáticos, emocionais e materiais,
interferindo no processo de ensino-aprendizagem em Cálculo. Além dos obstáculos, a
metodologia do professor e a carência em pré-requisitos foram alguns dos motivos indicados
pelos sujeitos para o elevado índice de reprovação na disciplina, entendendo-se carência de
pré-requisitos como a falta de noções básicas da matemática; os obstáculos epistêmicos; e a
falta de estruturas cognitivas, bem como o não desenvolvimento cognitivo.
Buscando outros aspectos para as dificuldades de aprendizagem da matemática,
Almeida (2006) destaca fontes teóricas relacionadas a essa dificuldade, apresentando
resultados de uma pesquisa com 52 professores de escolas públicas e privadas, do Distrito
Federal, a fim de verificar junto a eles percepções sobre fatores associados ao insucesso dos
alunos em Matemática. Para a pesquisa de campo, o pesquisador utilizou um questionário
abordando a problemática em três campos ligados ao insucesso: o papel do aluno; o papel do
professor; e o papel dos métodos e técnicas de ensino, considerando que as dificuldades de
aprendizagem da matemática podem ocorrer por diversos fatores (afetivos cognitivos e
físicos). De acordo com Almeida (2006), é importante que o sistema de ensino esteja
adequado à realidade do aluno e que busque alternativas de desenvolvimento de forma
íntegra e participativa.
Buscando alternativas para a superação das dificuldades na matemática, Pedroso
(2010) analisou estratégias para recuperação de estudantes com deficiência em fundamentos
de matemática básica, no curso de Engenharia. Mediante pesquisa, visando analisar a
formação anterior em fundamentos matemáticos, o autor comprovou que uma fração de 46%
dos acadêmicos não tinha conhecimento nas diversas áreas de formação básica, sendo que a
maior parte dos conteúdos é revisada ao longo da disciplina de Cálculo, gerando grande
potencial de evasão em virtude de lacunas de conceitos não compreendidos.
A partir dessa constatação, foi implantada carga horária adicional para a disciplina de
Cálculo, possibilitando contato com o fundamento matemático necessário. Esta alternativa
mostrou-se favorável à melhoria do desempenho, se comparada ao ano em que era realizada
em forma de reforço extraclasse, aos que possuíam maior lacuna de formação. Além disso,
74
houve implementação de medidas pedagógicas, a fim de se obter maior qualidade nos cursos
de graduação. O resultado foi avaliado com base nas notas dos acadêmicos obtidas em 2010,
comparando-as a 2009, nos 7 cursos de graduação em Engenharia. O resultado demonstrou
uma melhora significativa na disciplina de Física I, no entanto o mesmo não aconteceu na
disciplina de Cálculo, mostrando que ainda são necessárias medidas adicionais a fim de
minimizar o problema, como estabelecer uma disciplina obrigatória de fundamentos de
matemática, antes da introdução de Cálculo e Física, implicando na ampliação da duração do
curso em seis meses e na ampliação da carga horária.
Outra pesquisa que comprova melhoras no índice de aprovação em cálculo por
estratégias para superação da defasagem de conhecimentos é apresentada por Pozzobon e
Campos (2003) cuja investigação recaiu na implantação de um curso de Matemática Básica,
na UNIJUI, desenvolvendo assuntos indicados pelo professor de cálculo e direcionando
questões para aplicação de problemas práticos das Engenharias o que reverteu na redução
significativa de 40% para 12.5% dos índices de reprovação. Sua pesquisa refletiu numa ação
inovadora no âmbito das Engenharias e garantiu a manutenção da oferta do curso preparatório
e o acompanhamento continuado do desempenho acadêmico, bem como dos índices de evasão
do curso.
Barbosa (2004) realizou estudo qualitativo com alunos de Engenharia,
matriculados no período de 2001 a 2003 e reprovados, e professores da disciplina de
Cálculo Diferencial Integral, visando diagnosticar indicadores e compreender os fatores
geradores de repetência dos alunos nessa disciplina para indicar caminhos de superação de
dificuldades para a aprendizagem.
Realizada com acadêmicos mediante entrevistas semiestruturadas, o pesquisador
procurou saber métodos de estudo adotados e expectativas em relação à disciplina de
Cálculo e com professores, mediante entrevista e análise documental, verificando
concepções, práticas pedagógicas e avaliativas. O resultado revelou predominância de
práticas de ensino tradicional, com ênfase na repetição de exercícios, predominância de
estudo individual e aulas expositivas. A necessidade de memorização de fórmulas, provas
com questões extensas e difíceis e a incompreensão dos métodos de resolução de
exercícios têm se destacado como principais dificuldades sentidas pelos alunos que têm
consciência da contribuição do cálculo no raciocínio lógico-matemático, mas não
conseguem ver a utilização prática da disciplina. Para os professores, destacam-se
dificuldades por deficiência de conhecimentos e imaturidade dos acadêmicos, ficando
75
clara a dificuldade de mudar esse quadro em função das falhas no Ensino Fundamental e
Médio.
Barbosa (2004) afirma que a separação entre a educação básica e o Ensino superior
não é apenas epistemológica, entre o conhecimento pedagógico e psicológico, mas uma
separação que reflete a estética tradicional da escola brasileira. Enfim, observa-se que, com a
desculpa de que o agrupamento homogêneo dos alunos e a fragmentação dos conteúdos
das disciplinas em unidades são necessários para garantir a eficiência pedagógica na
formação intelectual, a escola brasileira desconsidera aquilo que as pesquisas sobre produção
e aquisição de conhecimento têm demonstrado, e separa, assim, o pedagógico do cognitivo.
Gomes (2012) apresenta um mapeamento dos trabalhos publicados nos últimos
cinco anos, nos anais do Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia – COBENGE,
visando subsidiar e discutir questões sobre o ensino de cálculo, em cursos de Engenharia. O
pesquisador buscou saber as principais preocupações dos docentes e das instituições
referentes ao tema. Pela análise realizada, constatou a grande preocupação com a formação
básica dos futuros engenheiros e, consequentemente, com o ensino e a aprendizagem do
cálculo. Com base nos últimos cinco anos de publicações do COBENGE, o autor constatou
que existem poucos trabalhos que abordam o papel da análise do erro no ensino e
aprendizagem de cálculo. O último trabalho publicado sobre o tema foi em 2005, com o
título: “Análise de erros em Cálculo Diferencial Integral, nos cursos de Engenharia”.
Um dos textos é de autoria de Cury (2003), que apresenta algumas ideias sobre a
análise de erros cometidos na solução de questões de cálculo e utiliza estes erros para
melhorar o ensino desta disciplina. Outro trabalho de 2007 que chamou a atenção é de
autoria de Bartolomei (2007, p. 3), que discute a avaliação no processo de ensino e
argumenta que se deve “ultrapassar o modelo tradicional e classificatório, tornando-se
problematizadora e projetiva [...] do que apenas identificar os erros”. Assim, o foco do autor
está na prática do docente diante de dos erros cometidos pelos alunos.
Estudos sinalizam que existe a alta porcentagem de alunos universitários que não
se encontram no nível das operações formais. Toma-se como exemplo o estudo de Jabour
(1997), realizado sobre o Método Hipotético Dedutivo e as Operações formais, no qual a
autora investigou o Nível de Desenvolvimento Cognitivo de um grupo composto de 70
alunos universitários. Esta amostra representa aproximadamente 15% da população
investigada, cuja faixa etária varia entre 18 e 28 anos. Os resultados evidenciaram que
grande porcentagem de alunos não possui o pensamento formal, fator básico para o bom
desempenho universitário.
76
Fermiano (2000) investigou o desenvolvimento cognitivo em 23 sujeitos do
Ensino Médio, aplicando provas operatórias do pensamento operatório formal e cujo
estudo revelou que 87%, com idade entre 14 a 18 anos, não se encontravam no nível das
operações formais. Apenas 13% correspondiam ao período formal. No momento do
ingresso, o desenvolvimento cognitivo dos sujeitos analisados era baixo, encontrando-se
no período intermediário ao pensamento formal.
Da mesma forma Fernandes Filho (2001) realizou um estudo longitudinal com
104 acadêmicos, durante três anos, pesquisando e acompanhando paralelamente o grau
de reprovação nas disciplinas de Cálculo, Álgebra e Geometria, bem como avaliar o
Nível de Desenvolvimento Cognitivo desses acadêmicos, buscando as inter-relações e
influências no desempenho destes em tais disciplinas, para verificar se conseguiriam
suprir as deficiências durante o período pesquisado.
Essa pesquisa foi realizada em dois momentos, envolvendo os mesmos
acadêmicos. No ingresso ao curso com 104 participantes e novamente para fins de
comparativo, no terceiro ano em curso com 81 participantes em curso.
Realizou-se aplicação de questionário para saber os fatores aos quais se
atribuíam o alto índice de reprovação, assim como os implicadores do baixo rendimento
e para identificar o estágio de desenvolvimento, utilizaram-se cinco provas. Para avaliar
o domínio das operações concretas, foram utilizados os testes das Provetas de Batro e os
das Setas de Piaget e Inhelder. Para avaliar o domínio das operações formais, utilizou -se
o teste das Ilhas de Karplus e Karplus, fundamentado na teoria piagetiana. Para
identificar o pensamento Hipotético-Dedutivo, foram utilizados os testes de Raciocínio
Verbal de Copi, o do Político e dos chapéus e para verificar o raciocínio lógico, expresso
por meio da linguagem, para verificar sua argumentação com base nos critérios da lógica
formal.
No primeiro momento da aplicação em 1997 com participação de 104
acadêmicos o nível de desenvolvimento cognitivo foi bastante baixo e no segundo
momento em 1999 com 81 participantes que ainda se mantinham na Universidade
apresentou uma melhora significativa. Esse segundo momento visou saber se estes
sujeitos conseguiram suprir as suas dificuldades nas disciplinas, bem como, a evolução
no nível de desenvolvimento cognitivo durante período.
No aspecto cognitivo, a pesquisa revelou, no segundo momento de avaliação,
após três anos, correspondente ao final do curso, melhora no Nível de Desenvolvimento
Cognitivo dos alunos. O índice de acadêmicos que em 2007 estavam no período formal
77
passou de 18% para 96%; e que estavam no período intermediário, entre o concreto e
formal, passou de 47% para 59%.
Mesmo considerando progresso em nível cognitivo, comprovado nessa etapa da
pesquisa, Fernandes Filho (2001) constata altos índices de reprovação nessas disciplinas
durante esse tempo e afirma que um dos motivos do alto índice de reprovação na área da
matemática, ao longo desse período além da falta de base do Ensino Médio, hábitos de
estudo, motivação pessoal e o Nível de Desenvolvimento Cognitivo do aprendiz,
considerando que os ingressantes, em média, não atingiram o pensamento concreto em
sua plenitude e, consequentemente, não foram aprovados nessas disciplinas por exigir
um pensamento hipotético-dedutivo.
Questões dessa natureza vêm segundo Fernandes Filho (2001), ao encontro de
outros estudos que comprovam a não presença de estruturas cognitivas do período
formal em universitários, trazendo deficiências de ensino em nível de conceitos
fundamentais da matemática, implicando no alto índice de reprovação nas disciplinas
nessa área, especialmente na Engenharia. Portanto, o autor considera a necessidade,
conforme a teoria piagetiana, de algumas construções no sujeito para o desenvolvimento
das estruturas cognitivas, que têm um momento próprio para se desenvolverem e,
portanto, necessitam da interação adequada com o meio. Considera, também, a
influência de fatores de cunho pedagógico na aprendizagem, de deficiência na
transmissão dos conteúdos, de velocidade e de ritmo de repasse dos conteúdos pelos
professores, falta de didática, aulas exaustivas e não motivadoras. Por isso, Fernandes
Filho (2001) sugere o aprimoramento e a capacitação do professor na compreensão de
como o pensamento se desenvolve nas diferentes etapas, para auxiliar na construção do
conhecimento, reestruturar e modernizar o modo de ensinar.
Barbosa (1994) pesquisaram os fatores e variáveis que interferem no baixo
desempenho dos alunos, assim como o grau de interferência na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral, visando apresentar propostas de resolução e de intervenção de ordem
pedagógica. Entre outros aspectos, citamos a pesquisa do nível de desenvolvimento do
raciocínio lógico formal e a ligação entre conteúdo e níveis de ensino.
A análise do desenvolvimento cognitivo, que teve por objetivo verificar o grau de
desenvolvimento de estruturas de raciocínio dos alunos, foi realizada por testes de raciocínio
lógico, com 42 questões, aplicada a uma amostra de 92 alunos ingressos no 2º sem./92, e que
estavam cursando essa disciplina no referido semestre. Nessa pesquisa, foi aplicado o teste de
raciocínio lógico cujos itens foram formulados, envolvendo raciocínio do tipo: compensação
78
complexa,
hipotético-dedutivo,
proposicional
ou
razão-proporção,
probabilístico,
combinatório, lógica das proposições e raciocínio indutivo. Para a elaboração do teste, foram
tomados alguns itens do Teste de raciocínio lógico de Trompieri Filho, Nicolino s/d. Os
demais foram formulados procurando deixar claro seu conteúdo e contendo as informações
necessárias a sua solução. Os itens envolvendo seriação numérica têm características
semelhantes aos itens do teste padronizado INV (Inteligência Não verbal-CEPA) que é
pictórico, enquanto que este atual aplicado é numérico, apresentando grau de complexidade
superior.
Segundo Barbosa (1994), com base nessa pesquisa, existe a desarticulação do
conteúdo com outras áreas de conhecimento apresentado de maneira puramente teórica, sem
sequência, ordem e uniforme em todos os cursos; sem relação com as necessidades
específicas do curso. Neste sentido, aumenta o grau de dificuldade na sua assimilação. Para
Barbosa (1994, p. 33), “O conteúdo das aulas tem sido puramente teórico e atividades
específicas muitas vezes não são realizadas no sentido de desenvolver habilidades e
principalmente no intuito de adquirir novos conhecimentos”. O autor considera que as
dificuldades se apresentam em virtude de o conteúdo ser apresentado sem integração direta
com o curso, apresentado de modo uniforme em todos os cursos, sem destaque para o papel
que as aplicações desempenham no processo ensino-aprendizagem, desconhecendo a do
conteúdo em outras disciplinas.
O resultado dessa referida pesquisa de Barbosa (1994) em relação às dificuldades e
interferências revelou que o fator que mais contribui para o fracasso na disciplina de cálculo
é a formação deficiente em matemática, considerando que o nível de ensino desta disciplina
no Ensino Médio esta aquém do conteúdo exigido na Universidade; a forma tradicional de
transmissão do conhecimento (metodologia, avaliação, postura didática, relacionamento etc.),
citada pelos acadêmicos e que também inviabiliza e interfere de modo decisivo no
desempenho, no rendimento e na relação ensino-aprendizagem.
Segundo Barbosa (1994) apesar das afirmações dos acadêmicos em relação às
deficiências em sua formação matemática, considera serem contraditórias, pois consideram
que seu desempenho nesse grau de ensino foi bom. Os conteúdos matemáticos parecem
desconhecidos aos alunos, revelando dificuldade de se operá-los logicamente, fator que
preocupa, visto que na construção de conhecimentos matemáticos, de acordo com Barbosa
(1994), a apreensão de conceitos básicos é indispensável ao encadeamento dos assuntos e
cujas defasagens são de difícil reparação. Para ele, a falta de elo, o distanciamento e a
desarticulação entre conteúdos e níveis de ensino, principalmente entre o nível secundário e o
79
universitário, refletem-se nas afirmações dos acadêmicos acerca da formação deficiente nos
graus anteriores e têm trazido grandes dificuldades à relação ensino-aprendizagem.
Com base na análise do desenvolvimento do raciocínio lógico formal, segundo
Barbosa (1994), o teste revelou que os alunos, em sua maioria, apresentam bom nível de
desenvolvimento de estruturas de raciocínio necessárias para operar com conteúdos exigidos
na disciplina de cálculo. No entanto observou na sua pesquisa casos de sujeitos que
apresentam nível de raciocínio bem desenvolvido, capaz de operar em nível das operações
formais, mas que não foram aprovados na disciplina. Esse fato comprova que as dificuldades
resultam de outros fatores, que são interferentes no desempenho e rendimento escolar, dentre
os quais, a formação deficitária como causa principal, seguida pelo modelo tradicional com
aulas expositivas, sem participação efetiva dos alunos, com excesso de créditos matriculados,
desinteresse e falta de esforço para aprender.
Com base nessa revisão bibliográfica de pesquisas no âmbito do desenvolvimento
cognitivo e desempenho na matemática bastante restrita mediante o universo de pesquisas
que poderíamos abordar nesse capitulo podemos perceber que todas buscam subsidiar e
clarificar a problemática que envolve o aprendizado das disciplinas da área da matemática
dos cursos de engenharia, especialmente o Cálculo Diferencial Integral.
O incentivo ao debate em prol da melhoria da qualidade do ensino e da
aprendizagem se faz presente em todas as etapas das investigações científicas, buscando
identificar caminhos que conduzam à melhoria da aprendizagem, reduzindo os índices de
reprovação e assim incentivar o debate em prol da melhora da qualidade de ensino.
80
4
MÉTODO E ASPECTOS METODOLÓGICOS
Considerando os aspectos teóricos abordados nos capítulos anteriores, a presente
pesquisa foi delineada conforme segue.
4.1
Método Clínico Piagetiano
O método clínico-crítico é uma técnica de investigação comum das pesquisas
piagetianas, baseado em entrevista pessoal e que permite coerência teórica. Fundamenta-se
nos procedimentos de pesquisa Epistemológica cuja finalidade consiste em descobrir a
gênese e o desenvolvimento do conhecimento.
Para Piaget ([1926], 1979), por meio do método clínico - critico e experimental, é
possível participar da experiência mediante a qual se formulam perguntas, colocam-se
problemas de causa e efeito, levanta-se cada uma das hipóteses, variando as condições
envolvidas, de forma a analisar o raciocínio dos indivíduos. Consiste em conversar
livremente com o sujeito, permitindo a tomada de consciência das transformações que os
objetos sofrem com sua ação sobre eles; mede a solidez das convicções do sujeito, seguindo
sua lógica profunda, crenças espontâneas e estrutura de desenvolvimento.
Conforme Delval (2002), a essência desse método consiste na intervenção do
experimentador, buscando descobrir os caminhos do pensamento do sujeito e da lógica
deste por meio das hipóteses que o experimentador vai formulando acerca do significado
das ações do sujeito. Pensando assim, o interesse principal não é verificar respostas certas
ou erradas, mas, sim, descobrir a estrutura de pensamento e como ele funciona, quais são os
recursos intelectuais utilizados para interpretar o mundo que cerca o indivíduo. Por isso
Piaget ([1926], 1979) afirma:
[...] A essência do método clinico está em discernir o joio do trigo e de
situar cada resposta dentro do seu contexto mental. Ora existem contextos
de reflexão, de crença imediata, de jogos ou de psitacismo, contextos de
esforço e de interesse ou de fadiga. Nesse sentido, é necessário acompanhar
o processo cognitivo que o sujeito desenvolve durante a execução de
determinada tarefa de forma a possibilitar a compreensão, através da fala e
do comportamento, do pensamento dos sujeitos, num processo dialético
entre pergunta e resposta. Compreender este pensamento significa saber
“como ele organiza seu pensamento, como ele percebe, age e sente.
81
(PIAGET, [1926], 1979, p.11).
A técnica ora destacada tem a finalidade de seguir uma lógica profunda, crenças
espontâneas e a estrutura de certo estado de desenvolvimento em que se encontra a pessoa:
Creio que a essência do método, e aquilo que tem de mais específico, que o
diferencia de outros métodos, consiste precisamente nessa intervenção
sistemática do experimentador diante da atuação do sujeito e como resposta
às suas ações ou explicações (DELVAL, 2002, p. 68).
O método clínico-crítico foi estruturado de forma a descobrir a gênese do
conhecimento, por meio de um processo dialético entre as perguntas do experimentador e as
respostas do sujeito, de forma a considerar o conjunto de hipóteses e experiências trazidas
pelo sujeito, “no sentido de que o clínico coloca problemas, realiza hipóteses, faz variar as
condições em jogo, e, enfim, controla cada uma de suas hipóteses no contato com as reações
provocadas pela conversa” (PIAGET, [1926], 1979, p. 10). Nesse contexto, tal método
possibilita flexibilidade e papel ativo do experimentador, no intuito de desvelar o universo
mental do sujeito, situando as respostas dentro de um contexto mental:
Os interrogatórios destinados a estudar a gênese das operações concretas
sempre tiveram como objeto, não somente os julgamentos que variam em
função de nível de idade ou desenvolvimento dos sujeitos, mas, sobretudo os
argumentos que os acompanham. [...] são estes que podem nos informar
sobre a natureza dos obstáculos inerentes ao pensamento da criança e às
resistências que o real opõe à formação das estruturas operatórias
(INHELDER, [1974], 1974, p. 32).
Pela verbalização, o método em destaque facilita a livre expressão a respeito do
assunto, permitindo: descobrir as ideias e a capacidade de raciocínio com relação aos
conceitos lógicos, assim como a estrutura do pensamento e os recursos intelectuais utilizados
pelo pesquisado, uma vez que as hipóteses, conceitos e representações são investigados em
profundidade.
Piaget ([1926], 1979) acreditava que, por meio desse método, é possível chegar ao
cerne da estrutura cognitiva e descrevê-la por possibilitar ao sujeito condições de manifestarse intelectualmente e expor a orientação cognitiva natural do período de desenvolvimento em
que se encontra. Deste ponto de vista, Sampaio (2010, p. 41) esclarece:
Por meio da aplicação das provas operatórias, teremos condições de
conhecer o funcionamento e o desenvolvimento das funções lógicas do
82
sujeito. Sua aplicação nos permite investigar o nível cognitivo em que a
criança se encontra e se há defasagem em relação à idade cronológica, ou
seja, um obstáculo epistêmico.
A entrevista clínica, então, utilizada para aplicação das provas operatórias, é
considerada do tipo semiestruturada que, conforme Delval (2002) consiste em:
[...] perguntas básicas comuns para todos os sujeitos, que vão sendo
ampliadas e complementadas de acordo com as respostas dos sujeitos para
poder interpretar o melhor possível o que vão dizendo. As respostas
orientam o curso do interrogatório, mas se retorna aos temas essenciais
estabelecidos inicialmente (DELVAL, 2002, p. 147).
Justifica-se ainda o tipo de pesquisa com apontamentos de Delval (2002), para quem
é essencial a intervenção sistemática do pesquisador com base no que o sujeito faz ou diz,
visando entender a forma de pensar e o caminho que segue o pensamento: “[...] aquilo que
tem de mais específico, que o diferencia de outros métodos, consiste precisamente nessa
intervenção sistemática do experimentador diante da atuação do sujeito e como resposta às
suas ações ou explicações (DELVAL, 2002, p. 68).
As intervenções e perguntas abertas têm por finalidade compreender a maneira e a
forma de pensar do sujeito, de como representa a situação e organiza sua ação. As perguntas
são abertas, com espaço para eventuais novidades e visando avaliar a qualidade e o processo.
De acordo com a teoria de Piaget ([1926], 1979), há uma espécie de pré-lógica ou uma lógica
associada às verbalizações e sobre essa lógica são efetuadas leituras da realidade, e sobre as
mesmas são implementadas as devidas ações. Podemos considerar, desta forma, como um
método que visa avaliar a qualidade, objetivando todo o processo e não simplesmente
respostas pontuais.
O referido método permite a livre expressão a respeito do assunto para descoberta
das ideias e da capacidade de raciocínio com relação aos conceitos lógicos, descobrindo a
estrutura do pensamento e os recursos intelectuais utilizados pelo pesquisado, pois se trata de
um método de cunho analítico bastante apurado:
Trata-se de um método de trabalho muito árduo, no qual o pesquisador tem
de ir encontrando uma estrutura comum nas respostas dos sujeitos. Tal
estrutura não é evidente à primeira vista, mas tem de ser imposta pelo
pesquisador. A estrutura pode ser considerada como uma hipótese que vai se
confirmando à medida que se encontram novos sujeitos que correspondem a
ela. Se a leitura de novos protocolos não confirma a análise que começamos
a fazer temos de substituí-las por outra, examinando o que não encaixa na
83
primeira proposta. É como modificar uma hipótese (DELVAL, 2002, p. 169
e 170).
O método clínico, para Piaget ([1926], 1979), deve ultrapassar a pura observação,
pressupondo a experimentação como um conjunto de técnicas que permitem testar hipóteses.
O termo “clínico”, para o autor, envolve a característica peculiar inerente ao respectivo
método de se “conversar” à vontade com o sujeito, em uma determinada tarefa,
possibilitando considerar o maior número de implicações do diálogo. Neste processo,
distinguem-se cinco tipos de reações observáveis no exame clínico: não importismo;
fabulação; crença sugerida; crença desencadeada e crença espontânea.
O não importismo ocorre quando o sujeito tem dificuldade ou a pergunta realizada
aborrece a criança. Dessa forma buscando livrar-se do conflito, o sujeito emite qualquer
resposta e de qualquer forma. (PIAGET, [1926], 1979).
A fabulação, para Piaget ([1926], 1979), ocorre quando a criança, ao responder uma
pergunta, não usa a reflexão; esta reação é observada quando a criança inicia a narrativa de
uma história mediante a pergunta do pesquisador.
Na crença sugerida, o sujeito não usa a própria reflexão nas respostas, apenas
responde na perspectiva do entrevistador, no esforço para responder ou agradar o mesmo,
ou por consequência de uma pergunta sugestiva. Portanto, seu pensamento puro não é
demonstrado. Por isso, deve haver o cuidado no sentido de as perguntas não sugerirem ou
induzirem a respostas e que, portanto, não corresponderão a uma crença do sujeito.
A crença desencadeada é a maneira de se fazer a pergunta e que obriga o sujeito a
refletir e a raciocinar, de forma que o pensamento seja fruto original do pensamento conforme
classifica Piaget ([1926], 1979). Por este turno, o raciocínio de resposta e o conjunto de
saberes prévios usados para refletir não são influenciados diretamente pelo experimentador. A
resposta como forma de raciocinar específica do sujeito envolve reflexão, sem sugestão,
desencadeada pelo interrogatório, porém, não sugerida. A criança elabora e desenvolve o seu
raciocínio, sistematizando seus pensamentos. Com esse olhar, o pensamento do sujeito
elabora uma explicação que revela a organização de próprio pensamento, mesmo não tendo
pensado antes. As respostas resultam, portanto, em um raciocínio feito a partir de
conhecimentos (imagens mentais, esquemas motores etc.) e de instrumentos lógicos originais.
Esta reação é importante do ponto de vista da pesquisa, pois o caminho percorrido pelo
pensamento pode ser observado. Assim, Piaget ([1926], 1979) refere-se à crença
desencadeada:
84
A crença desencadeada não é então nem propriamente espontânea, nem
propriamente sugerida: é o produto de um raciocínio feito sob comando,
mas com o recurso de materiais (conhecimentos da criança, imagens
mentais, esquemas motores, pré-ligações sincréticas, etc.) e de instrumentos
lógicos (estruturas de raciocínio, orientações do pensamento, hábitos
intelectuais, etc.) originais (PIAGET, [1926], 1979, p. 120).
A crença espontânea permite observar a conduta e o real instrumento de troca, ou
seja, o que o sujeito criar, inventar, interpretar e operar. Ocorre quando o sujeito pode dar uma
resposta pronta, por não ser novidade e nem inédita para ele, pois está baseada num
pensamento anteriormente elaborado. Esta já foi refletida anteriormente de modo que a
resposta é original. Responde com base nas próprias ideias e pensamentos já processados e
não necessita raciocinar para responder à pergunta, com respostas imediatas, por ser fruto de
uma reflexão anterior:
Enfim, quando a criança não necessita raciocinar para responder à
pergunta, e pode dar uma resposta imediata porque já formulada ou
formulável, ocorre à crença espontânea. Esta ocorre quando a pergunta,
não é nova para a criança e quando a resposta é fruto de uma reflexão
anterior e original. Excluímos naturalmente deste tipo de reação, como de
resto de cada um dos precedentes, as respostas influenciadas pelos
ensinamentos recebidos anteriormente ao interrogatório. Ocorre aí um
problema distinto, e muito complexo, que consiste em discernir, nas
respostas recebidas, o que provém da criança e o que foi inspirado pelo
grupo adulto (PIAGET, [1926], 1979, p. 13).
No entanto, Piaget ([1926], 1979) adverte para o problema quanto a discernir, nas
respostas recebidas, o que provém da criança ou o que foi construído como ensinamento do
mundo adulto:
As crenças espontâneas ainda que ocorram de forma mais rara, são as mais
interessantes, pois são incontestáveis. As crenças desencadeadas instruem na
medida em que permitem identificar a orientação de espírito da criança. A
fabulação pode dar algumas indicações, de resto, sobretudo negativas, desde
que interpretadas com a devida prudência. Por fim, as crenças sugeridas e o
não importismo devem ser severamente eliminados: as primeiras só revelam
que o experimentador queria que a criança dissesse, e o segundo só
testemunha a incompreensão do sujeito examinado (PIAGET, [1926], 1979,
p. 17).
A crença sugerida é essencialmente momentânea e pode ser confirmada com contrasugestões ou reformulações diferentes para verificar se as respostas têm fundamento original.
Segundo Piaget ([1926], 1979), é importante distinguir as crenças sugeridas daquelas
desencadeadas e sugere que a única maneira de fazê-lo é recorrer à observação pura. Na
85
interpretação dos resultados, faz-se importante distinguir o que foi sugerido pelo
experimentador e o que foi desencadeado pelo sujeito.
É fundamental que o entrevistador conheça as cinco reações para saber como o
sujeito pensa e reconstitui suas ações para, assim, ele conseguir um eficiente diagnóstico do
desenvolvimento. É preciso, também, que ele tenha a clara consciência das dificuldades, das
hipóteses alternativas e táticas apropriadas na sua investigação.
A interpretação de todas essas reações obtidas e observadas no decorrer da aplicação
desse método culmina em um diagnóstico; tarefa não tão simples, uma vez que o pesquisador
pode atribuir maior ou menor valor às reações e respostas, tendo, portanto, que buscar um
constante equilíbrio entre saber observar e saber orientar as perguntas, ao encontro de um
objetivo preciso. Nesse sentido, Piaget ([1926], 1979) defende que se obtém a boa utilização
deste método em função do treino e da prática e pela inexistência de regras precisas ou de
diagnósticos determinados.
O método clínico desenvolvido por Piaget ([1926], 1979), bem como as pesquisas
deste escritor no âmbito do conhecimento e do desenvolvimento humano são fundamentais
aos estudos pedagógicos, pois permitem aos estudiosos do campo em evidência conhecer os
processos pelos quais a criança formula e consolida um conceito.
Buscamos compreender, portanto, como ocorre o pensamento do estudante
universitário, em seus diferentes níveis estruturais e, a partir deste contexto, investigar as
relações da aprendizagem em cálculo com o raciocínio lógico formal. Para tanto, utilizamos
o método clínico para essa avaliação.
4.2
Problema
As dificuldades de aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial Integral
possuem relações com o Nível de Desenvolvimento Cognitivo dos acadêmicos do primeiro
período do curso de Engenharia de uma Universidade Pública Federal?
4.3
Objetivos
Objetivo geral: Diagnosticar as possíveis relações entre as dificuldades de
86
aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial Integral e o Nível de Desenvolvimento
Cognitivo de acadêmicos do 1º período do curso de Engenharia, de uma Universidade Pública
Federal.
Objetivos específicos

Verificar o rendimento acadêmico na disciplina de Cálculo Diferencial Integral
de acadêmicos do 1º período de diferentes cursos de Engenharia, entre os anos
de 2011 e 2014.

Identificar o curso de Engenharia com maior índice de reprovação e
cancelamento na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.

Avaliar as dificuldades de acadêmicos da Engenharia, em conteúdos
específicos e necessários à compreensão da disciplina de Cálculo Diferencial
Integral, mediante aplicação de um instrumento específico.

Avaliar o Nível de Desenvolvimento Cognitivo de acadêmicos do curso de
Engenharia, ingressantes no 1º Sem/2014, mediante aplicação de provas
operatórias piagetianas específicas.

Verificar o desempenho acadêmico de acadêmicos do curso de Engenharia
com maior índice de reprovação por meio da análise do rendimento final
obtido na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.

Identificar a relação existente entre a avaliação de conteúdos específicos e
necessários à compreensão da disciplina de CDI, o resultado do rendimento
final e os níveis de desenvolvimento cognitivo obtidos nas provas operatórias.
4.4
Hipótese
De acordo com o problema de pesquisa anteriormente explicitado, apresenta-se
como hipótese a existência de uma relação entre as dificuldades de aprendizagem em Cálculo
Diferencial Integral-CDI, o desempenho acadêmico e os níveis de desenvolvimento cognitivo
dos estudantes.
87
4.5
Delineamento
Essa pesquisa caracteriza-se por um estudo de caso de abordagem qualitativa e
quantitativa,
“O estudo de caso é uma investigação empírica que investiga um fenômeno
contemporâneo dentro do seu contexto de vida real, especialmente quando os
limites entre o fenômeno e o contexto não são claramente evidentes” (YIN,
2010, p. 32).
Segundo o autor, utiliza-se o estudo de caso, quando se deseja entender um
fenômeno da vida real em profundidade, e esse entendimento engloba importantes condições
contextuais – porque essas são consideradas altamente pertinentes ao fenômeno em estudo.
Por ter abordagem qualitativa, enfatiza-se todo o processo e não somente os
resultados finais. O caráter quantitativo justifica-se pela interpretação dos dados, mediante
recurso da análise estatística, com a qual pretendemos explicar a regularidade dos fenômenos
qualitativos. Esses dois tipos de abordagem (qualitativa e quantitativa) são complementares
nesse estudo e propiciam maior aprofundamento e fidedignidade às interpretações. Os
instrumentos utilizados possibilitarão a verificação do Nível de Desenvolvimento Cognitivo,
assim como dos conhecimentos matemáticos presentes nos sujeitos e do rendimento
acadêmico curricular semestral na disciplina de Cálculo Diferencial Integral-CDI.
4.6 Participantes da Pesquisa
Todos os acadêmicos participantes dessa pesquisa são alunos regularmente
matriculados em cursos de Engenharia de uma Universidade Pública, localizada no interior do
Estado do Paraná. Os participantes diferenciam-se conforme as etapas de coleta de dados,
transcritas no item procedimentos, a saber:
- Etapa 1 – desenvolvida em dois momentos: no primeiro momento, participaram 923
Acadêmicos ingressos do 1º sem./2011 ao 1º sem./2013, nos cursos de Engenharia
(Alimentos, Produção, Ambiental e Elétrica); e no segundo momento, 238 acadêmicos do
curso de Engenharia de Alimentos, pertinentes à análise de dados específicos desse curso.
-Etapa 2 – 124 acadêmicos ingressos no 1º sem./2013, nos cursos de Engenharia
(Alimentos, Produção, Ambiental e Elétrica); etapa que se realizou em três momentos
88
específicos: início de semestre, com 9 acadêmicos do curso de Engenharia de Alimentos; e
final de semestre, com 94 acadêmicos da Engenharia de produção, elétrica e ambiental , assim
como com 21 acadêmicos reprovados em Cálculo Diferencial Integral-CDI nesses referidos
cursos.
- Etapa 3 – 20 acadêmicos ingressos no 1º sem./2014, no curso de Engenharia de
Alimentos, escolhido pelo alto índice de reprovação e cancelamento na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral- CDI, com base nos resultados da Etapa 1. A participação foi por adesão
livre, correspondente a 50% dos ingressos na turma. Os participantes que correspondem a
uma proporção igual de sexo masculino e feminino, estão numa faixa etária que varia entre 17
a 24 anos, sendo três menores de idade. A procedência dos participantes corresponde a
quatro estados brasileiros, sendo nove do Paraná; seis de São Paulo; dois do Rio Grande do
Sul; um de Minas Gerais; e um do Mato Grosso do Sul, conforme mostra a Tabela 1 a seguir
Tabela 1 - Caracterização dos participantes da pesquisa – Engenharia de Alimentos - 1º
Sem/20141
Num
Sujeito
Idade
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
A
L
D
F
H
O
P
Q
S
I
C
20;5
18;1
19;7
18;9
18;7
20;9
17;6
18;9
19;9
18;2
18;1
Estado de
Procedência
PR
PR
PR
PR
PR
PR
PR
PR
PR
RS
RS
Num
Sujeito
Idade
12
13
14
15
16
17
18
19
20
R
U
B
G
J
M
T
E
N
17;1
17;5
24;4
20;2
18;2
18;5
20;2
20;9
18;3
Estado de
Procedência
SP
SP
SP
SP
SP
SP
MG
MG
MGS
Fonte - Dados da pesquisa.
1
Com a finalidade de preservar a identidade dos sujeitos participantes, os mesmos foram identificados mediante
a utilização de letras aleatórias sem nenhuma relação com o nome do participante.
89
4.7 Procedimentos
O projeto foi devidamente submetido e aprovado pelo Comitê de Ética em Pesquisa
da FFC/UNESP, campus de Marília-SP (Anexo A).
A adesão à pesquisa ocorreu mediante assinatura do Termo de Consentimento Livre
e Esclarecido – TCLE (Apêndice A), após explicação dos objetivos e etapas nas quais os
acadêmicos pesquisados estariam envolvidos; os universitários menores de idade obtiveram
consentimento dos pais.
A pesquisa desenvolveu-se em três etapas distintas:
Etapa 1 - Levantamento do Rendimento Acadêmico na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral (CDI), dos universitários ingressos nos Cursos de Engenharia do 1º
sem./2011 ao 2º sem./2013.
Essa primeira etapa, composta por dois momentos de análise, baseou-se no
Levantamento do Rendimento Acadêmico na disciplina de Cálculo Diferencial Integral dos
Acadêmicos da Engenharia, ingressos nos quatro cursos de Engenharia (Alimentos,
Produção, Elétrica, Ambiental). Esse levantamento teve por finalidade verificar índices de
aprovação, reprovação, cancelamentos e desistências, bem como, identificar o curso com
maior índice de reprovações e cancelamentos para objeto de pesquisa na etapa 3. Esse
levantamento foi realizado mediante liberação de acesso de dados da pesquisadora ao
Sistema Acadêmico, que envolveram um total de 923 acadêmicos.
Após definição do curso de Engenharia de Alimentos como o de maior índice de
reprovação e cancelamento na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, realizou-se um
levantamento mais específico de dados dos acadêmicos desse curso. Buscou-se saber a
situação curricular dos ingressantes a partir do 1º sem./2011, utilizando como referência o 2º
sem./2013.
Etapa 2 - Avaliação do Conteúdo Matemático - ACM e Análise do Rendimento
Acadêmico – ARA obtido na disciplina de Cálculo Diferencial Integral - CDI de acadêmicos
de cursos de Engenharia, ingressos no 1º sem./2013.
90
A segunda etapa buscou Avaliar o Conteúdo Matemático apresentado pelos
acadêmicos de Engenharia, ingressos no 1º sem./2013, assim como a Análise do Rendimento
Acadêmico, mediante consulta ao Sistema Acadêmico da nota de rendimento final, na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral, obtida pelos participantes.
A Avaliação do Conteúdo Matemático foi realizada mediante aplicação de um
instrumento elaborado por professores especialistas da área da matemática. Esse instrumento
compreendia 2 provas, totalizando 30 questões (Apêndice B) de conhecimentos necessários
ao entendimento dos conteúdos curriculares previsto na Disciplina de Cálculo Diferencial
Integral da Engenharia. A primeira prova foi composta por 15 questões envolvendo
conteúdos relativos à matemática do Ensino Fundamental: potência e suas propriedades;
operações com frações (numéricas e algébricas); conjuntos numéricos; intervalos (maior,
menor); geometria plana (área e perímetro); operações com polinômios; noções de funções e
relações trigonométricas no triângulo retângulo; sistemas de equações e equação do primeiro
e segundo graus. A segunda prova era constituída por 15 questões relacionadas à matemática
do Ensino Médio: conjuntos numéricos; inequações; função (primeiro e segundo graus,
modular, exponencial, logarítmica, trigonométrica); polinômios e operações com polinômios.
O instrumento da Avaliação do Conteúdo Matemático foi aplicado em dois
momentos: 1) no início do semestre, para acadêmicos da Engenharia de Alimentos, visando
unicamente à avaliação técnica, didática e metodológica do instrumento, considerando
eventuais necessidades de adequações; e 2) ao final do semestre, para acadêmicos de
Engenharia Ambiental, Produção, Elétrica, buscando avaliar preliminarmente os conteúdos
matemáticos apresentados pelos acadêmicos de Engenharia, bem como verificar se os
assuntos tratados nesta avaliação serviriam de base para diagnosticar defasagens em termos
de conteúdos matemáticos trabalhados no Ensino Fundamental e Médio, necessários à
aprendizagem do Cálculo Diferencial Integral. Numa etapa posterior, foi selecionada uma
amostra do instrumento para aferição de um conceito (nota).
A primeira aplicação ocorreu no início do 1º sem./2013, durante o período de 13 a 17
de maio, no curso de Engenharia de Alimentos, com a participação de nove alunos, por
adesão livre. Essa aplicação ocorreu na primeira semana de aula do semestre letivo, antes do
contato dos participantes com o conteúdo programado para a disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. A aplicação ocorreu em dois dias consecutivos, em horário de aula
destinado a essa disciplina, mediante negociação prévia com o professor. Após a aplicação,
estes instrumentos foram devidamente corrigidos e analisados pela equipe de professores de
91
matemática que os elaboraram (vide instrumentos) 2.
A segunda aplicação realizou-se no final do 1º sem./2013, no período de 26 a 30 de
agosto, em três cursos de Engenharia (Produção, Elétrica e Ambiental), com a participação
de 98 acadêmicos por adesão livre. A aplicação visou ao levantamento e à análise do
conhecimento e conteúdos com maior dificuldade. Posteriormente, foram selecionados, de
forma aleatória, entre os acadêmicos participantes, sete reprovados na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral-CDI de cada curso, totalizando 21 participantes, para a realização de
análise e correção do instrumento de Avaliação do Conteúdo Matemático.
Considerou-se, para fins de análise e correção, a atribuição de um conceito (nota),
com base na média 6.0, necessária para aprovação na disciplina curricular regular. Os critérios
utilizados foram, inicialmente, o desempenho (erros e acertos) e, posteriormente, os passos do
desenvolvimento e as estratégias utilizadas durante o processo da resolução pelo acadêmico.
Usou-se, portanto, procedimentos e critérios normais de uma avaliação curricular, ou seja, a
correção foi realizada a partir dos mesmos padrões de uma prova curricular normal.
A Análise do Rendimento Acadêmico - ARA, na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral, dos 21 acadêmicos participantes reprovados, foi realizada ao final do semestre letivo,
por meio do acesso ao sistema acadêmico, com base no resultado da média final na disciplina
de Cálculo Diferencial Integral, considerando aprovações, reprovações, desistências e
cancelamentos. Nesta etapa foi realizada análise comparativa da Avaliação do Conteúdo
Matemático - ACM e Análise do Rendimento Acadêmico - ARA dos 21 participantes.
Etapa 3 - Pesquisa com acadêmicos do curso de Engenharia de Alimentos, ingressos
no 1º sem./2014, mediante Avaliação do Conteúdo Matemático - ACM, Avaliação do Nível
de Desenvolvimento Cognitivo e Análise do Rendimento Acadêmico - ARA.
A terceira etapa, realizada com 20 acadêmicos do curso de Engenharia de Alimentos,
ingressos no 1º sem/2014 e que participaram por adesão livre, foi desenvolvida em três
momentos distintos: o primeiro momento correspondeu à Avaliação do Conteúdo
Matemático, mediante aplicação de instrumento específico; o segundo, à Avaliação do Nível
de Desenvolvimento Cognitivo, mediante aplicação de Provas Operatórias; e o terceiro, à
2
Instrumento elaborado por professores especialistas da área da matemática: Priscila Pigatto Gasparin, Pedro Elton Weber,
Liliane Hellmann e André Sandmann.
92
Análise do Rendimento Acadêmico, mediante rendimento final obtido na disciplina Cálculo
Diferencial Integral, com base em consulta ao Sistema Acadêmico.
O segundo momento, correspondente à Avaliação do Nível de Desenvolvimento
Cognitivo, foi realizado mediante provas operatórias, aplicadas de acordo com as orientações
específicas do método clínico-crítico, utilizado por Piaget e colaboradores. Vale ressaltar que,
antes da aplicação oficial das provas operatórias, a pesquisadora realizou aplicações
experimentais e estudos pilotos, visando à proximidade e à familiaridade com os instrumentos
e com o método clínico-crítico piagetiano. Baseados nesses estudos foram realizadas algumas
melhorias no protocolo das provas operatórias, especialmente na Prova da Combinatória,
tendo em vista o entendimento da abordagem clínica-crítica.
Para o estudo oficial, as provas operatórias foram agendadas conforme
disponibilidade de horário dos acadêmicos envolvidos e realizadas de forma individual, em
duas sessões por participante, numa sala reservada exclusivamente para essa finalidade. As
provas foram aplicadas na seguinte ordem: Prova do Equilíbrio da Balança (1ª sessão) e Prova
de Relação entre Superfície e Perímetro dos Retângulos e Prova da Combinatória (2ª sessão).
Ambas as sessões tiveram duração em média de 40min a 01h20min. A aplicação foi filmada,
gravada e, posteriormente, transcrita para análise.
4.8
Instrumentos
Os instrumentos de coleta de dados foram assim constituídos: Avaliação do Conteúdo
Matemático, Provas Operatórias Piagetianas, Sistema Acadêmico para Análise do
Rendimento Acadêmico.
O primeiro instrumento utilizado foi a Avaliação do Conteúdo Matemático, e teve
por finalidade investigar os conteúdos que os acadêmicos possuem em relação àqueles
desenvolvidos nos graus anteriores de ensino e necessários à aprendizagem na disciplina de
Cálculo Diferencial Integral. Esse instrumento foi elaborado por professores especialistas da
área da Matemática, considerando os conceitos básicos necessários ao conteúdo curricular
previsto na disciplina de Cálculo Diferencial Integral das Engenharias. Da mesma forma,
esses professores foram responsáveis pela análise e correção das respostas, visando verificar
as maiores dificuldades dos participantes, bem como atribuindo a cada prova um conceito
(nota).
Os instrumentos subsequentes utilizados na pesquisa referem-se às Provas
93
Operatórias Piagetianas, utilizadas para diagnosticar o nível de desenvolvimento cognitivo.
As provas aplicadas foram: Combinatória (PIAGET, J. [1964], 1951); Prova das Relações
entre superfícies e perímetros dos retângulos (PIAGET et.al., [1977], 1995); e Equilíbrio da
Balança (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976). A prova da Combinatória (Anexo B) envolve
a utilização de uma combinatória para organizar um método de experimentação e a exclusão
de fatores inoperantes; a da Relação entre Superfície e Perímetro dos Retângulos (Anexo C)
avalia a construção da abstração reflexionante; a do Equilíbrio da Balança (Anexo D)
possibilita acompanhar a construção da proporcionalidade.
A escolha das Provas Operatórias baseou-se na faixa etária dos sujeitos pesquisados
e na relação destas com o conteúdo previsto na disciplina de Cálculo dos cursos de
Engenharia, mediante consulta aos professores da área. Foi considerado, portanto, na seleção
das provas operatórias, a compatibilidade com a construção das estruturas operatórias
concretas e formais, possibilitando a avaliação e a manifestação do pensamento formal.
O terceiro instrumento constitui-se do Sistema Acadêmico informatizado que
possibilitou a obtenção de informações curriculares, individual e coletiva, dos dados
necessários às três etapas da pesquisa.
94
5
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste capítulo, analisam-se e discutem-se os dados coletados, com base nos
instrumentos e procedimentos metodológicos previstos para a pesquisa.
5.1
Etapa 1.Análise do Rendimento Acadêmico, na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral, dos Acadêmicos de Engenharia, ingressos do 1º sem./2011 ao 1º sem./2013.
No decorrer do 1º semestre de 2011 ao 1º semestre de 2013, tivemos um total de
923 acadêmicos ingressantes nos cursos de Engenharia da instituição, conforme mostra o
Gráfico 1, a seguir:
Gráfico 1 - Índice Total de Rendimento- Cursos de Engenharia - 1º sem./2011 - 1º
sem./2013, na disciplina de Cálculo Diferencial Integral 3
55,7
60
50
40
30
22,2
20,9
20
10
1,2
0
APROVADOS
REPROVAÇÃO
CANCELAMENTO
CRÉDITO
CONSIGNADO
TOTAL GERAL
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico.
Desse universo, a média geral cumulativa de reprovação dos cursos correspondeu a
3
O termo “crédito consignado” se refere à dispensa de disciplina por ter cursado em outra instituição de ensino superior.
95
55.7%, conforme pode ser constatado no Gráfico 1. Deste percentual de reprovações, 37.8%
foram por nota; e 17.9%, por nota e frequência. O índice de aprovados foi mais ou menos
equivalente ao número de cancelamentos efetuados na disciplina.
A seguir, apresenta-se a demonstração gráfica (Gráfico 2) do rendimento obtido por
curso nesse período.
Gráfico 2 - Índice Total de Rendimento por Curso – Disciplina de Cálculo Diferencial
Integral - 1º sem./2011 - 1º sem./2013.
69,5
70,0
60,0
49,1 50,4
50,0
40,0
55,9
33,6
29,5 28,2
30,0
14,8
20,0
19,7 20,2
10,1
14,3
10,0
1,7 1,2 1,5 0,4
0,0
APROVADOS
REPROVADOS
CANCELAMENTO
Engenharia Ambiental
CRÉDITO
CONSIGNADO
Engenharia de Produção
Engenharia Elétrica
Engenharia de Alimentos
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
O percentual total de reprovação por curso nesse período foi equivalente a 69,5%
(Engenharia Elétrica); 55,9 % (Engenharia de Alimentos); 50,4 % (Engenharia de Produção);
e 49,1 (Engenharia Ambiental). Analisando os índices dos cursos por semestre, constatamos
que o percentual mais baixo de reprovação obtido foi de 30,5%, e o mais elevado de 76,9%.
No entanto, analisando os índices de reprovação semestral de forma isolada, constatamos que
o índice varia entre 13.6% a 86%.
Numa análise comparativa da reprovação do primeiro para o segundo semestre,
observamos um aumento representativo de 30% para 50%, o maior índice.
Os cancelamentos também foram bastante elevados, representando uma média geral
de 22,2%, diferenciando-se significativamente de um curso para o outro. Em uma análise
realizada por curso, a média mais baixa obtida foi de 14,3%, e a mais elevada alcança o
índice de 33.6%. No entanto, se analisarmos os índices de cancelamento por semestre, pode-
96
se constatar que estes variam entre 7,5% a 48,2%.
Dessa forma, com base nos resultados obtidos dos cursos, decidiu-se escolher como
objeto de estudo, na Etapa 3 do presente estudo, o Curso de Engenharia de Alimentos, que,
além do índice de reprovação (55.9%), obteve também um alto índice de cancelamento
(33.6%), na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, bem como o mais baixo índice de
aprovação.
Interessante observar que, apesar de existir uma mudança significativa nos índice de
reprovação e cancelamento entre um semestre e outro, os índices de aprovação na disciplina
alteram muito pouco entre um semestre e outro, mantendo-se quase estáveis.
Num segundo momento, após definição do curso de Engenharia de Alimentos como
objeto de estudo para a Etapa 3, realizou-se um levantamento mais ampliado de dados
referentes a esse curso. Buscou-se saber a situação curricular dos 238 acadêmicos ingressos
no período determinado referente à disciplina de Cálculo Diferencial Integral, no 2º
sem./2013, com base em dados como: aprovação na disciplina, dependências e desistência de
curso.
Especificamente em relação a esse curso, é possível ressaltar, ainda, algumas outras
características. No período do 1º sem./2011 ao 1º sem./2013, 238 acadêmicos, de 17 a 45
anos de idade, estavam matriculados na disciplina de Cálculo Diferencial Integral. O índice
geral de rendimento na disciplina pode ser observado no Gráfico 3, a seguir.
Gráfico 3 – Análise de Rendimento Acadêmico - Disciplina de Cálculo Diferencial Integral Curso Engenharia de Alimentos - 1º sem./2011 a 1º sem./2013.
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
55,9
33,6
10,1
0,4
APROVADOS
REPROVADOS
CANCELAMENTO
CRÉDITO
CONSIGNADO
TOTAL GERAL
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
O rendimento na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, nesse curso, durante o
97
período de dois anos e meio, teve uma média de reprovação correspondente a 55,9%, sendo
que 31,9 % se referem à reprovação por nota; e 23,9 %, por nota e frequência. A variação
média de reprovação, ao longo dos cinco semestres, foi de 41% a 84%.
Os cancelamentos de matrícula na disciplina representam 33.6% e não foram muito
estáveis nesse período, variando entre 8% a 43,9%. Considerando as implicações sobre o
cancelamento, pode-se considerar como hipótese que o número de reprovações seria ainda
mais elevado, se os pedidos de cancelamento não fossem efetivados, estando o acadêmico
sujeito à provável reprovação. Portanto, o percentual de cancelamentos é um número a ser
considerado no provável aumento equivalente dos índices de reprovação. Neste caso,
considerando essa hipótese, ter-se-ia como reprovação geral, no período em questão, um
índice equivalente a 89.5%.
No Gráfico 4, a seguir, tem-se um demonstrativo do rendimento obtido por
semestre e ano para uma análise comparativa.
Gráfico 4 – Análise do Rendimento Acadêmico, por semestre - Disciplina de Cálculo
Diferencial Integral - Curso de Engenharia de Alimentos - 1º sem./2011- 1º sem./2013.
84,0
90,0
80,0
64,2
70,0
60,0
45,6
50,0
61,7
40,0
28,3
30,0
20,0
10,0
50,0
43,9
41,1
10,5 7,5 8,9 8,0
14,9
21,3
8,0
0,0 0,0 0,0 0,0 2,1
0,0
APROVADOS
1/2011
REPROVADOS
2/2011
1/2012
CANCELAMENTO
2/2012
CRÉDITO
CONSIGNADO
1/2013
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
Fazendo uma análise comparativa de rendimento por semestre, pode-se observar,
no gráfico anterior, um percentual bastante diferenciado nos índices de reprovação entre um
semestre e outro, notando, inclusive, um aumento significativo no segundo semestre de cada
ano, correspondente de 30 a 50% comparativamente.
Usando como exemplo o 1º e 2º semestres de 2011, observou-se um aumento de
98
18,6% de reprovação, se comparado ao semestre anterior. No entanto, em paralelo a esse
aumento no índice de reprovação, constata-se que o índice de cancelamentos efetuados entre
o primeiro para o segundo semestre diminui, ou seja, corresponde a uma queda comparativa
de 15,6%. De 43,9%, decaiu para 28,3%. Da mesma forma, percebe-se, no ano de 2012, um
aumento significativo de reprovação do primeiro para o segundo semestre letivo, que de
41,1% passou para 84%. No entanto, os índices de cancelamento, inversamente aos da
reprovação, são maiores no primeiro semestre (50%) em comparação ao segundo semestre,
diminuindo significativamente para 8%.
Outro aspecto observado na nossa pesquisa é que a disciplina de Cálculo Diferencial
Integral, independente do número de vezes cursada pelo acadêmico, tem sido um dificultador
para o êxito. Mesmo cursada novamente não garante o rendimento favorável ou mínimo
necessário para aprovação. Alguns acadêmicos apresentam alguma melhora no rendimento
final enquanto outros apresentam resultados ainda mais baixos. Por conseguinte, a tendência
é de que a nova tentativa se reverta em um novo fracasso escolar e/ou desistência ou
cancelamento, a exemplo dos índices que foram apresentados anteriormente.
Buscando saber a situação curricular especificamente na disciplina de Cálculo dos
acadêmicos ingressantes no período do 1º Sem/2011 ao 1º Sem/2013, reprovados no primeiro
semestre de ingresso percebemos a grande dificuldade para a superação dessa disciplina.
Usando como referência a situação acadêmica até o final do 1º Sem/2013 pesquisamos do
universo de acadêmicos reprovados no primeiro semestre de ingresso no curso, o número de
tentativas realizadas até a sua aprovação na disciplina e acadêmicos que ainda estão em
dependências, bem como, desistências e cancelamentos de curso, apresentados na tabela a
seguir.
Apresentamos na sequência a situação curricular dos acadêmicos reprovados na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral no primeiro semestre de ingresso no curso de
Engenharia e a sua situação curricular perante a disciplina após alguns semestres na
Universidade.
A tabela abaixo mostra o total de acadêmicos reprovados por semestre e ano, assim
como, a situação curricular no final do 1º Sem/2013, apresentando o número de aprovados e
desistentes do curso, bem como, dos acadêmicos ainda com dependência e desistentes do
curso.
99
Tabela 2 - Situação curricular dos acadêmicos em Cálculo Diferencial Integral – Engenharia
de Alimentos - 2º sem./2013.
NUMERO DE
REPROVADOS
SITUAÇÃO CURRICULAR NO FINAL DO 1º SEM/2013
APROVADOS NA DISCIPLINA
Nº
%
8
14
5
2
31
34,6
41,2
22,7
9,5
23,3
SEM/ANO
1º sem./2011
2º sem./2011
1º sem./2012
2º sem./2012
1º sem./2013
26
34
22
21
29
133
Desistentes
do curso
Nº
%
1
11.1
1
3,2
Nº
18
20
17
19
29
102
DEPENDÊNCIA NA
DISCIPLINA
Desistentes do
%
curso
Nº
%
3
16,7
69,2
10
50,0
58,8
13
76,5
77,3
90,5
9
31,0
100,0
35
34,3
76,7
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
Constatou-se que, dos 133 acadêmicos reprovados nesse curso, durante esse
período, apenas 23,30% constavam no final do 2º sem./2013 como aprovados na disciplina,
ou seja, sem dependência e com a situação regularizada. Isso leva a concluir que 76.7% dos
acadêmicos, ao final do 2º sem./2013, ainda estavam com a situação irregular quanto a essa
disciplina. Do total de acadêmicos em dependência, 34,3% já constavam como desistentes do
curso. Essas desistências que representam, na totalidade, 32 estudantes, ocorreram, na sua
maioria, no final do primeiro semestre de entrada no curso, isto é, quando haviam cursado
por uma vez a disciplina, sendo que tivemos, nesse universo de acadêmicos, somente uma
transferência no segundo semestre de curso, ou seja, observou-se que a maioria das
desistências ocorreu no final do primeiro semestre em curso.
Tabela 3 - Número de vezes em que a Disciplina de Cálculo Diferencial Integral, foi cursada
– 1º sem./2011 – 2º sem./2013.
TOTAL DE
Nº DE VEZES
Nº DE ACADÊMICOS
ACADÊMICOS
CURSADO
ENVOLVIDOS
133
uma
74
55,6 %
duas
40
30,8 %
três
15
11,3 %
quatro
4
3,0 %
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
%
100
Se for considerado o número de tentativas desses 133 acadêmicos na disciplina de
CDI durante esse período, obteve-se no máximo de quatro tentativas, em que 55,6%
participaram uma vez; 30,8%, duas vezes; 11,3%, três vezes; e 3,0%, quatro vezes.
5.2
Etapa 2. Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do Rendimento Acadêmico.
A primeira aplicação da Avaliação do Conteúdo Matemático no Curso de
Engenharia de Alimentos, no início de 1º semestre/2013, teve a participação de nove
acadêmicos na faixa etária entre 16 e 36 anos, por adesão livre. Foi possível testar e avaliar o
instrumento nos seguintes aspectos: tempo utilizado para a realização de todas as questões
propostas, compreensão dos enunciados dos exercícios e observação das dúvidas mais
frequentes levantadas pelos estudantes. Esta primeira aplicação confirmou a necessidade de
dois encontros, totalizando 3h20m para preenchimento do instrumento, considerando a
média de tempo utilizada pela maioria dos acadêmicos. Quanto à forma de elaboração e
entendimento dos enunciados, não houve necessidade de adequações ou melhorias.
A segunda aplicação da Avaliação do Conteúdo Matemático, nos cursos de
Engenharia de Produção, Elétrica e Ambiental, realizada no final do 1º semestre/2013, teve a
participação, por adesão, de 98 acadêmicos, com idade entre 17 e 28 anos. Realizou-se uma
avaliação de conhecimentos e dificuldades presentes, tanto em nível de conteúdos como de
dificuldades de interpretação da linguagem e conceitos da matemática. Essa avaliação
também foi corrigida nos mesmos moldes de uma prova normal curricular, mediante a
atribuição de um conceito / nota.
Com base na análise realizada pelos professores especialistas na área da matemática,
podemos constatar os conteúdos em ordem gradativa de maior dificuldade revelada: 1º)
Função: Função do 1º grau, 2º grau, exponencial e logarítmica (73,68%); 2º) Potência (48,60
%); 3º) Operação com conjuntos (47,62%); 4º) Função Trigonométrica (44,4 %); 5º)
Construções de Gráficos (33,13%); 6º) Simplificações Algébricas (29,36%); 7º) Operações
com Frações (28.6%); e 8º) Radiciação (20,6%).
Percebemos que os conteúdos nos quais os estudantes encontram maior dificuldade
se concentram principalmente no Ensino médio, a exemplo de Funções (1º e 2º grau,
exponencial, logarítmica), a construção de gráficos, em relacionar o domínio e a imagem da
função, assim como na função trigonométrica de compreensão das relações e geometria.
101
Constatou-se, também, dificuldade na divisão de polinômios, necessária para entendimento de
funções, limites e derivadas. As operações com frações e radiciação se apresentaram como
conteúdo com menor grau de dificuldade.
Foram observadas também dificuldades conceituais, bem como de expressão,
entendimento e linguagem matemática. Conforme Gasparin et al. (2014), estas dificuldades
podem dificultar a interpretação das questões, assim como o raciocínio a ser utilizado na
resolução dos problemas e dos cálculos implícitos.
Além da avaliação do conteúdo matemático com base no preenchimento do
instrumento foi também atribuído um conceito (nota) com base na análise de cada instrumento
preenchido pelos acadêmicos participantes. Para essa análise foram utilizados os
procedimentos e critérios normais de uma avaliação normal, conforme gráfico na sequência.
Gráfico 5 - Índice de notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático-Curso de
Engenharia de Produção, Elétrica e Ambiental - 1º sem./2013.
Notas
60 a 100
15%
0 a 29
25%
30 a 59
60%
Fonte: Dados da Pesquisa
Com base na análise estatística das notas obtidas na Avaliação do Conteúdo
Matemático, pelos 21 acadêmicos participantes, reprovados na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I, observou-se que apenas 15% obtiveram nota acima de 6,0,
correspondente à média curricular mínima necessária para aprovação na disciplina regular.
102
Um percentual de 85% dos acadêmicos obteve resultados na Avaliação do Conteúdo
Matemático, inferiores à nota 6,0 mínima para aprovação na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral. Deste percentual, a maioria se concentra nas notas de 3,0 a 5,9, sendo que 25% dos
participantes não alcançaram resultados superiores a 2,9. A média mais baixa correspondeu a
0,5, e a mais alta foi de 5,6.
Conferindo o sistema acadêmico podemos constatar que os reprovados na disciplina
de Cálculo Diferencial Integral no 1º Sem/2013, mesmo cursando a disciplina novamente no
semestre seguinte, não obtiveram notas de aprovação muito superiores a média mínima
estabelecida para aprovação. Da mesma forma os que reprovaram novamente não obtiveram
notas muito superiores às obtidas no semestre anterior. Pode-se considerar um progresso de 2
pontos entre as notas de um semestre para o outro, portanto podemos inferir que a realização
de uma nova tentativa em cálculo, por si só, não é suficiente para o êxito na disciplina.
Realizou-se posteriormente, uma análise por amostragem, selecionando sete
acadêmicos reprovados por curso de Engenharia (Produção, Elétrica e Ambiental) na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral, para uma análise comparativa entre a nota
curricular obtida na disciplina de Cálculo Diferencial Integral e a nota obtida na Avaliação do
Conteúdo Matemático. A nota curricular na disciplina de Cálculo Diferencial Integral foi
obtida mediante consulta ao Sistema Acadêmico
Tabela 4 – Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do Rendimento AcadêmicoDisciplina de Cálculo Diferencial Integral - Cursos de Engenharia de Produção, Elétrica e
Ambiental – 1º sem./2013.
ACADÊMICO
RENDIMENTO
RENDIMENTO
ACM
ARA
Média da nota
Média final
Status
A
46
30
Reprovado
B
40
14
Reprovado
C
58
14
Reprovado
D
45
05
Reprovado
E
27
22
Reprovado
F
54
29
Reprovado
G
45
18
Reprovado
H
28
11
Reprovado
Continua na próxima página
103
I
32
35
Reprovado
J
13
02
Reprovado
L
52
41
Reprovado
M
06
24
Reprovado
N
50
49
Reprovado
O
17
37
Reprovado
P
48
48
Reprovado
Q
37
54
Reprovado
R
51
50
Reprovado
S
53
56
Reprovado
T
65
25
Reprovado
U
71
27
Reprovado
V
64
18
Reprovado
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico e da pesquisa
Observando comparativamente os resultados da Avaliação do Conteúdo Matemático
com a Análise do Rendimento Acadêmico, percebemos que existe uma equivalência de
resultados. Em ambos os instrumentos quase a totalidade dos participantes não obtiveram
resultado satisfatório em nenhuma das avaliações, se considerarmos a média curricular
utilizada e necessária para aprovação. Podemos perceber que a maioria dos acadêmicos
obteve média inferior na Análise do Rendimento Acadêmico, na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. As reprovações ocorridas em Cálculo Diferencial Integral foram
integralmente por nota.
Apenas três participantes obtiveram, na Avaliação do Conteúdo Matemático, notas
superiores a 6.0, sem, no entanto, obterem média necessária para aprovação em Cálculo
Diferencial Integral. As médias obtidas não foram superiores a 3,0.
Comparando a proporcionalidade entre as notas da Avaliação do Conteúdo
Matemático e a Análise do Rendimento Acadêmico, observa-se, na maioria dos participantes,
uma diferença equivalente entre ambas as notas de 1 a 3 pontos.
Mediante registro de dados do Programa de Monitoria que coordena o Curso de PréCálculo oferecido a acadêmicos ingressantes, constamos que dois acadêmicos haviam
participado do curso de pré-cálculo durante o referido semestre, mas mesmo assim não
conseguiram êxito na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
Com base na consulta ao sistema acadêmico, dos 21 acadêmicos reprovados na
104
disciplina de Cálculo Diferencial Integral, 20 reprovaram por nota e um por nota e frequência.
Dos 20 acadêmicos reprovados, dez matricularam-se novamente nessa referida disciplina no
semestre seguinte (2º sem./2013), sendo que apenas dois (40%) foram aprovados nessa
segunda tentativa, obtendo a nota mínima necessária (6,0) para aprovação. Dos oito
acadêmicos reprovados novamente, quatro reprovaram por nota; três por nota e falta; e um,
por cancelamento da disciplina. As notas, nessa segunda reprovação, não foram superiores a
5,0, e destas uma foi inferior a 2,0.
Analisando comparativamente a Análise do Rendimento Acadêmico, podemos
considerar que o resultado da Avaliação do Conteúdo Matemático, se considerado a nota
curricular necessária para aprovação é equivalente,
compatível e proporcional entre os
mesmos. Ambos os resultados mostram tanto a insuficiência de conhecimentos prévios dos
conceitos e noções da matemática, quanto à aprendizagem dos conteúdos curriculares da
disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
Se partirmos da hipótese de que o domínio de conceitos e noções elementares da
matemática implica no entendimento do conteúdo previsto nos graus superiores,
especialmente na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, podemos considerar, com base no
resultado comparativo entre Avaliação do Conteúdo Matemático e a Análise do Rendimento
Acadêmico, que essa hipótese se confirma. Da mesma forma, se levarmos em conta os
resultados da análise de conteúdos deficitários diagnosticados no instrumento elaborado pelos
professores de matemática, podemos considerar que o mesmo serviu de base para diagnosticar
defasagens matemáticas de noções e conceitos de nível fundamental e médio. Confirmamos,
assim, que essas noções implicam e interferem no melhor desempenho da disciplina de
Cálculo Diferencial Integral.
5.3 Etapa 3. Avaliação do Conteúdo Matemático, Avaliação do Nível de Desenvolvimento
Cognitivo e Análise do Rendimento Acadêmico- Curso de Engenharia de Alimentos-1º
sem./2014.
A terceira etapa da pesquisa envolveu a participação mediante adesão livre, de 20
acadêmicos ingressos no 1º sem./2014, no curso de Engenharia de Alimentos. Os resultados
da aplicação dos três instrumentos envolvendo a Avaliação do Conteúdo Matemático, Análise
do Nível de Desenvolvimento Cognitivo e Análise do Rendimento Acadêmico, serão
105
apresentados separadamente. Ao final será realizada uma análise quantitativa e qualitativa de
resultados, inferindo sobre as implicações na aprendizagem.
5.3.1 Resultado da Avaliação do Conteúdo Matemático
Inicialmente, os acadêmicos foram submetidos à Avaliação do Conteúdo Matemático
cujo resultado é apresentado na Tabela 5 e Gráfico 6, a seguir :
Tabela 5 - Notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático- 1º sem./2014.
Participante
Idade
Participante
Idade
Avaliação do
Avaliação do
Conhecimento
Conhecimento
Matemático
Matemático
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
20;5
24;4
18;1
19;7
20;9
18;9
20;2
18;7
18;2
18;2
11
11
08
28
18
17
34
14
23
42
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
18;1
18;5
18;3
20;9
17;6
18;9
17;9
19;9
20;2
17;5
32
53
57
04
20
39
15
45
24
18
Fonte: Dados da pesquisa
Gráfico 6 – Média percentual de notas obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático
35%
0 a 29
65%
Fonte: Dados da pesquisa
30 a 59
106
Constatamos que a totalidade dos participantes não obteve, na Avaliação do
conhecimento matemático uma nota equivalente a 6,0, considerada mínima necessária para
aprovação numa avaliação curricular. A maioria dos participantes, ou seja, 65% obtiveram
notas inferiores a 30, sendo que a mais baixa foi de 4 e 8 décimos. As notas, na sua maioria,
concentraram-se entre 11 a 19, sendo que apenas quatro acadêmicos obtiveram notas entre 20
a 29. Nas notas superiores entre 30 e 40, correspondentes a 35% dos participantes, a
equivalência entre notas e número de acadêmicos foi homogênea e proporcional.
Analisando o desempenho por conteúdo avaliado, com base na análise das notas
obtidas em cada um desses conteúdos, podemos observar, de forma geral e comparativa, que
as maiores dificuldades se referem a conceitos que envolvem conhecimentos relativos ao
Ensino Médio. Observou-se, inclusive, um maior número de acadêmicos que realizavam
parcialmente as questões ou deixaram em branco nos referidos conceitos. Algumas
observações de registros deixados pelos acadêmicos, justificando esquecimento ou
desconhecimento da operacionalização do exercício, denotam a dificuldade de entendimento,
esquecimento ou desconhecimento do conteúdo.
Mediante esses resultados, confirmamos a defasagem de conhecimentos na formação
básica desses estudantes Conclui-se, assim, que o conhecimento básico apreendido
curricularmente em graus anteriores é insuficiente ao efetivamente necessário nível de
compreensão e aprendizagem efetiva do acadêmico.
Podemos considerar, portanto, que houve uma implicação significativa dessa falta de
base, sobre o desempenho acadêmico da disciplina de Cálculo Diferencial Integral, tendo em
vista que a ausência ou defasagem no domínio de idéias, noções e conceitos elementares da
matemática constitui, efetivamente, um obstáculo para a aprendizagem do cálculo.
5.3.2 Análise das Provas Operatórias
O Nível de Desenvolvimento Cognitivo foi examinado, conforme o que está
proposto nos protocolos de Piaget e Inhelder ([1951], 1951); Inhelder e Piaget ([1976], 1976);
e Piaget et. al. ([1977], 1995).
As três provas operatórias aplicadas correspondem à da Combinatória (Anexo B);
Relações entre superfícies e perímetros dos retângulos (Anexo C); e Equilíbrio da Balança
(Anexo D).
Apresentamos, a seguir, algumas características nos diferentes níveis em relação às
107
provas operatórias aplicadas, bem como excertos das entrevistas, considerados fundamentais
por conter o cerne da categoria de pensamento dos sujeitos, característico do seu nível de
desenvolvimento.
5.3.2.1
Prova da combinatória
A estrutura da combinatória consiste em combinar objetos ou juízos considerando-se
todas as possibilidades de uma situação. Dessa forma a prova é aplicada mediante a utilização
de quatro fichas de cores diferentes com a analogia de que representam pessoas que foram
convidadas a fazer um passeio e que poderiam ou não aceitar o convite. É solicitado ao sujeito
descobrir de quantas maneiras ou formas esse passeio poderia acontecer e quantas
combinações de passeio seriam possíveis de serem feitas, ou seja, que encontre o maior
número de combinações sem repetir cores e sem considerar a posição dos elementos. O
sujeito deve encontrar um sistema que possibilita a formação de 16 combinações sendo 6 em
pares, 4 em trios, 4 sozinhos, 1 quarteto e 1 possibilidade que pode ser considerada é o não
passear.
A prova da combinatória prevê a categorização em 5 (cinco) níveis de compreensão:
nível I, IIA, IIB, IIIA, e IIIB, com características bem delimitadas.
Não encontramos nenhum sujeito no nível IA considerado o da “Ausência de
Sistematização”. Nesse nível as noções são avaliadas pelo experimento, considerando apenas
o resultado e não os mecanismos que levam a solução. Não há consciência do processo de
interiorização das ações. A associação é aleatória, incompleta, não sistemática, sem critério e
sem indício de sistematização multiplicativa. As organizações não são seriadas ou
classificatórias.
Da mesma forma ao nível IA, também não encontramos nenhum sujeito no IB,
quando há início da “Sistematização Aditiva”, mas ainda de forma empírica e incompleta. O
pensamento ainda não é sistemático e a associação é aleatória, por justaposição, de
agrupamento em classe e ordem. As explicações são pré-causais, aleatórias, centradas na ação
e avaliadas pelo observado no experimento. Dessa forma, não sentem necessidade de
compreender suas ações, pois o raciocínio está subordinado ao concreto
No nível II de 6 a 11 anos (média) ocorrem avanços notáveis em relação ao anterior.
Corresponde ao início da capacidade de “Sistematização Multiplicativa”, mas sem utilizar
procedimentos de enumeração sistemática. Esse nível subdivide-se em IIA e IIB. No IIA que
108
ocorre por volta dos 6 e 7 anos, não encontramos nenhum sujeito. Neste a sistematização não
dissocia fatores e assim a combinação é realizada por seriações empíricas, de experiência
física, por tentativa e erro, sem estrutura de operações interproposicionais.
No nível IIB, que aparece, em média, por volta dos 7 a 9 anos, os sujeitos adquirem a
capacidade de dissociar fatores empíricos e iniciam a sistematização multiplicativa, já com
abertura para as combinações de combinações, resultantes das combinações de 2ª potência.
São capazes de multiplicar todos os elementos, realizando combinações de 2 a 2, 3 a 3, mas
ainda sem sistematização destas combinações. Realizam vários ensaios de sistemas e testam
suas hipóteses, mas não chegam à solução geral.
Segue na sequência um exemplo de pensamento neste nível IIB. O sujeito B (24; 4),
utiliza a justaposição entrecruzada com ligações parciais. Dessa forma, nas duplas este sujeito
encontrou apenas 4 combinações, sendo que na somatória de combinações considerou
possível apenas 3 passeios em dupla. Afirma serem possíveis apenas 11 passeios ao todo:
Sujeito B (24;4). Após ter realizado vários ensaios por seriação qualitativa,
não sistemática, concluiu serem quatro combinações em trio: Eu fui
substituindo e tirando o que já tinha ido e então acho que seria quatro. Eu
deixei o verde e os outros três foram passear. Eu fiz do seguinte modo. Tirei
o rosa e os outros foram passear. Tirei o vermelho e acrescentei o rosa e
assim por diante. O que te dá essa certeza? A forma que manuseei,
substituindo e colocando o que já tinha ido. Na combinação em dupla
concluiu ser 4 passeios e questionei. Também 4 passeios? Em trio também
foram quatro. Isso. O que faz você concluir que também seriam quatro
passeios? Porque digamos, eu posso deixar como dupla o vermelho e azul,
verde e rosa e trocar essas duas por vermelho e verde e rosa e azul. Então
ficaria três e não quatro. Tem certeza de que ninguém deixou de passear em
dupla? Tenho. E quantas vezes então cada um foi passear em dupla? Acho
que três também. Como assim? Me explica, como sabe? Porque tirando por
base o verde ele foi passear uma vez com o rosa, uma vez com o vermelho e
uma vez com o roxo. Então quantos passeios foram? Três passeios. Igual ao
número de passeios em trio? Sim. Três passeios e três parceiros, pessoas
diferentes. Diz que tem certeza de que ninguém deixou de passear em dupla.
Já usei todas as formas que eu tinha. Qual foi o total de passeios? Uns 8
passeios. Sozinho seria 4, mais 3 em dupla dá 7, um passeio em 4 dá oito,
em trio 3 dá 11 passeios.
O quinto sistema de interseções inacabadas assume características que levam ao
limiar do nível III de desenvolvimento, quando o sujeito começa a fazer as intersecções, mas
não termina, formando um número maior de pares, mas seu sistema não dá conta de todas as
peças, de todas as cores. Busca assim um sistema de associações, porque não se contenta mais
com pares isolados. No entanto, não consegue um sistema completo, por não conseguir
sintetizar as combinações em um método de interseções dirigidas, em que cada termo se
109
associa sucessivamente a todos os seguintes.
Apresentamos um exemplo de procedimento característico desse quinto sistema. O
sujeito T (20;2) operou mesmo que empiricamente por interseções inacabadas, combinando
um número maior de elementos, mas no entanto, isso não garantiu que esgotasse todas as
possibilidades. Oscilou, ainda, entre a justaposição e a simetria e utilizou um sistema de
operação multiplicativa lógica, mas que não contempla todas as combinações:
T (20;2): Veja quantos passeios são possíveis em dupla? São 12 passeios. Se
uma pessoa faz passeios diferentes com as outras 3 pessoas é só multiplicar
4 x 3 que é 12. Você poderia me demonstrar como seria isso? Iniciou
separando uma cor por vez e foi simulando as combinações com as outras 3
fichas reservas. Ao acabar a combinação pegou outra ficha e simulou
novamente a combinação com outras 3 fichas, gradativamente, até eliminar
todas as cores. Com esse método de interseções, adotado por esse sujeito, fez
com que ele considerasse a inversão de ordem das fichas o que incorreu em
repetição de fichas da mesma cor. Amarelo com preto, Amarelo com roxo,
amarelo com verde, amarelo com vermelho. Separou uma ficha e foi
simulando combinação com as outras cores. Será que o amarelo, por
exemplo, não foi passear mais de uma vez entre eles? Ha é mesmo. Então,
reveja esses passeios e garanta que não repetiu dupla. Quantos passeios
seriam possíveis? Nove. Como sabe? É só desfazer as repetições. Então, são
9. O sujeito T subtraiu 4 fichas de um total de 12 acreditando que desfez as
repetições. Usou um sistema de manipulação das fichas por intersecções
inacabadas, associando cada termo sucessivamente a todos os seguintes,
simulando as combinações na ordem da esquerda para a direita, mas teve
dificuldade de fechar as duplas. Encontrou 7 combinações em dupla
primeiramente e depois ao repetir o procedimento para confirmar a
quantidade de passeios por pessoa encontrou apenas 5 combinações em
dupla. Afirmou serem 3 passeios por pessoa, uma com cada cor. - Mais
alguma forma? Não. Quantos passeios nós conseguimos? 16. Explique-me?
Cada um separado dá quatro, em dupla 7 passeios, que dá 11. Em trio deu
quatro então 15 e fazendo os 4 juntos deu 16.
Esse referido sujeito T por estar no nível IIB tem uma lógica coerente, de sistema
multiplicativo, mas sem generalização, buscando saber a quantidade de passeios em trio.
Realizou ligações parciais, sem as relacionar entre si, tirar correspondência geral, englobando
todas as possibilidades. Falhou em descobrir um sistema completo, pois não consegue
contemplar todas as combinações e, portanto, perceber as operações de forma integrada.
No nível III, de 11 a 12 anos, os sujeitos adquirem a capacidade de sistematização
generalizada inserindo a realidade num conjunto maior de possibilidades. Conseguem, por um
lado, constatar e ligar todas as associações entre elementos, ou correspondências; e por outro,
dissociar todos os fatores em jogo, conseguindo, assim, chegar à combinatória completa. Com
esta forma de pensamento, combinam entre si objetos ou fatores, idéias ou proposições
110
(juízos) e formas complementares que refletem o mesmo poder combinatório.
Em função dessas sistematizações generalizadas conseguem no nível IIIA (9-11
anos), descobrir um sistema, acreditando que existe uma lei geral que explica o resultado
obtido na ação empírica, embora não busquem a sua formulação que é obtida pela
combinação de n a n modo sistemático. Progridem na direção da lei, através de um método de
obtenção de resultados. Procuram estabelecer o que implicam as correspondências
explicitando a necessidade de listá-las graficamente. Ao combinar os fatores, realizam várias
operações, dentre elas, operações de exclusão, implicação e conjunção que possibilitam
progressos em nível de generalizações. O pensamento relaciona a proporção das combinações
possíveis.
A utilização no Nível IIIA, dessa organização sistemática, em busca de uma
formalização, leva o sujeito O (20;9), na combinação em dupla e trio, a prever e a antecipar a
possibilidade de combinação por antecipação, relacionando as variáveis implícitas e a testar
suas hipóteses.
Sujeito O (20;9). Na combinação em dupla. Como seria esse passeio? 6
passeios. Porque cada um tem três opções em dupla. Como fez? Eu fui
olhando. Porque cada um vai ter 3 opções de dupla, só que excluindo as que
são repetição dá 6. Eu olhei por aqui mesmo. O primeiro vai ter 3 opções e
o segundo vai ter duas opções e o terceiro vai ter uma e então dá 6 passeios.
Quantas vezes cada um foi passear? Três. Porque cada cor vai sair 3 vezes e
uma vai ficar em casa.
Na combinação em trios. Com o pensamento reflexivo, desvinculado
parcialmente do concreto, sem mexer com as fichas disse serem possíveis 4
combinações. Como você fez para saber? Fiz da mesma forma que em dupla.
Imaginei o roxo com qual trio podia formar e ia formar com o vermelho e
amarelo e com o vermelho e preto e com o amarelo e preto. Aí, para eu
formar um trio com o vermelho, eu só olho para esse amarelo e preto
porque os trios que formam entre ele e o roxo já foram contados. Aí dá mais
um. Daí já foram feitos todos os possíveis. São quatro trios. Quantas vezes
cada cor for passear em trio? Três vezes? Porque dá pra formar 3 vezes , 3
passeios com cada cor.
Assim, as combinações passam a ser parte integrante do conjunto das combinações
possíveis que determinam uma estrutura lógica geral. A exemplo o sujeito J (18;2), de posse
de estrutura hipotético-dedutiva, não tem mais necessidade de comprovação prática e analisa,
no plano das possibilidades, a combinatória em dupla e trio. Coordena entre os 4 elementos as
correspondências envolvidas e antecipa as relações possíveis para a combinatória. Sua
estrutura de pensamento possibilita adotar um método (interseção dirigida), no qual cada
111
termo (ficha) se associa sucessivamente a todos os seguintes. Assim, o sujeito torna-se capaz
de antecipar o número de combinações possíveis para qualquer quantidade de cores. Outro
exemplo é o sujeito R (17;9), cuja estrutura de pensamento dedutiva, característica nesse
nível, possibilitou a análise do particular para a generalização do possível, unindo todas as
possibilidades de cada situação combinatória. Não necessitou a manipulação das fichas pois
seu pensamento está desvinculado do concreto. No entanto, questionado se na hipótese de
não ter a presença visual das fichas admitiu: Ficaria mais difícil, teria que imaginar isso ou
usar um cálculo. Esse sujeito mesmo chegando as 15 combinações, inclusive incluindo o “não
passeio” como uma possibilidade, ao final, não soube dizer quantas combinações foram
realizadas. Para rever, solicitou a possibilidade de anotar num papel, no sentido de confirmar
se todas as possibilidades foram contempladas.
Não encontramos nenhum sujeito no nível IIIB, quando realizam e descobrem a
equilibração do sistema, passando a existir a “Necessidade de generalização”, de formular um
fator geral para as relações e da veracidade da lei. Essa equilibração do sistema possibilita
realizar combinações completas e sistemáticas, de modo multiplicativo de ordem, dissociando
fatores e antecipando os resultados. Há necessidade da formulação, explicação das relações e
a razão das combinações, bem como, de certificarem-se da generalização e da veracidade da
lei. Essa descoberta e compreensão do sistema adotado e da compreensão da lei ocorrem pela
tomada de consciência das relações para esgotar todas as combinações possíveis e chegar ao
conceito da totalidade operatória, tirando desse sistema formal a própria formulação. Tornase possível assim nesse nível esgotar as possibilidades, conseguindo relacionar entre si as
quatro classes básicas, até obter as 16 combinações possíveis, tomando cada parte (elementos)
do conjunto das partes uma a uma, duas a duas, três as três, as quatro ao mesmo tempo ou
nenhuma delas.
A Tabela 6, a seguir, apresenta os dados obtidos na aplicação de Prova da
Combinatória, mostrando os níveis de desenvolvimento relativo aos participantes da pesquisa.
Tabela 6 – Níveis de construção da noção de combinatória - Prova da Combinatória - 1º
sem./2014.
PARTICIPANTE IDADE
IA
IB
IIA
IIB
IIIA
IIIB
A
B
C
D
20;5
24;4
18;1
19;7
-
-
x
x
x
x
Continua na próxima página
112
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
20;9
18;9
20;2
18;7
18;2
18;2
18;1
18;5
18;3
20;9
17;6
18;9
17;9
19;9
20;2
17;5
Total .....................................
-
-
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
13
(65%)
x
x
x
x
x
x
-
x
7
(35%)
0
Fonte: Dados da pesquisa
Na Tabela acima, podemos observar que 65% dos acadêmicos encontram-se no nível
IIB, já tendo posse de todos os elementos necessários à criação da lei geral da combinatória,
no entanto, ainda possuem dificuldade em conceber a idéia da combinação, ou seja, não
possuem uma hipótese explicativa. Ainda não têm esquemas e estrutura mental suficiente para
verificar o caráter integrado das operações que efetuam e nem de organizar os fatos em termos
de dissociação para contemplar todas as combinatórias. São capazes de perceber os fatores
envolvidos, mas desde que presentes no observado. Não refletem sobre a ação realizada o que,
portanto, impossibilita a tomada de consciência. Estruturalmente, não tem construído um
método sistemático que possibilite considerar todas as possibilidades, pois o pensamento
trabalha por associação, com pequenas sistematizações e correspondências sucessivas. Não
conseguem ainda um sistema completo pela inexistência de uma correspondência geral e que
combine todas as possibilidades.
Se transpusermos essa capacidade cognitiva para o universo da aprendizagem da
matemática podemos considerar que na formação de qualquer noção nesse nível ela se faz
como se tivesse um caráter físico, ligado à situação concreta. Para esses acadêmicos as noções
abstratas se tornam difíceis e impossíveis de entender, por não terem sido desenvolvidas
estruturas capazes dessa abstração.
Outro nível de desenvolvimento, mais desenvolvido e que atingiu 35% dos
acadêmicos foi o IIIA, considerado período inicial do formal quando já possuem capacidade
de organização e sistematização generalizada. Dessa forma, utilizam a lógica das proposições
113
e são capazes de considerar dois sistemas independentes que interagem e conseguindo assim
ligar todas as associações entre elementos, bem como, dissociar a realidade bruta, ou seja, os
fatores envolvidos. Acreditando na existência de uma lei única e geral, onde cada
possibilidade faz parte de um todo, realizam combinações mais metódicas e completas,
mediante sistema de operações de 2ª potência. A estrutura de pensamento dedutiva, no plano
do possível, parte de uma idéia particular para a generalização, onde as combinações
começam a fazer parte de um conjunto de combinações possíveis, sem negligenciar nenhuma
associação, viabilizando assim unir todas as possibilidades entre si.
Não encontramos nenhum acadêmico no nível IIIB, quando compreendem a lei e
efetivam a equilibração do sistema que possibilita realizar combinações completas
envolvendo e esgotando todas as possibilidades.
Baseado na experiência dessa prova da combinatória devemos considerar, no âmbito
da construção dos conceitos, do raciocínio lógico-matemático e do pensamento matemático a
importância do princípio da coordenação de ações, numa experiência ativa, de efetivo
significado cognitivo. O uso de procedimentos essencialmente técnicos da prática de ensino
não são adequados do ponto de vista de como se aprende. O ensino para ter bons resultados
deve ser adequado à forma como se processa o aprendizado, ou seja, como ocorre o processo
de desenvolvimento. Nesse sentido, os métodos devem estar relacionados e em acordo às
concepções epistemológicas. Não podem ser puramente verbais, mas sim, desenvolvidos com
atividades práticas, intuitivas, lógicas, como classificar, organizar, fazendo intersecções,
instruções complexas, criando e fazendo perceber a utilidade dessas noções, encontrando
nelas um sentido e assim despertando o interesse pelo aprender.
Existe uma relação entre o entendimento da matemática com o nível cognitivo e que
para tanto se faz necessário métodos de ensino que estimulem o desenvolvimento de conceitos
e operações matemáticas. Podemos nos referir como exemplo a aprendizagem e o domínio
das operações básicas. Elas são fundamentais para as etapas seguintes quando se estruturam
conceitos mais complexos e que exigem o domínio lógico e compreensão dessas operações
básicas. Dessa forma faz-se necessário que os professores, já no ensino básico nos primeiros
contatos dos acadêmicos com problemas de contagem, descrição e enumeração devem
trabalhar e criar situações e estratégias sistemáticas com problemas que envolvam pensamento
combinatório elementar para aquisição das estruturas em desenvolvimento.
A prova operatória da combinatória envolve conceitos apreendidos no ensino médio
(Análise Combinatória) e percebemos que a maioria dos sujeitos, mesmo relacionando a
experiência da prova operatória, com o já aprendido a nível curricular tinham apenas uma leve
114
lembrança sem demonstrar terem algum método, fórmula, principio multiplicativo, ou seja,
uma técnica de resolução do problema apresentado para chegar ao número de possibilidades.
Da mesma forma, outros acadêmicos não manifestaram nenhuma ligação da prova da
combinatória com algum conceito ou noção matemática estudada curricularmente. Essa
dificuldade de raciocino combinatório, relativo ao conteúdo curricular sem significado
cognitivo é recorrente pelo aprendizado mecânico, padronizado, mediante fórmulas e
algoritmos sem entendimento ou compreensão.
A combinatória é fundamental para reforçar os poderes do pensamento em combinar
objetos ou fatores entre si, ou idéias ou proposições ainda raciocinar sobre a realidade
apresentada não mais limitada e concreta, mas dentro de um número qualquer de
combinações, onde as novas operações comportam todas as combinações. Usa poderes
dedutivos de inteligência, superpondo às operações elementares num sistema de operações
proposicionais.
O raciocínio combinatório possibilita contagem, enumeração e esgotamento do número de
possibilidades, sendo importante para analisar situações visando esgotar suas possibilidades
de organização. A aprendizagem do raciocínio combinatório é um componente importante do
pensamento formal e necessário para o raciocínio lógico geral utilizado em todas as áreas de
conhecimento inclusive da matemática. O raciocínio combinatório não deve ser aprendido
meramente como uma lista de fórmulas, mas sim mediante situações problemas.
Os conceitos da análise combinatória devem ser trabalhados numa nova concepção
de ensino aprendizagem, que mesmo com rigor matemático seja prazerosa pelo espaço que
possibilita instigar, participar, interagir, refletir, construir e re-construir conhecimento. Essa
dificuldade encontrada nos acadêmicos é decorrente da deficiência do ensino oferecido na
educação básica, com ênfase em fórmulas.
5.3.2.2
Prova das relações entre superfícies e perímetros dos retângulos
A prova operatória de relações entre superfícies e perímetros dos retângulos avalia a
construção da abstração reflexionante, considerada por Piaget et al. (1995) o motor do
desenvolvimento cognitivo.
Mediante as respostas obtidas por meio da manipulação de dois dispositivos, nos
quais área e perímetro variam inversamente, a construção da abstração reflexionante é
analisada em 5 níveis (IA, IB, IIA, IIB e III), que definem a substituição gradual da
115
abstração empírica.
No nível IA, a análise do sujeito baseia-se na simples aceitação das aparências,
retiradas pela modificação e mudanças perceptivas da figura que fazem acreditar que tanto a
superfície, quanto o perímetro em algum momento aumentam e, no outro, diminuem
simultaneamente. Não há busca em ser coerente, mesmo na transformação T3 do instrumento
A, no qual as respostas podem indicar diminuição da superfície e aumento do perímetro. A
abstração empírica é predominante, fornecendo dados de fato, sem reunir em um todo o
sistema de transformações e, sobretudo, sem fornecer justificativas coerentes.
Não encontramos nenhum sujeito no nível IA.
No nível IB, por constatar o que é aparente e não ter noção da compensação (o que se
retira de um lugar é colocado em outro) há dúvidas entre aumentos e diminuições dos
dispositivos. Os sujeitos não conseguem perceber a conservação do perímetro (barbante),
porque se prendem ao que acontece com o comprimento do fio. A percepção das mudanças
faz acreditar que o perímetro ficou menor em uma transformação e maior em outra, ou viceversa. Existe uma correspondência global entre superfície e perímetro (ambos aumentando e
diminuindo ao mesmo tempo). Observa-se, portanto, a independência da conservação do
perímetro em relação à conservação da área.
Como a abstração empírica se baseia no observável, há tendência a contradições,
pois o mecanismo cognitivo não é capaz de organizar e reorganizar o pensamento que não é
reflexivo.
Não encontramos nenhum sujeito no nível IB.
No nível IIA, as respostas corretas começam a se impor, ocorre a descoberta da
invariabilidade do barbante (perímetro). Descobrem que a disposição dos lados muda, mas
que se compensam, ou seja, um lado aumenta e outro diminui. A análise do perímetro é
baseada apenas na forma dos lados. No entanto não compreendem a conservação do
perímetro, em termos matemáticos, ou seja, a relação lógico-matemática envolvida:
Sujeito T (20;2) Na manipulação do Instrumento A (T1 e T2): Eu falo
que a formiga e o cupim, independente da corda e dos pontos que fica
eles comem a mesma quantidade porque apesar disso a proporção da
corda se mantém. Enquanto num aumenta a largura, no outro diminui
o comprimento (T1). Alegou que o tamanho da corda é a mesma e que
o tamanho não mudou. Que ao mesmo tempo em que está mais
comprido ficou menos largo. Que só a figura mudou e que, portanto, a
área é a mesma.
116
No nível IIB, uma abstração reflexionante infrutífera impõe-se e faz com que o
sujeito deforme a metade dos fatos, reprimindo o controle da abstração pseudo-empírica. Por
causa das conservações generalizadas, existe a nítida tendência à identificação, acreditando
que, na mudança do dispositivo, as principais propriedades se mantêm ou se conservam. Os
sujeitos acreditam nas duplas conservações e que ambos (perímetro e área) possuem uma
relação direta de conservação.
Em razão do pensamento comutativo dessa dupla conservação, o sujeito tem uma
forte tendência a explicar a conservação da área em função do perímetro ou a comparação da
área com o perímetro. Alguns exemplos:
Sujeito P (17;6). Na análise do perímetro do instrumento B (T1 e T2):
O caminho da formiga é o mesmo, porque as madeiras só foram
colocadas de uma forma diferente e a área também porque é a mesma
madeira anterior. Na T2 (...) parece que ficou mais comprido, mas
continua a mesma coisa. Só parece um caminho maior por ser mais
comprido e mais estreito, mas a distância percorrida vai ser a mesma.
Na análise da área: (...) É a mesma em função da distância percorrida
pela formiga.
Sujeito R (17;6) Em (T2) no instrumento (A) explica: É a mesma
área porque o fio não estica e nem se comprime. Então, a área é a
mesma. Se a distância e o fio estiverem esticados, então a área é a
mesma também.
Conforme observamos anteriormente, os sujeitos sustentam que tudo se compensa
em razão da sua primazia geral. Essa transformação (T3) no instrumento (A) causa conflito,
com tomada de consciência, mas de ordem da reconstituição das relações descobertas, com a
abstração pseudo-empírica. Mas, como essa reconstituição não ocorre ainda em nível da
reflexão sobre o refletido, característico do raciocínio abstrato, conduz ao erro, e a primazia
abusiva das conservações fundadas nas compensações impostas prevalece. O resumo e a
comparação atingem, nesse nível, apenas as esquematizações por identificação do resultado
ou por oposição, não conforme, entretanto, às ultimas operações sustentadas por ocasião das
questões:
Sujeito: L (18;1). Na comparação do instrumento (A e B): A ideia dos
dois é a mesma. O contorno e volume são o mesmo nas ripas e na
prancha. Não vi, porque não enxergava o que estava dentro, mas
como você me deu as ripas eu pude enxergar que é o mesmo que ele
117
comia. Mas a ideia é a mesma de ir diminuindo. Aqui na madeira a
formiga anda o mesmo que na prancha, pois as madeiras só mudam
de lugar. E em relação ao cupim? Primeiro eu disse não mudava na
prancha, mas vendo agora aqui nesse das madeiras eu acho que não
muda, porque não tira o espaço, porque mostrou que as tabuas
continuavam as mesmas. Então, me fez crer que seria o mesmo em
relação ao cupim. Acho que ele vai comendo sempre o mesmo. No
começo você tinha concluído que diminuía a superfície no
instrumento (A)! Sim, mas agora acredito que seja o mesmo. Mudou
de ideia em função do que percebeu na prancha? Sim. Conclui que a
formiga e cupim são os mesmos nos dois jogos. Tem certeza? Certeza
não. O jogo então é igual? Sim. A prancha mostra bem onde a formiga
anda, mas não mostra direito a parte do cupim, mas no outro da
madeira é ao contrário. Mostra mais a parte interna do cupim e não
tanto onde a formiga anda.
No nível III, o sujeito emite respostas corretas sobre as relações entre superfície e
perímetro. Embora exista um raciocínio lógico que embasa o pensamento, algumas dúvidas
entre aumentos e diminuições persistem, principalmente no momento de entrada nesse nível.
As respostas sobre as relações entre superfícies e perímetros dos retângulos, são
corretas. Por adquirir a capacidade de reflexão sobre o refletido, considerada uma reflexão de
grau superior, o sujeito liberta-se da incompatibilidade das duas conservações possibilitando
fazer constatações mais reais. Ocorre uma reorganização reflexionante de reflexão sobre a
reflexão.
O sujeito O (20;9) na transformação do instrumento A, demonstrou dúvidas nas
primeiras regulações levando a procura de explicações quanto a proporcionalidade entre o
perímetro e área, mas seu raciocínio matemático aliado a sua noção lógica proporcional
possibilitou reflexão, tomada de consciência e explicação para o problema:
Vai ser o mesmo tanto. Estou tentando fazer a conta. Que tipo de
conta? Da área com relação ao diâmetro. Como você faz isso? Deixa
eu pensar!.Não!. Vai mudar. Porque o diâmetro vai ser sempre igual,
mas a área não. Ela vai diminuindo conforme vou achatando. Como
você concluiu isso? Calculando. Como assim? Eu na minha mente eu
coloquei. Aqui no quadrado eu atribui 4 valores iguais de cada lado.
O diâmetro vai ser 16, mas a área vai ser 16. De onde tirou 16? Eu fiz
um lado x o outro. E para o diâmetro eu somei os 4 lados. No branco
(T1) eu aumentei um para o comprimento e diminui um na altura,
como se fosse 5 e 3 . Se eu somar os 4 lados vai dar 16 de novo, mas
área 3 x 5 vai dar 15. Então diminuiu. Pro (T2) se eu usar no
comprimento 6 e na altura 2... 12, 14, 16. Vai dar 16 de novo o
diâmetro, mas dai 2 x 6 vai dar a área. Então a parte do cupim vai
diminuindo.
118
No excerto do protocolo de O, fica bem claro de que este sujeito tem estrutura de
pensamento formal, revelada inclusive nas suas estratégias de pensamento para dar conta da
sua análise no instrumento A (T3): Que análise você faria para ter certeza? Que para o mesmo
diâmetro quanto mais eu diminuo as laterais mais vou diminuindo a área também. Nesse
sentido fez um resumo coerente: O caminho da formiga vai ser sempre o mesmo, mas quanto
mais comprido e menos largo menor vai ser a área do cupim. O caminho da formiga continua
sendo o mesmo porque o fio é o mesmo. Conforme vou diminuindo dos lados eu vou
aumentando o comprimento também. No comparativo dos dois instrumentos não teve dúvida:
São semelhantes. Nesses dois, um tem uma proporção para uma coisa e o outro tem para
outra.
Percebemos no excerto que o sujeito O percebe a diferença entre o instrumento A e
B, sendo capaz de formular a comparação com uma mobilidade de pensamento frente às
dificuldades impostas em qualquer novidade e complexidade do problema. É capaz, portanto,
nesse nível de organizar e responder a todas as necessidades do problema.
A Tabela 7, a seguir, apresenta os dados obtidos na aplicação da Prova Operatória
das Relações entre superfícies e perímetros dos retângulos, para diagnóstico da construção da
abstração reflexionante, mostrando os níveis de desenvolvimento relativos aos participantes
da pesquisa.
Tabela 7 – Níveis de construção da abstração reflexionante - Prova das Relações entre
Superfícies e Perímetros dos Retângulos - 1º sem./2014.
PARTICIPANTE IDADE
IA
IB
IIA
IIB
IIIA
IIIB
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Q
R
20;5
24;4
18;1
19;7
20;9
18;9
20;2
18;7
18;2
18;2
18;1
18;5
18;3
20;9
17;6
18;9
17;9
-
x
x
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Continua na próxima página
119
19;9
S
20;2
T
17;5
U
Total........................................
.. Percentual............
0
0
x
x
x
3 (13%) 13 (67%) 4 (20%)
0
Fonte: Dados da pesquisa
Mediante os resultados obtidos na Prova das Relações entre Superfícies e Perímetros
dos Retângulos podemos constatar que 13% dos sujeitos estão no início do nível IIA, no qual
o sujeito opera por abstração empírica e pseudo-empírica, preso ao concreto e ao observável
no objeto e não conseguem realizar uma conservação em termos matemáticos.
Do universo total de acadêmicos 80% estão no nível II (A e B) de desenvolvimento e
20% foram considerados sendo do nível IIIA, cuja estrutura de pensamento já possibilita a
percepção de relações coerentes entre superfície e perímetro. Essa capacidade cognitiva se dá
em função uma reorganização reflexionante que leva a abstração refletida, onde se dá uma
verdadeira reflexão sobre a reflexão ou a capacidade de expressar, de maneira escrita, oral ou
pictórica, os conhecimentos construídos.
O pensamento nesse nível assume uma nova forma de equilíbrio. Torna-se lógico e
proposicional, cuja reflexão já é independente, desprendida totalmente do concreto como no
nível anterior. Os sujeitos consideram o real como um conjunto de relações possíveis e não
mais baseadas no que é observado como no nível anterior. Isso possibilita a capacidade de
dissociarem e interpretar os fatores, idéias, preposições envolvidas e aos poucos conseguir
construir e dominar capacidades envolvidas nos conteúdos e conceitos matemáticos como:
explicar, generalizar, abstrair, deduzindo por preposições, teorizando de forma abstrata,
tirando conclusões, num universo real de transformações possíveis.
Essas características dos processos cognitivos peculiares em cada nível de
desenvolvimento são fatores interferentes para a aprendizagem matemática. Nesse sentido, as
estruturas cognitivas de pensamento, possibilitadas pelos sistemas de abstração, se constroem
mediante um processo contínuo de desequilíbrios, oportunizado por uma ação ativa. Isso
posto faz elucidar uma mudança emergente na prática e visão de ensino, especialmente da
matemática e que ora prevalece como sendo empirista e inatista.
Essa estratégia de ensino em vigor aparece fortemente marcada no sistema
educacional. Nesse contexto especialmente da matemática, observamos um ensino pautado no
predomínio da mera exposição oral e discursiva de conteúdos, priorizando habilidades de
memorização de definições fórmulas e regras, de reprodução, sem evidenciar um verdadeiro
entendimento. Em detrimento da construção do conhecimento, evidenciamos um ritual de
listas intermináveis de exercícios apreendidos mecanicamente, sem problematização e relação
120
com a prática, em detrimento da construção do conhecimento. Isso implicará nas condições
necessárias e favoráveis ao desenvolvimento de estruturas cognitivas desses sujeitos.
Considerando que na aprendizagem se dá uma relação interativa do sujeito com o
objeto de conhecimento podemos afirmar de que os conteúdos matemáticos por terem um
caráter estático, aliado a um sistema de ensino passivo, são ponto crucial como obstáculo para
a sua compreensão. No entanto se este for de caráter dinâmico, auxiliará para que os
acadêmicos consigam realizar construções mentais lógico-matemáticas viabilizando a
aprendizagem. Para Piaget a aprendizagem deve ser um processo que possibilite a construção
ativa do conhecimento e para tanto o acadêmico dever ser participante desse processo,
desenvolvendo assim as suas funções cognitivas, pela evolução das suas estruturas mentais.
Dessa forma a ação pedagógica deve extrapolar o paradigma na transmissão de conteúdos.
A disciplina de Cálculo Diferencial Integral é composta de linguagem e símbolos
matemáticos que não são aprendidos por mera transmissão, mas se constroem por longos
processos de construção aliado a capacidade estrutural do sujeito. As dificuldades de
aprendizagem são decorrentes de alterações estruturais, que repercutem nos processos de
aquisição, construção e desenvolvimento das funções cognitivas. Nesse sentido, a psicologia
cognitiva oferece subsídios para o professor entender os processos cognitivos que envolvem
conceitos matemáticos, bem como, os obstáculos advindos da apreensão desses conceitos. O
professor deve se orientar no sentido de compreender a produção e forma de superação das
defasagens cognitivas mediante uma postura epistemológica consciente.
A necessidade de considerar o processo de desenvolvimento cognitivo, aliado a um
processo de ensino que viabilize essa construção do conhecimento é reforçada pelos
resultados apresentados acima. Se considerarmos que a maioria (80%) dos acadêmicos possui
um pensamento ainda vinculado ao mundo concreto e físico, preso ao real, a forma de ensino
preponderante, meramente transmissivo, não viabiliza processos cognitivos que poderão vir a
libertarem-se do mundo concreto, viabilizando reflexionamento e abstração refletida abstrata,
necessária para a matemática. O professor precisa criar situações que desafiem
cognitivamente, favorecendo o processo de abstração reflexionante, possibilitando a
construção de novos conhecimentos. A maioria dos sujeitos ainda se encontra num nível em
que pela faixa etária, conforme Piaget deveria estar operando tanto logicamente sobre o
mundo real quanto sobre o mundo possível mediante hipóteses.
Sabemos que cada fase de desenvolvimento carrega em si características e
possibilidade de maturação e aquisição de novas estruturas. Nesse sentido conhecendo as
possibilidades o professor poderá oferecer estímulos adequados para um maior
121
desenvolvimento. Dessa forma, apesar das complexidades matemáticas e dificuldades de
aprendizagem resultantes do Nível de Desenvolvimento Cognitivo estas podem ser supridas
ou amenizadas pela construção de experiências matemáticas que viabilizem a abstração e
generalização.
Dessa forma, podemos considerar e inferir como obstáculos prováveis na
aprendizagem da Disciplina de Cálculo Diferencial Integral a limitação por características dos
processos cognitivos presentes na maioria dos acadêmicos. A aprendizagem de conceitos
matemáticos se baseia na capacidade de fazer relações, deduções, indução. São conceitos
abstratos, não diretamente observáveis, de natureza lógico-matemática e não empírica e que
para tanto implicam em estruturas cognitivas não presentes nos sujeitos do nível IIA e IIB,
exercendo, portanto, influência na aprendizagem.
Na aprendizagem da matemática existem dificuldades de natureza conceitual e
compreensão da linguagem matemática que refletem na interpretação de problemas. Diante
disso observamos, na aplicação da Prova das Relações entre Superfícies e Perímetros dos
Retângulos, considerando o conteúdo implícito nessa prova, incoerência no entendimento das
noções de perímetro e área. Para a resolução do problema os acadêmicos tentavam utilizar os
conceitos aprendidos em sala de aula. Alguns participantes utilizavam a fórmula da área de
maneira equivalente para definir o perímetro ou vice versa. Portanto, dado a não compreensão
plena desses conceitos, aliado à característica de pensamento concreto, própria desse nível,
vinculada ao observável físico, não conseguiam resolver corretamente a situação proposta
pela prova, ou seja, distorciam e confundiam a compreensão real da experiência. Assim,
podemos constatar que ter a noção do conteúdo curricular não significa obrigatoriamente o
entendimento e compreensão desses conceitos.
5.3.2.3
Prova de equilíbrio da balança
O experimento com a balança, tarefa denominada “equilíbrio da balança”
(INHELDER; PIAGET, [1976], 1976) tem por objetivo avaliar os esquemas operatórios ou
diferentes níveis do processo de elaboração para o esquema de proporcionalidade e do
equilíbrio entre ação e reação. O equilíbrio poderá ser deduzido por aplicação da simetria ou
por compensação. Assim, o desequilíbrio acontece, quando entre determinados pares e
distâncias não é verificado um sistema de compensação. É necessário, portanto, a utilização
122
do esquema de proporção, descobrindo que distância e peso se compensam exatamente. Dessa
forma, é preciso compreender que se deve considerar a distância entre o peso e o centro da
balança e não o peso e a extremidade dos braços. Assim sendo, é fundamental compreender
que existe uma relação de compensação, distinta da inversão. O equilíbrio só poderá ser
restabelecido, se as variáveis em questão (peso e distância) forem identificadas e relacionadas
de modo apropriado.
Essa prova prevê a categorização em seis níveis assim identificados: IA, IB, IIA, IIB,
IIA, IIIB.
No nível IA (3 a 5 anos aproximadamente), não há qualquer forma de operação
concreta. O equilíbrio é obtido por compensações sensório-motoras não percebendo que este
atua de maneira independente: “Há indiferenciação entre a ação pessoal e o processo exterior”
(PIAGET, 1976, p. 125). As regulações são representativas, por compensação global, sem
reversibilidade sistêmica. Não foram encontrados sujeitos nesse nível.
Da mesma forma também não encontramos nenhum sujeito no nível IB (5 a 7 anos
aproximadamente), quando ocorre a “Articulação das intuições na direção da compensação
dos pesos” (INHELDER; PIAGET, [1976], 1976, p. 125). No entanto, ainda não organizam a
ação e procedem por correções e regulações sucessivas no sentido de equalizar, adicionar e
antecipar transformações por reciprocidade e inversão, na busca da igualdade. Os indivíduos
aqui procedem, portanto, por substituições, adjunções, ou supressões. Não sabem agir
sistematicamente no sentido de conseguir a igualdade. Não operam ainda reversivelmente.
No nível II, os progressos são perceptíveis, em razão da possibilidade de igualar e da
atividade exata dos pesos pela simetria. Entretanto, essa coordenação (peso e distância) ainda
é dada por regulações intuitivas, por tentativas, sem correspondências gerais. Descobre que o
equilíbrio é possível entre um peso menor, colocado a maior distância, e um peso maior,
colocado a menor distância, porém ainda não tiram disso correspondências gerais.
No nível IIA (7 a 9 anos aproximadamente), o pensamento adquire a capacidade de
operar mentalmente e evolui nas suas estratégias de resolução de problemas, descobrindo por
correspondência qualitativa, a lei de que, quanto mais pesado for, tanto mais próximo deverá
estar do eixo central. Os sujeitos tornam-se capaz de seriar os pesos e de verificar suas
igualdades. Realizam somas de maneira reversível e comparam corretamente duas reuniões de
pesos, mas ainda não coordenam de forma sistemática peso e distância. Procedem por
regulações intuitivas e não por proporcionalidade métrica. Descobrem o equilíbrio por ensaio
e erro, deslocamento orientado mas sem tirar correspondências gerais.
Um exemplo dessa capacidade de pensamento no nível IIA, especialmente da
123
coordenação qualitativa e intuitiva de pesos, pode ser demonstrada pelo sujeito T (20;2) que
em razão da sua análise qualitativa intuitiva, tinha o entendimento inicial que para buscar o
equilíbrio é necessário que os pesos fiquem duas medidas de diferença para cada 10 gramas
de peso entre um e outro, apesar de que, na prática, nem sempre isso era considerado:
Sujeito T (20;2): Vou continuar achando a explicação na diferença de
dois...pois agora está 12 e 8, uma diferença de 4 pontos. Então, acho
que a variação de peso vai sempre de 2 em dois. Mas não sei explicar
por que. Ao definir peso e distância para o peso 20 posicionado na
distância 6: O 30 (peso) talvez no 4 (distância). Porque dá diferença
boa e acho que equilibraria. Que explicação você me dá para ter
colocado aí? A diferença de distância entre eles dá 2. Foi o que eu
falei que precisa para equilibrar um peso.
Buscando o equilíbrio para o peso 10 e 40: Um vai no 8 e o outro no
2. Por quê? Pela diferença ... Porque no 30 a diferença de peso é uma
escala de 2. Me explica melhor isso? Porque a diferença entre o
número 40 e 10 é de 30. Nesse caso, eu considero uma diferença de 2
escalas para cada 10.
Percebemos, portanto, que T, por ter uma estrutura de pensamento que coordena o
equilíbrio por deslocamento orientado, de correspondência qualitativa faz acreditar que o
equilíbrio é estabelecido de âmbito geral por uma diferença de 2 escalas proporcionais para
cada 10 gramas. Essa idéia rígida de proporcionalidade de pensamento se manifesta em todas
as situações práticas desse experimento, inclusive ao ter que posicionar pesos não
proporcionais. A exemplo disso transcrevemos a resposta desse sujeito T perante a tarefa de
buscar o equilíbrio entre o peso 15 e 10: Um vai no 4 e o outro entre 5 e 6. Porque a
diferença de 10 para 15 dá uma casa. Como o 10 é mais leve então ele vai mais para a
extremidade no 5.0. Outro exemplo desse padrão único e geral de proporcionalidade no
sujeito T (20;2) evidencia que, mesmo não conseguindo êxito na busca de equilíbrio, sua
estrutura de pensamento não consegue uma explicação coerente para essa proporcionalidade.
Em alguns momentos, obtém êxito no equilíbrio e, em outros, com pensamento influenciado
pelo seu parâmetro rígido de proporcionalidade. Não obtém êxito no equilíbrio porque não
conseguiu ver uma relação coerente entre os pesos e a medida para o equilíbrio, ou seja, uma
relação entre ambos. Essas noções e análises apenas qualitativas permitem certas inferências,
porém deixam certos casos indeterminados.
A relação para o equilíbrio não é métrica conforme o pensamento de T: O mais
pesado você deve colocar mais perto da origem e o mais leve você coloca com referencia ao
124
mais pesado na extremidade. Nessa relação de peso e distância para conseguir o equilíbrio, T
(20;2) considera que: Há diferença de peso nas extremidades. Assim este sujeito tem clareza
de que para haver equilíbrio precisa: Ver a diferença de peso e tentar considerar uma relação
na medição. Que para saber o lugar que equilibra: Analiso a diferença dos pesos e mais ou
menos a distância que vou colocar um do outro. Percebemos dessa forma que a sua estrutura
de pensamento não permite ainda considerar uma relação geral entre peso e equilíbrio e
distância e, assim, tem a ideia fixa de que o equilíbrio é equivalente a estabelecer para cada 10
gramas de diferença entre os pesos 2 cm de distância entre um e outro.
Por conseguinte, o sujeito B (24;4) pela dificuldade de estabelecer a
proporcionalidade entre pesos procedia por ensaio e erro, com regulação intuitiva baseada na
pouca diferença entre os pesos e assim consequentemente iria um “pouquinho mais para fora
ou para dentro”. As previsões de posicionamento dos pesos baseavam-se como referência nas
regulações anteriores, entre pesos e distâncias, definindo uma escolha aproximada, contudo
nem sempre bem-sucedidas. Mediante a dificuldade de equilíbrio entre dois pesos alegava:
Quanto maior a diferença entre os pesos mais difícil fica para equilibrar. Sua estrutura de
pensamento fazia acreditar que existe uma diferença de uma casa como padrão de equilíbrio
entre dois pesos e que quanto menor o peso mais possibilidade tem de se equilibrar e quanto
mais desproporcionais: São mais difíceis de equilibrar porque são bem distintos. Ao final,
encontrou relação no posicionamento de pesos que são o dobro.
No nível IIB, com idade de 7 a 11 anos aproximadamente, a relação entre peso e
distâncias se torna melhor sucedida, entretanto ainda por correspondência qualitativa e não
por operação de proporcionalidade, mediante proporção métrica, a exemplo do Sujeito O
(20;9) a seguir. Esses exemplos confirmam que, sem a estrutura de proporcionalidade métrica,
o sujeito do nível IIB procura o equilíbrio por um deslocamento orientado, a partir da hipótese
de correspondências qualitativas. Há uma tendência de proceder apenas por adições ou
supressões dos pesos, chegando, assim, a algumas igualdades, mas por deslocamentos, que
ocorrem excepcionalmente e por tentativas (regulações):
Sujeito O (20;9) busca equilíbrio de um peso com o outro
posicionado: O que fez você escolher exatamente esse lugar? Porque
um é metade do peso do outro e por isso coloquei no dobro da
distância. Eles são inversamente proporcionais. Como explica esse
inversamente proporcional? Porque se é metade do peso é o dobro
da distância e o outro que é o dobro do peso é metade da distância.
Haveria condições de colocar esses pesos em outros lugares? Acho
que sim, desde que sejam equivalentes a isso. Se diminuir o mesmo
125
tanto. E se for com um peso que não é exatamente o dobro?
Digamos o 30 e o 10? O maior fica mais longe e o menor mais perto.
Onde exatamente ele iria e por que? O 30 no 2 e 10 no 6. Como
pensou? Porque o 10 é 3 x menor do que o 30 e então o 10 deve ir 3
vezes maior do que o 30.
O Sujeito O (20;9) apresenta a compreensão da noção de compensação, de
correspondência inversa, ou seja, de que um peso compensa o outro, por reciprocidade. No
entanto, por não ter ainda a capacidade de correspondência proporcional métrica, não
consegue resolver todos os problemas. Um exemplo disso é quando se encontra perante dois
pesos desproporcionais. Não utiliza um padrão de pensamento uniforme de análise.
Nesse nível ainda não alcançam a totalidade de noções necessárias para descobrir e
estabelecer a lei do equilíbrio, de que quanto mais pesado for, tanto mais próximo estará do
eixo central. É capaz de verificar igualdades de pesos, fazer adições exatas dos pesos, somar
e comparar corretamente dois pesos, estabelecer simetrias, seriar, comparar distâncias
mediante correspondências gerais de relações envolvidas. Adquirem a estrutura cognitiva
correspondente à do agrupamento, no entanto sem haver ainda composição das partes com as
partes e das partes como o todo. Deste ponto de vista, Piaget (1970) conclui que ele já está
caminhando em direção da lei, mas ainda sem ter uma proporção métrica, por uma simples
correspondência qualitativa. Tende a usar um mecanismo aditivo e subtrativo, por
aproximação. Essa análise ainda é de ordem quantitativa métrica e o sujeito procede por
comparação hipotética aproximada. O sujeito F (18;7), entre dois pesos (30 e 15), que não
eram exatamente o dobro, tende a fazer sua análise hipoteticamente, baseada como sendo
pesos equivalentes: Tento aproximar os meios deles. Digamos que o dobro de 15 seja 30... o
dobro de 10 é 20. Então, eu tento pegar mais ou menos a distância de como se fossem
múltiplos de outro peso. O sujeito I (18;2), por sua vez, argumenta, ao ser solicitado para
verificar o equilíbrio entre os pesos 20 e 50, sendo que este último já estava posicionado na
distância 10: Se fosse 25, a metade do 50, eu colocaria no 5, mas como é 20 eu coloco no 4.
Sua estrutura de pensamento não lhe permite perceber a correspondência do peso com a
distância do eixo para a proporcionalidade, por mais que tenha a noção do que o eixo
representa: Seria a base. Ele deixa zerado o nível.
Registramos algumas explicações sobre o entendimento em relação ao que é o
equilíbrio, manifestadas pelos sujeitos no nível IIB. Conforme o sujeito R (17;9): Um peso x é
vezes a medida. É igual a um peso y igual a sua medida. A medida seria essa relação com a
distância. Nas palavras do sujeito A (20;5): Quanto maior a distância do centro da reta do
126
eixo, mais número elevado (distância) o outro tem que ser para equilibrar. Para resolver as
questões do equilíbrio às estruturas cognitivas de pensamento nesse nível, manifestam-se de
diferentes formas para estabelecer o equilíbrio, revelado pela seguinte pergunta: O que você
considera, procura ver, observa e analisa, para colocar dois pesos em equilíbrio, a qual o
sujeito I (18; 2) responde: Usei da lógica de eliminação de hipóteses. Deixando as mais
plausíveis. O sujeito J (18; 2): Procuro ver quantas vezes o peso cabe no outro para ter a
noção de espaço da unidade de medida que eu devo mexer; O Sujeito O (20, 9), por sua vez,
argumenta: A proporcionalidade do peso tem que ser inversa na distância. Se um peso é duas
vezes menor a distância tem que ser também duas vezes menor. Se os pesos forem 3.5 vezes
maiores que o outro peso é mais complicado saber, por não ter um número fixo. Teria que
fazer contas, mas tem lógica também. Quanto maior a distância do centro da reta do eixo
mais difícil fica pra deduzir o equilíbrio entre os pesos. E o sujeito D (19;7) diz: A única
coisa que eu tenho certeza é de que se colocar o dobro da distância do maior eu vou ter o
equilíbrio.
O nível III, por volta dos 11 a 15 anos, é marcado pelo aparecimento do esquema de
proporção ou da proporcionalidade. A evolução do raciocínio nesse nível no sentido do uso de
estratégias para resolução de problemas divide-se em dois momentos psicológicos: a tomada
da consciência pela descoberta da lei que rege a resolução do problema do equilíbrio, no nível
IIIA e no IIIB a explicação da mesma cuja totalidade se consolida por volta dos 11 a 12 anos,
chegando ao equilíbrio por volta dos 14 a15 anos. A característica marcante é considerar todas
as combinações possíveis, agrupando as ligações parciais em função do conjunto das partes.
No nível IIIA, ocorre por volta dos 11 a 13 anos, com a descoberta da lei do
equilíbrio. Esta é obtida na forma de proporção P/P`= L`/L, como um sistema de
compensação (distância e peso se compensam e quanto maior a distância menor deve ser o
peso), embora sem uma explicação causal específica. A correspondência qualitativa entre
pesos e medidas cede lugar à correspondência quantitativa. Aparece a compreensão das
proporções possíveis, pois essa relação anteriormente é concebida apenas de natureza aditiva
em lugar da proporção P/P`= L`/L, tendo, assim, a igualdade das diferenças P – P`= L`- L. A
simples relação de diferença é substituída pela noção de igualdade dos produtos PL – P`L`. A
quantificação numérica da proporção é precedida por um esquema qualitativo, baseado na
noção de produto lógico e por hipóteses de um objeto (peso).
Nesse nível, constrói-se um esquema da proporcionalidade que corresponde à
proporção inversa das distâncias e pesos (pressões e resistências) e da altura e peso
(inclinações). Essa noção de proporcionalidade aparece no sujeito Q (18,9) e L (18;1) cuja
127
correspondência já é de proporção métrica, conforme transcrição a seguir:
Sujeito Q (18;9). Como você faz para definir o lugar de dois pesos: A partir
da análise dessa proporcionalidade, eu pego e divido um pelo outro vejo
quanto um é maior que o outro e depois multiplico a distância do maior
peso, a posição dele, para por essa diferença no peso entre eles. Aí eu vou
conseguir achar a posição do menor peso.
Sujeito L (18;1). Qual seria o último lugar possível para equilibrar esses
pesos nessa régua? O último lugar seria o 7.0. Porque se eu colocar no8 não
tem lugar na régua. Se colocar no4 (referindo-se ao 50), eu preciso pôr no 8
(referindo-se ao 25). Se colocar um no5, eu preciso pôr o outro no 10, e se
colocar no 10, eu preciso pôr o outro no 12, e se colocar no 7, eu preciso
pôr o outro no 14, e se colocar no 8, não tem como aumentar duas unidades
do 15 (final da régua). O que você considera em relação aos pesos? O peso
mais pesado tem que ficar mais perto do eixo ele de certa forma perde a
forca que ele faz para baixo e o outro aumentando a distância aumenta a
forca que ele faz para baixo. No momento de antecipar a posição de um peso
XI (18;1). Digamos que se eu pegasse hipoteticamente, um peso mais pesado
do que o 50 que já está posicionado na balança. O que você precisaria fazer
para poder equilibrar os dois? Considerando que esse peso seria mais
pesado que o 50 e que seria um terço maior eu teria que afastar mais o 50
que está muito próximo do eixo, na proporção necessária para colocar esse
para equilibrar.
O sujeito Q (18;9) apresenta como característica desse nível
a capacidade de
antecipar, pela noção de reciprocidade, simetria, compensação e proporção. É capaz de
formular a hipótese de que um peso pequeno, a uma grande distância, equivale a um peso
grande à pequena distância. Nesse sentido Q (18;9) é capaz de prever a distância equivalente a
dois pesos. É capaz de perceber a proporcionalidade entre pesos e compreender as proporções
métricas. Tem noção da igualdade dos produtos.
A explicação de igualdade dos trabalhos (deslocamento de forças) já é possível nesse
nível e o sujeito N (18;3) tem evidente a lei na forma da proposição P/P`= L/L`, mas sem uma
explicação causal específica para o fenômeno, conforme Piaget (1970), transparente à razão.
Esse sujeito já tem o esquema de proporções bem constituído no sentido de entender que ela é
inversa da distância e peso P/P`= L`L, relacionado ao esquema operatório de equilíbrio e
usava estratégias diferenciadas para resolver o equilíbrio: operação multiplicativa e divisória.
Multiplicava o peso pela distância, considerando o seu resultado como parâmetro para a
multiplicação do outro peso pela sua distância. O resultado obtido utilizava para dividir por
algum número cujo resultado dará o peso que se procura. Essa foi a estratégia de resolução do
equilíbrio mais utilizada por esse sujeito conforme a lei da proporcionalidade, ambos os
resultados têm que ser iguais; Outra forma adotada por este sujeito foi de dividir os 2 pesos
para ver a proporcionalidade entre os dois pesos (um peso dividido pelo outro peso e o
128
resultado multiplicado pela distância de um para saber o resultado a distância do outro):.
Depois, utilizava esse resultado para multiplicar por um número que fosse compatível ou
desse o mesmo resultado da distância do outro peso já posicionado, conforme exemplo a
seguir .
Sujeito N (18;3) Com um peso (10) posicionado na distância (12) buscando
outro peso e distância para equilíbrio disse que teria mais um jeito de fazer
para saber: Multiplicar a distância pelo peso 10 x 12 que dá o mesmo que 4
x 30 que dá 120 também. [...] Para pré-definição de um peso e distância
compatível para o equilíbrio com o peso 10 posicionado a distância 12,
justificou sua escolha hipotética do peso 30 na distância 12 para o equilíbrio:
Por que colocou ai?
Sabia que a proporcionalidade do 30 (peso
pretendido) dava 3 e que se dividisse o 12 (distância) por 3 dava 4 para por
no 30. Essa é a forma que você adota sempre? Conforme a situação. Aqui
posso também multiplicar a distancia pelo peso (10 x 12) que dá o mesmo
que do outro lado 4 x 30. Solicitado a usar outro peso e distância compatível
com o peso 10 posicionado na distância 12 procedeu da mesma forma. Usei
essa mesma forma de pensamento para posicionar outro peso diferente com
o peso 10 posicionado a distância 12. Por que colocou ai? Sabia que a
proporção deles dava 2 e daí multipliquei o 6 por 2 que deu 12.
O sujeito L(18;1), usando essa mesma forma de pensamento, define: Se eles tiverem
massas diferentes eu divido a maior massa pela menor vai dar, e o número que der e
multiplico pela localização da maior massa e o número que der é onde coloco a menor
massa. Outra forma de análise adotada pelo sujeito foi olhar a proporcionalidade de quanto
um peso era maior do que o outro. Ao ser questionado sobre não estar mais usando o
raciocínio da proporção em que um peso é maior que o outro, usado inicialmente, responde:
Eu abandonei porque ela para números quebrados demorava mais. Pra fazer as contas fica
mais fácil. Se fosse pensar aqui nesse exemplo por aquela forma de análise, você diria o quê?
Que o 15 é 3 x mais pesado que o 45 e, portanto, ele tem que ir 3 x mais distante que o 45 pra
equilibrar. Até o final do experimento, não chegou ao sistema multiplicativo (peso pela
distância).
Conforme Piaget e Inhelder ([1976], 1976), a constituição do esquema de proporções
está relacionada ao período formal, assim como é possível responder que se trata de uma
questão do conhecimento escolar. Porém, os autores apontam exemplos de que o esquema da
proporcionalidade se constitui antes de qualquer ensino. A exemplo disso, questionamos o
sujeito H (18;7) se fez alguma relação desse experimento com algo que aprendeu na escola?
Deslocamento, força e peso. Explica-me esse deslocamento. Não é deslocamento, é força e
peso. Nas estratégias que utilizou no experimento, usou de algum conhecimento aprendido na
129
escola? Só a matemática básica (cálculos). Não usei os cálculos que aprendi em física como
força. Disse que não está lembrado como são esses cálculos.
Não encontramos nenhum participante no nível IIIB, que se consolida por volta dos
14 e 15 anos aproximadamente. Neste nível, o indivíduo inicia a descoberta e a explicação da
lei; descobre que o equilíbrio é dado pela reciprocidade e compensação. Compreende e é
capaz de explicar que há uma relação inversa entre peso e altura. As relações qualitativas
cedem lugar às quantitativas, e o sujeito estabelece proporções métricas multiplicativas entre a
distância e o peso de ambos os lados. Procura explicações para o equilíbrio, chegando à
quantificação numérica da proporção. Considera três variáveis para resolução do problema: o
peso, a distância e a força.
A compreensão do equilíbrio é simultânea à compreensão das proporções, ou seja,
podem-se colocar dois pesos iguais à mesma distância ou colocar um menor,
proporcionalmente à maior distância em um dos braços.
A Tabela 8, a seguir, apresenta os dados obtidos a partir da aplicação da prova do
Equilíbrio da Balança, mostrando os níveis de desenvolvimento relativo aos participantes da
pesquisa.
Tabela 8 - Níveis de construção do equilíbrio- Prova do Equilíbrio da Balança - 1º sem/2014
PARTIC.
IDADE
IA
IB
IIA
IIB
IIIA
IIIB
A
20;5
x
24;4
x
B
18;1
x
C
19;7
x
D
20;9
x
E
18;9
x
F
20;2
x
G
18;7
x
H
18;2
x
I
18;2
x
J
18;1
x
L
18;5
x
M
18;3
x
N
20;9
x
O
17;6
x
P
18;9
x
Q
17;9
x
R
19;9
x
S
20;2
x
T
U
17;5
x
0
0
2 (10%) 12 (60 %) 6 (30%)
0
Total .........................
Fonte: Dados da pesquisa
130
Mediante avaliação do raciocínio cognitivo, e as estratégias utilizadas na resolução
do problema apresentado pela prova operatória do Equilíbrio da Balança, obtivemos vários
níveis de desenvolvimento.
Consideramos, novamente, que as estruturas cognitivas da maioria dos sujeitos
especialmente os que se encontram no nível operatório concreto não são suficientes para
darem conta dos conteúdos que estão previstos na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
Apesar de terem capacidade de interiorizar ações e realizá-las mentalmente com um
raciocínio lógico coerente, este ainda está ligado a objetos ou situações passíveis de
manipulação concreta, pela dependência de compreender as relações mediante especificidades
observadas. Nesse nível, a única operação lógica utilizada em construção é o pensamento
reversível, pois ainda não possuem estrutura de conjunto que integra num só sistema a
inversão e reciprocidade.
No entanto, os acadêmicos que estão no nível IIIA, início do formal, já têm
capacidades mais ampliadas da fase anterior onde irão ampliar o conhecimento tanto em
extensão como em profundidade e aos poucos caminhando para uma forma final de equilíbrio.
Já generalizam o pensamento e aumentam o raciocínio abstrato e hipotético-dedutivo ou
lógico-matemático. Isso possibilita o entendimento dos problemas matemáticos, sem
necessitar mais do concreto. Descobrem a lei que supõe a construção da proporção que não
aprece no sujeito antes do nível IIIA.
No nível formal, o raciocínio ou pensamento lógico é uma função cognitiva presente
e, portanto, como está envolvida na aprendizagem, especialmente da matemática reflete sobre
o desempenho do estudante. Com o pensamento lógico proposicional e novos esquemas
operatórios o sujeito identifica e relaciona os dados entre si. Da mesma forma, a capacidade
de raciocínio abstrato possibilita o raciocinar em situações novas, criar conceitos e
compreender implicações. Nesse sentido, o pensamento formal com uma estrutura dupla que
resulta das coordenações que ocorrem nessa etapa se torna mais elaborada e complexa,
culminando num momento de equilíbrio.
Dessa maneira, os esquemas operatórios formais se apresentam de forma
sincronizada, a exemplo do esquema de equilíbrio mecânico e probabilidades multiplicativas,
correlações e componentes cognitivos. Estes são utilizados na prova do Equilíbrio da Balança.
Considerando a forma de ensino em que ocorre a disciplina de Cálculo Diferencial
Integral de ensino (teórico e expositiva) aliado a estruturas abstratas, necessárias para o
entendimento dos conteúdos e que ainda não são consolidadas nesses sujeitos, há uma
dificuldade para a aprendizagem do cálculo.
131
5.3.3 Resultado da Análise do Rendimento Acadêmico, disciplina de Cálculo Diferencial
Integral
Apresentamos, na sequência, o Gráfico 7 que mostra os resultados da Análise do
Rendimento Acadêmico, com base nas médias finais obtidas na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral.
A avaliação curricular foi realizada pelo professor da disciplina mediante aplicação
de 3 provas, com conteúdos diferenciados: Funções, Limites e Derivadas, com peso 100 para
cada prova.
Gráfico 7 – Média percentual de notas obtidas na Análise do Rendimento Acadêmico
80 a 100
15%
60 a 79
10%
0 a 29
45%
30 a 59
30%
Fonte: Dados do Sistema Acadêmico
Com base na Avaliação do Rendimento Acadêmico, na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral, verificamos que 75%, ou seja, 15 acadêmicos reprovaram na disciplina
em questão, não obtendo a média mínima 6.0, necessária à aprovação. Deste universo de
reprovados, 45% obtiveram média inferior a 30, cuja maioria tirou notas inferiores a 10. Nas
notas de 30 a 59, não houve uma dispersão significativa entre as notas obtidas.
Dos 25% de acadêmicos aprovados, correspondente a cinco acadêmicos, dois
obtiveram média de 70 a 72 e três alcançaram médias equivalentes a 86, 90 e 98.
Considerando a implicação de interferências de domínio de conceitos prévios para a
aprendizagem dos conteúdos realizamos uma análise comparativa por grupo de acadêmicos
aprovados e reprovados, das notas obtidas por prova realizada com base no conteúdo
132
implícito (Funções, Limites e Derivadas). No universo de acadêmicos aprovados podemos
perceber que todos obtiveram comparativamente notas equivalentes e aproximadas. Isso vem
a corroborar a idéia de que possuem um entendimento geral dos conceitos, já que esses
conteúdos são interligados e se complementam. Portanto, demonstram um entendimento
compatível ao necessário quanto ao domínio dos conceitos matemáticos. Numa análise dos
75% dos acadêmicos reprovados, observamos que na primeira avaliação, que trata sobre
conteúdo de funções, a maioria não obteve nota satisfatória. Tendo em vista que esse
conteúdo envolve conceitos básicos utilizados e abordados nos posteriores previstos, como
Limites, Derivadas e Integrais, o rendimento da maioria ficou prejudicado na avaliação desses
conteúdos. Esta dificuldade em Funções como conteúdo básico de Ensino Médio se
confirmou no resultado da Avaliação do Conteúdo Matemático.
Mediante essa análise comparativa individualizada, das notas obtidas nas 3 provas
aplicadas que avaliaram conteúdos de Funções, Limites e Derivadas constatamos que os
acadêmicos que não superam a apropriação dos conceitos implícitos em Funções levando por
base a nota obtida,
não obtiveram um bom desempenho nas avaliações de
Limites e
Derivadas. Percebemos, na maioria dos casos, que as notas da segunda e da terceira avaliação,
que corresponde a Limites e Derivadas, eram significativamente menores àquela obtida na
primeira avaliação envolvendo Funções. Em alguns casos, percebemos uma equivalência e
homogeneidade entre as três notas; em outros, uma melhora significativa e depois o
retrocesso. Houve, em alguns casos, comprometimento no resultado final pela não realização
de uma determinada prova.
Nesse sentido, podemos afirmar que o domínio de idéias, noções e conceitos
elementares da matemática foi um implicador interferente na aprendizagem e no conseqüente
resultado do desempenho curricular na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
5.3.4 Análise comparativa do Resultado final da Avaliação do Conteúdo Matemático e da
Análise do Rendimento Acadêmico
A avaliação do Conteúdo Matemático foi realizada na primeira e segunda semana de
início do semestre letivo, antes do contato dos acadêmicos com a disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. A Análise do Rendimento Acadêmico foi realizada ao final do semestre
letivo considerando a necessidade de emissão da média final da disciplina no sistema
acadêmico.
133
Apresentamos, na Tabela 9 e no Gráfico 8 a seguir , uma análise comparativa dos
resultados de notas
obtidas na Avaliação do Conteúdo Matemático e na Análise do
Rendimento Acadêmico.
Tabela 9 – Resultado de notas da Avaliação do Conteúdo Matemático e da Análise do
Rendimento Acadêmico - Disciplina de Cálculo Diferencial Integral – 1º sem./2014.
PARTICIPANTE
IDADE
MÉDIA FINAL/ RESULTADO
ACM
Resultado
ARA
Resultado
A
20;5
11
Reprovado
29
Reprovado
B
24;4
11
Reprovado
20
Reprovado
C
18;1
8
Reprovado
06
Reprovado
D
19;7
28
Reprovado
72
Aprovado
E
20;9
18
Reprovado
25
Reprovado
F
18;9
17
Reprovado
08
Reprovado
G
20;2
34
Reprovado
08
Reprovado
H
18;7
14
Reprovado
34
Reprovado
I
18;2
23
Reprovado
07
Reprovado
J
18;2
42
Reprovado
48
Reprovado
L
18;1
32
Reprovado
90
Aprovado
M
18;5
53
Reprovado
55
Reprovado
N
18;3
57
Reprovado
54
Reprovado
O
20;9
4
Reprovado
98
Aprovado
P
17;6
20
Reprovado
15
Reprovado
Q
18;9
39
Reprovado
86
Aprovado
R
17;1
15
Reprovado
70
Aprovado
S
19;9
45
Reprovado
07
Reprovado
T
20;2
24
Reprovado
38
Reprovado
U
17;5
18
Reprovado
42
Reprovado
Total ARA
Total ACM
REPROVADOS
20
100%
REPROVADOS
15
75%
APROVADOS
0
0%
APROVADOS
5
25%
Fonte: Dados da Pesquisa e do Sistema Acadêmico
134
Gráfico 8 - Análise comparativa de Notas - Avaliação do Conteúdo Matemático e Análise do
Rendimento Acadêmico - Cálculo Diferencial Integral.
ACM
ARA
13
9
7
6
3
2
0 a 29
30 a 59
0
0
60 a 79
80 a 100
Fonte: Dados da Pesquisa e do Sistema Acadêmico
No comparativo de resultados entre os dois instrumentos, percebemos que nas notas
de 30 a 59, existe certa similaridade de resultados. No entanto, nas notas inferiores a 30
comparativamente observa-se que na Avaliação do Conteúdo Matemático os resultados
revelam que existe um menor desempenho se comparado ao que o acadêmico obteve na
Avaliação do Rendimento Acadêmico.
No demonstrativo de notas entre 60 a 100 os resultados foram bastante equivalentes,
ou seja, existe uma proporcionalidade no número de acadêmicos entre as médias estabelecidas
na Avaliação do Rendimento Acadêmico, sendo que não houve nenhum acadêmico que se
enquadrasse nesse resultado na Avaliação do Conteúdo Matemático.
O que podemos observar é a existência de coerência e similaridade de resultados,
entre o baixo rendimento em ambos os instrumentos.
Numa análise “individual” e comparativa das notas entre os dois instrumentos, ou seja,
da Avaliação do Conteúdo Matemático e Avaliação do Rendimento Acadêmico, podemos
perceber, na maioria dos acadêmicos, que os resultados foram bastante próximos e
equivalentes. Nessa análise constamos que a diferença de notas entre ambas varia entre 2
décimos a 18 pontos. Da mesma forma numa análise coletiva “geral” as notas entre as duas
avaliações são proporcionais, se comparado à quantidade de vezes em que elas são maiores e
menores entre elas.
135
5.3.5 Análise do Nível de Desenvolvimento Cognitivo, Análise do Conhecimento
Matemático e Análise do Rendimento Acadêmico.
A Tabela 10, a seguir, apresenta resultados comparativos por instrumento aplicado,
ou seja, da Avaliação do Conteúdo Matemático, Análise do Rendimento Acadêmico na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral e o Nível de Desenvolvimento Cognitivo obtido
mediante a aplicação das provas operatórias.
Tabela 10 – Comparação da Avaliação Conteúdo Matemático, Análise do Rendimento
Acadêmico e Nível de Desenvolvimento Cognitivo – 1º sem./2014.
IDADE
PARTICIPANTES
20;5
24;4
18;1
18;1
20;9
18;9
20;2
18;7
18;2
18;2
18;1
18;5
18;3
20;9
17;6
18;9
17;9
19;9
20;2
17;5
PROVAS OPERATÓRIAS
Resultado final
Nível de desenvolvimento
ACM
ARA
IA
IB
IIA
IIB
IIIA
IIIB
A
R
A
R
P C B P C B P C B P C B P C B P C B
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
0
0
0
6
7
4
12
13
13
2
0
3
0
0
0
0
0
0
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
INSTRUMENTO
x
x
-
-
-
-
-
-
x
x
x
-
-
x
x
-
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
x
x
x
x
x
x
x
-
x
x
x
x
x
x
-
-
-
Total
Parcial
0
20
5
15
TOTAL
GERAL
0
20
5
15
0
0
5
38
17
0
0
100%
25%
75 %
100%
100%
9%
63%
28%
100%
Legenda:
A-Aprovado
ACM
ARA
R- Reprovado
Provas
Operatórias
P –Relações entre Superfícies e
Perímetros dos Retângulos
C-Combinatória
B – Equilíbrio da Balança
Fonte: Dados da Pesquisa e do Sistema Acadêmico
-
136
Na avaliação do Nível de Desenvolvimento Cognitivo, se considerarmos a
classificação dos 20 sujeitos em cada uma das 3 provas operatórias realizadas podemos
observar que a maioria classificou-se no nível IIB. Essa classificação mostrou um percentual
de 63% classificados no nível operatório concreto IIB, sendo que 9% no nível IIA . Os demais
28% estão no período inicial do operatório formal IIIA, sendo que nenhum alcançou o nível
mais elevado de desenvolvimento IIIB.
Considerando que todos os acadêmicos não obtiveram êxito na Análise do
Conhecimento Matemático, realizamos abaixo uma análise comparativa do Nível Cognitivo
dos acadêmicos separadamente por rendimento na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
Sendo assim, segue abaixo o gráfico 9 e 10 que apresenta o Nível Cognitivo obtido
nas três provas operatórias dos acadêmicos reprovados e aprovados na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral do nível. Representamos por sujeito a freqüência cumulativa total em que
foram classificados nas três provas.
Quantidade de Provas Operatórias
Gráfico 9 – Demonstrativo dos níveis cognitivos obtidos nas provas operatórias dos
acadêmicos “reprovados” em Cálculo Diferencial Integral.
4
3
IB
IIA
2
IIB
IIIA
1
IIIB
0
A
B
C
E
F
G
H
I
J
M
N
P
S
Alunos
Fonte: Dados da Pesquisa e do Sistema Acadêmico
T
U
137
Ao analisar o nível de Desenvolvimento Cognitivo dos 75% acadêmicos,
correspondente a 15 pessoas, reprovadas na disciplina de Cálculo Diferencial Integral,
podemos perceber que: 7 acadêmicos
encontram-se
no nível IIB, que corresponde ao
operatório concreto e 8 acadêmicos no nível inicial IIIA do operatório formal, mas ainda não
constituem estrutura de nível pleno de desenvolvimento.
Considerando o resultado anteriormente descrito, podemos reafirmar que, os
acadêmicos que estão no nível IIB, possuem ausência de instrumentos cognitivos da
inteligência, o que compromete e dificulta a aprendizagem de determinados conteúdos,
conforme apontaram, também, outros estudos apresentados na revisão bibliográfica dessa
dissertação. Isso vem ao encontro da idéia de que a formação de estruturas cognitivas é
necessária à aprendizagem dos conceitos matemáticos.
Tal constatação corrobora para a compreensão de que o insucesso no rendimento na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral não é influenciado ou determinado unicamente
pelas defasagens de conteúdos matemáticos, comprovadas pelo instrumento aplicado de
aferição das noções básicas presentes nesses acadêmicos, mas também pela falta de estrutura
cognitiva para a aprendizagem, pois ambos os fatores estão inter-relacionados.
A aprendizagem é compreendida aqui, conforme os pressupostos de Piaget ([1966],
1975a), como resultado de um processo de desequilíbrio-equilíbrio - “processo de
equilibração”. Este processo ocorre por uma intensa atividade de assimilação e acomodação,
conduzindo à ampliação de seus recursos cognitivos e conceituais (PIAGET, [1966], 1975a,
p. 379). A ausência da compreensão das ideias e conceitos essenciais do cálculo é uma fonte
de obstáculos epistemológicos que surge no Ensino Superior, na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral.
Há, no entanto, uma questão trazida pelos nossos dados, de que os oito acadêmicos
que apresentaram nível cognitivo de raciocínio correspondente ao período inicial do nível
formal, ou seja, IIIA, teoricamente têm melhores condições estruturais, se comparados aos
demais para a apreensão e entendimento dos conteúdos matemáticos da disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. No entanto, não obtiveram êxito necessário para garantir aprovação, bem
como, o rendimento foi insatisfatório na Avaliação do Conteúdo Matemático. Dessa forma,
podemos supor implicações de natureza epistemológica, em decorrência da construção
insuficiente de esquemas mentais, as quais parecem ter determinado ou influenciado no
desempenho.
Neste sentido, as condições necessárias para potencializar a construção do
conhecimento, em razão dessa limitação de capacidades estruturais presentes nos sujeitos,
138
tanto da Análise do Conhecimento Matemático, quanto da Avaliação do Rendimento
Acadêmico, não foram suficientes para superar as dificuldades encontradas para o
entendimento dos conteúdos desta referida disciplina.
Para melhor análise e compreensão das interferências na aprendizagem significativas,
reafirmamos algumas características do nível IIIB, necessárias e fundamentais para a
aprendizagem. Essas características se consolidam sobre a base das operações concretas já
presentes e que constituem a fase final do desenvolvimento cognitivo. Posteriormente e
comparativamente, reafirmamos algumas características do nível IIIA, considerado o
momento inicial em que emerge estruturas cognitivas formais, presentes nos 8 sujeitos, as
quais implicam diretamente sobre a aprendizagem de noções e de conceitos previstos na
disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
O nível IIIB é considerado o ápice do desenvolvimento da inteligência e do
pensamento hipotético-dedutivo, pois é o momento em que as estruturas cognitivas alcançam
o nível mais elevado e pleno de desenvolvimento. Essa forma operatória possibilita a
realização de operações de raciocínio abstrato e lógico-matemático, pensando não somente
operatoriamente, mas avançando em direção a raciocínios formais e abstratos. Nesse sentido,
realiza abstrações reflexionantes retiradas das ações sobre o objeto, de forma a considerar
todos os possíveis, capaz de pensar por hipóteses. O pensamento fundamenta-se na lógica das
proposições, que é a lógica de todas as combinações, servindo-se de proposições verbais, para
expressar suas hipóteses e raciocínios, assim como os resultados obtidos.
O sujeito já possui um sistema único, que coordena, entre ele, várias séries e
correspondências diferentes, antecipando o esquema de suas relações, antes de construí-las
efetivamente. É capaz de estabelecer um caráter combinatório, subordinado do real ao
possível e cuja inversão constituiu o caráter funcional mais fundamental do pensamento
formal. É uma estratégia cognitiva essencial que possibilita prever todas as situações e
relações causais possíveis entre elementos, utilizando todas as correspondências
multiplicativas em um sistema global. É a propriedade geral mais importante do pensamento
operacional formal, a partir da qual derivam todas as demais. Baseado em operações, sobre
simples suposições, a pessoa é capaz de abstrair ou antecipar, dados verbais de um problema,
utilizando-se da lógica das proposições, com um número maior de possibilidades operatórias.
Com a capacidade de operação de segunda potência, chega ao conceito de totalidade
operatória, ou operação sobre operação. Operações que se referem a outras operações, que
podem pertencer ao tipo de operações concretas. É capaz, portanto, de construir relações entre
relações, que se referem a outras operações e que dependem psicologicamente do tipo formal.
139
Novos esquemas operatórios aparecem sincronicamente, cuja construção se efetiva por
coordenação de séries, correspondências e antecipação de esquemas de relações, num método
exaustivo, que engloba todas as possibilidades, inclusive inversões e reciprocidades, que
atuam como formas complementares, as quais apenas nesse plano formal podem ser reunidas
num sistema único. Tem ideia da probabilidade, da relação entre as operações consideradas e
todas as operações possíveis. As associações e combinações são metodicamente completas,
com um pensamento matemático refinado. As correspondências combinatórias não são
independentes uma das outras, mas constituem um sistema único, tal que as precedentes
comandam as seguintes. As conquistas desse pensamento podem ser explicadas pelo
equilíbrio alcançado, pela presença da dupla reversibilidade. Esse sistema pressupõe a
intervenção das operações formais. A mudança cognitiva estrutural é profunda e é, em sua
raiz, lógico- matemática.
A transformação das estruturas constitui-se como o núcleo a partir do qual se irradiam
as diversas modificações mais visíveis do pensamento formal.
A estrutura dupla, que caracteriza o pensamento formal, resulta de coordenações que
se processam nessa etapa de desenvolvimento e que atingem um nível significativo de
elaboração e complexidade, representando o momento do equilíbrio cognitivo. Compreende
transformações por inversão, reciprocidade, agrupando-as num sistema único. Raciocina por
meio de uma estrutura de grupo, compreendendo a igualdade entre os produtos das
transformações e o sistema de proporções lógicas. Essa estrutura dupla que caracteriza o
pensamento formal aparece claramente como produto de coordenações que atingem um nível
de equilíbrio final.
Neste sentido, a estrutura formal torna possível um sistema de combinações completas
e sistemáticas, que possibilitam chegar à lei, e assim antecipar o número de combinações
possíveis. A descoberta e compreensão desse sistema, ou seja, da lei que rege, bem como das
relações inerentes é um desenvolvimento da consciência refletida de ordem, regularidade,
característica das operações concretas, no entanto, com estruturas correspondentes ao
equilíbrio pleno, ao ápice do desenvolvimento e da evolução intelectual.
Desta forma, chega ao ponto culminante do desenvolvimento cognitivo e ao equilíbrio
do sistema, garantido pela compensação entre todas as transformações virtuais do sistema,
chegando à forma final de autorregulação do sistema cognitivo, onde nenhuma transformação
causa alteração estrutural do sistema.
No nível inicial do período formal (IIIA), as estruturas cognitivas não estão totalmente
consolidadas, ou seja, os sujeitos não possuem estruturas totais ao nível pleno, correspondente
140
ao ápice do desenvolvimento e à evolução intelectual, de forma que não possuem todas as
características funcionais, dos traços gerais desse tipo de pensamento e estruturais, de
estruturas lógicas do pensamento formal.
É considerado aquele em que a estrutura de pensamento ainda requer alguns avanços
significativos, no sentido de alcançar o potencial pleno de desenvolvimento marcado pela
reflexão da inteligência sobre si mesma. Observamos que esses sujeitos ainda não efetuam,
não sistematizam e nem unem as soluções em um sistema único e global. Ainda não têm a
compreensão de contemplar o resultado num universo de possibilidades, no entanto o
raciocínio demonstra a necessidade da não contradição ou superação da contradição.
Procedem empiricamente e ainda não estão totalmente desprendidos das observações apoiadas
nos objetos concretos; enquanto os sujeitos do nível IIIB utilizam-se das deduções lógicas,
hipóteses, não necessitando mais de manipulação ou referência concreta, do apoio da
percepção, refletindo para além do real presente. Essa limitação do sujeito do IIIA ocorre por
ele não possuir, ou constituir, um sistema operatório de segunda potência, operando por
proposições.
Os acadêmicos caminham na descoberta progressiva da lei, num desenvolvimento
lento e contínuo de consciência de ordem e de regularidade. Mesmo descobrindo a lei, não
compreendem e não chegam a uma generalização construtiva de que se trata de um sistema
único; já os sujeitos do IIIB, por sua vez, alcançam em sua plenitude, por meio da verificação
ou rejeição de hipóteses, sistematizando as combinações possíveis entre as variáveis dadas,
como descobrir o papel de cada uma na produção ou não do resultado esperado. Contudo, no
nível IIIA, a lei não dá lugar a uma explicação causal específica, pois é transparente a razão.
A consciência no nível IIIA consiste apenas numa antecipação vaga e intuitiva, com
dificuldade de abstrair um sistema que dê conta. No entanto, no nível pleno, os indivíduos já
possuem capacidade operatória que possibilita uma estrutura de conjunto. Tentam
compreender o resultado num universo de possibilidades existentes, extraindo deduções
lógicas a respeito da causalidade do sistema, integrando todos os resultados num sistema
único, que não comporta exceções. Ainda não possui a compreensão das relações inerentes
ao sistema adotado para esgotar todas as possibilidades, o que, para o nível IIIB, é
possibilitado pela descoberta e compreensão da lei, viabilizado pelo raciocínio proposicional,
incluindo a geração de hipóteses, observando resultados e extraindo conclusões.
Mostram um pensamento de proporcionalidade, mas têm dificuldade de organizar e
contemplar todas as possibilidades. Têm dificuldade de elaborar e explicar verbalmente e com
lógica o resultado, mesmo quando correto; enquanto que no nível IIIB, com o domínio do
141
pensamento lógico-matemático e dedutivo, as pessoas habilitam a experimentação mental,
que implica em relacionar conceitos abstratos e raciocinar sobre hipóteses.
O raciocínio lógico-matemático ainda procede por adição, subtração e quantificação
numérica da proporção, mas ainda não generalizada para todos os casos, sendo que no estágio
IIIB procede por sistema multiplicativo de ordem, ordenada e sistemática, por associação.
No entanto, considerando o desenvolvimento como processo ativo e continuado, as
estruturas cognitivas possuem abertura de pensamento à progressiva descoberta de novas
possibilidades. Dessa forma, o pensamento formal é, portanto, um movimento espiral e
crescente de reformulações e adaptações. É uniforme e homogêneo, constituindo um sistema
de conjunto e ascende simultaneamente a todos os esquemas operacionais formais. Dado ao
caráter proposicional, atende antes à estrutura das relações entre os objetos do que a seu
conteúdo.
Quantidade de Provas Operatórias
Gráfico 10 - Demonstrativo dos níveis cognitivos obtidos nas provas operatórias dos
acadêmicos “aprovados” em Cálculo Diferencial Integral.
4
3
IB
2
IIA
IIB
1
IIIA
0
D
L
O
Q
R
Acadêmicos
Fonte: Dados da Pesquisa e do Sistema Acadêmico
Analisando e comparando o nível de Desenvolvimento Cognitivo dos 5 acadêmicos
“aprovados” na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, apesar de não terem obtido êxito na
Análise do Conhecimento Matemático, podemos perceber que existe uma relação significativa
entre o desempenho na disciplina de Cálculo Diferencial Integral. Nem todos obtiveram nível
142
de desenvolvimento correspondente ao período inicial do pensamento formal IIIA, no entanto
todos, em alguma prova obtiveram nível operatório concreto IIB.
Apesar de constatarmos que existem defasagens de conhecimentos matemáticos,
revelado pela Avaliação do Conteúdo Matemático, no momento da sua aplicação, isto não foi
um fator considerado preponderante para o êxito na disciplina, tendo em vista prováveis
interferências contributivas e colaboradoras na superação dessas defasagens de compreensão
de conteúdos curriculares. Podemos considerar que no caso especifico desses acadêmicos
reprovados que o seu resultado mediante a aplicação do instrumento no período inicial de
ingresso na. Universidade pode ter sofrido influências na superação dessas defasagens ao
longo do processo de aprendizagem dos conteúdos desenvolvidos na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral. Podemos considerar portanto que essas deficiências de conhecimentos
básicos podem ter ser sido supridas ao longo do semestre por contributos diversos, cuja
análise foge ao foco da nossa pesquisa. A potencialidade para superação das deficiências de
conteúdos podem ser relacionadas aos mecanismos estruturais formais presentes nos sujeitos,
visto que os acadêmicos apresentam estruturas cognitivas suficientes para superação dessa
defasagem. Acreditamos que vários fatores podem ter contribuído no sentido de resgatar esses
conceitos, assim como nem sempre a aprovação revela que o alcadêmico apropriou-se dos
conceitos e de todo o contexto teórico em nível de entendimento efetivo e que justifique essa
aprovação. Essa análise, porém foge ao campo de pesquisa aqui proposto.
143
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Numa
análise
que
considera
processos
cognitivos
envolvidos
no
ensino/aprendizagem, emerge a necessidade de uma visão crítica da construção do
conhecimento e dos mecanismos necessários para a sua constituição. Isso remete a considerar
e levarmos em conta as implicações cognitivas envolvidas no processo de construção do
conhecimento para um efetivo aprendizado.
Os caminhos trilhados nessa pesquisa, fundamentada na Epistemologia Genética de
Piaget, mostraram a realidade e a problemática envolvida na disciplina de Cálculo Diferencial
Integral dos cursos de Engenharia de uma Universidade pública.
Por meio dessa pesquisa, pudemos constatar e comprovar índices representativos de
reprovações, cancelamentos e desistências nessa referida disciplina e a dificuldade dos
acadêmicos reprovados em transpor e superar essa realidade, mesmo depois de retomada do
curso mediante uma nova matrícula.
Da mesma forma, foi possível inferir sobre a bagagem de conhecimentos
matemáticos obtidos em níveis anteriores de escolarização, mediante a comprovação de
defasagens especialmente em conceitos e noções relativas ao Ensino Médio as quais,
comprometeram o desempenho acadêmico na disciplina de Cálculo Diferencial Integral. A
defasagem de formação básica em nível conceitual, de expressão e de linguagem matemática
interfere, compromete e dificulta o entendimento dos conteúdos previstos na disciplina.
Aliado a não compreensão de conceitos básicos de matemática e o consequente
comprometimento na disciplina de Cálculo Diferencial Integral, confirmamos ainda a
existência de fatores cognitivos que implicam epistemologicamente na construção do
conhecimento matemático.
Pelos resultados encontrados nessa pesquisa, confirmamos, assim, a hipótese desse
trabalho, ou seja, de que as Dificuldades de Aprendizagem do cálculo têm relação com o
Nível de Desenvolvimento Cognitivo, ou seja, são explicadas pela ausência de instrumentos
cognitivos da inteligência, da falta de estruturas de pensamento, dificultando a aprendizagem
de determinados conteúdos. É necessário, portanto, que o indivíduo tenha estruturas
cognitivas formais plenas que permitam a ele estabelecer as relações necessárias para a
compreensão do conhecimento, atribuindo significado ao mesmo.
144
A partir dos resultados obtidos, podemos relacionar algumas implicações para a
educação. Nesse sentido a realidade demonstrada quanto a aprendizagem prévia, desempenho
escolar e desenvolvimento cognitivo, vêm juntar-se às discussões de mudanças emergentes no
sistema acadêmico de ensino da matemática.
A pedagogia atual deve ser revista, pois
evidencia uma concepção empirista, inatista e predominantemente diretiva, com abordagem
tradicional em detrimento à construção ativa e libertadora. Em decorrência dessa forma e
modelo de ensino teórico, técnico e conceitual da matemática, a disciplina de Cálculo
Diferencial Integral tem se apresentado desestimulante, desarticulada e sem caráter aplicativo
prático com a realidade, desfavorecendo, assim, um aprendizado real e significativa.
A Epistemologia Genética, referencial utilizado nessa pesquisa e aliado à sua
implicação na aprendizagem, é um referencial teórico que possibilita entender os processos de
ensino e a prática docente numa reflexão sobre a ação. Nessa visão epistemológica de
construção do saber, o conhecimento não ocorre meramente pelas informações, mas pela ação
e relação do sujeito sobre essas informações, potencializando o conhecimento. Ela traz
benefícios à Educação na medida em que considera uma nova relação de ensino e
aprendizagem como um processo ativo, que expressa como os acadêmicos aprendem,
respeitando o desenvolvimento destes. Implica, portanto, num repensar de práticas à luz da
teoria piagetiana, adequando atividades, conceitos e processos de ensino-aprendizagem ao
nível de estruturação cognitiva e intelectual, inclusive de conhecimentos anteriores, para o
êxito no processo de aprendizagem. Dessa forma, o ensino da matemática não deve estar
descontextualizado da formação de estruturas cognitivas necessárias para a aprendizagem,
dos conceitos matemáticos, assim como do resgate dos saberes matemáticos mínimos
necessários.
Essas inter-implicações estruturais confirmam-se nos resultados dessa pesquisa,
considerando que todos os acadêmicos com defasagem de conhecimento e que não obtiveram
desempenho satisfatório na disciplina de Cálculo Diferencial Integral não estão no nível mais
elevado de desenvolvimento cognitivo, correspondente ao equilíbrio cognitivo pleno e de
pensamento matemático refinado do nível pleno de desenvolvimento.
As dificuldades por fatores cognitivos passam despercebidas pelos educadores se
estes desconhecerem a psicologia do desenvolvimento, dos processos cognitivos inerentes,
bem como da sua relação com a aprendizagem. Assim, entender os aspectos envolvidos na
aprendizagem é essencial no campo educacional, tanto para os gestores como para os
educadores.
145
Um processo escolar eficiente e que constrói conhecimento considera, no seu
processo de ensino, aspectos inerentes ao acadêmico e ao seu desenvolvimento cognitivo, a
saber: observa e considera o uso dos recursos cognitivos baseados na forma de como o
educando processa, analisa, compara e absorve os conhecimentos; as estratégias que o
estudante cria para elaborar e antecipar as respostas e de como usa os procedimentos de
verificação e controle para experimentar as respostas ou soluções a um problema colocado;
observa e considera o desenvolvimento cognitivo, habilidades e conhecimentos prévios dos
educandos.
O processo de aprendizagem como um sistema ativo, especialmente da matemática,
terá maior sentido, na medida em que a prática docente tiver uma visão do acadêmico como
um sujeito epistêmico e psicológico, sujeito da aprendizagem, capaz de agir e construir
conhecimento. A prática pedagógica pode ser mais significativa, à medida que os
profissionais da educação direcionarem o olhar para uma ótica do desenvolvimento
cognitivo, considerando a trajetória de vida e as experiências dos educandos como
importantes fatores para o processo de aprendizagem. Portanto, a prática deve incorporar
novos valores para ser mais significativa, potencializando a aprendizagem, sendo que isso
implica em novos encaminhamentos teóricos e metodológicos. Sendo assim, é necessária a
criação de espaços para problematizar e desencadear situações que levem o acadêmico a
pensar, que propiciem conflitos cognitivos, que o levem a solucionar as dificuldades,
facilitando a tomada de consciência das incongruências do pensamento e raciocínio.
Assim sendo consideramos importante que o ensino da disciplina de Cálculo
Diferencial Integral deve ser diferenciado no sentido de utilizar métodos e técnicas que sejam
adequadas às diferentes necessidades e habilidades dos estudantes, sobretudo, cognitivas.
Deve considerar, favorecer e possibilitar a construção de novos significados e modos de
raciocínio, considerando a relação com a vivência prática. É necessário, portanto, que se
estabeleçam estratégias para fazer emergir o conhecimento de noções e conceitos não
aprendidos e que estão submetidos ao ensino básico e relacionados ao desenvolvimento de
estruturas cognitivas lógico-matemáticas.
Com base no exposto, ao nos remetermos à análise da problemática do ensino de
Cálculo Diferencial Integral nas Universidades, faz-se necessário em todos os âmbitos de
ensino buscar estratégias de mudanças que relacionam para mudança efetiva desse quadro em
nos âmbitos metodológico, curricular, avaliativo de ensino no sentido da melhoria da
qualidade na disciplina de Cálculo Diferencial Integral que está sendo ministrada.
Algumas ações estão sendo desenvolvidas no contexto de ensino superior,
146
especialmente da Engenharia, a exemplo da instituição pesquisada, buscando amenizar a
problemática de aprendizagem, especialmente da disciplina de Cálculo Diferencial Integral
como: adequações nas matrizes curriculares; a oferta da desta referida disciplina na
modalidade EAD; a alteração de normas acadêmicas e curriculares; a implantação de cursos
isolados como o Pré-Cálculo; a criação do Programa de Monitoria. Porém, nem todas as
ações têm revertido em resultados efetivos na melhoria do rendimento acadêmico, uma vez
que a primazia recai ainda no conteúdo e não no processo; a dinâmica de realização da
disciplina não é diferenciada.
Portanto, qualquer ação educativa como as apresentadas acima, é válida, mas
somente será produtiva se considerar os aspectos do desenvolvimento envolvidos nessa
construção do conhecimento, ou seja, que estejam vinculadas a necessidades mais amplas,
implícitas e inerentes ao processo de desenvolvimento do educando. O processo do aprender
está relacionado não apenas aos aspectos das capacidades intelectuais, pois envolve também
as relações que se estabelecem com a construção do conhecimento, do ensino e da
aprendizagem, num processo ativo de um “tornar-se” em construção, de um “vir a ser”
aprendendo e construindo conhecimento.
Dessa forma, sugerimos algumas ações que consideramos viáveis no âmbito da
Universidade, inclusive da instituição pesquisada, a exemplo:
- mudanças pedagógicas, que considerem, no seu sistema educativo e na prática de
ensino, os processos de desenvolvimento cognitivo dos acadêmicos, mediante os quais eles
aprendem;
-adequação curricular e pedagógica dos cursos de Engenharias às problemáticas que
envolvem a aprendizagem da disciplina de Cálculo Diferencial Integral, bem como, na
perspectiva dos processos de desenvolvimento. Nesse sentido, várias ações podem ser
realizadas, a saber: adoção de estratégias para uma prática de ensino que priorize a construção
ativa e dinâmica do conhecimento, visando a uma aprendizagem significativa. Assim sendo,
viabilizar a implantação de propostas didáticas, de novas metodologias de ensino da
matemática e de recursos diferenciados, criando situações que estimulem a curiosidade
matemática, tomada de consciência e construção do conhecimento; revisão dos sistemas de
avaliação acadêmica; e adequação da carga horária e/ou da forma de organização dos
conteúdos que envolvem a disciplina de Cálculo Diferencial Integral, no sentido de
possibilitar a inclusão e o resgate paralelo de conteúdos e conceitos do ensino básico não
aprendidos, visto que são conceitos importantes para o entendimento de conhecimentos
previstos nessa disciplina;
147
- implantação de ações pedagógicas e didáticas em forma de projetos de apoio aos
acadêmicos, numa dinâmica curricular, metodológica, didática e de recursos diferenciados,
adotando princípios construtivistas. É preciso desenvolver atividades com aprendizagem
significativa, mediante situações concretas, reais, desafiadoras que estimulem a curiosidade
matemática, o desenvolvimento cognitivo, possibilitando, assim, maior compreensão e
aprendizagem;
- reestruturação das ações ora desenvolvidas pela instituição pesquisada a exemplo
do curso de Pré-Cálculo, da disciplina de Cálculo Diferencial Integral, na modalidade EAD,
da assessoria de apoio aos acadêmicos através do Programa de Monitoria e da Semana de
Planejamento e o Curso de Especialização de Formação Pedagógica; Análise do processo e a
forma de desenvolvimento dessas ações, considerando-se os aspectos epistemológicos
envolvidos, visando ao desenvolvimento de habilidades cognitivas, numa concepção
construtivista e moderna de ensino do cálculo;
- criação de material didático específico e adequado às necessidades da disciplina de
Cálculo Diferencial Integral, para o curso de Pré-Cálculo e do Programa de Monitoria, que
viabilize investigação e exploração de conceitos matemáticos, mediante resolução de
problemas; treinamento específico aos monitores para adoção de uma metodologia
diferenciada de ensino.
- estabelecimento de critérios para escolha de professores na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral, que além do conhecimento especialmente da Psicologia Cognitiva,
tenham características pessoais e habilidades teórico-metodológicas para atuar em turmas de
primeiro período, num atendimento diferenciado;
- redirecionamento da Semana de Planejamento e o Curso de Especialização de
Formação Pedagógica, no sentido de: rever e adequar objetivos, currículo e metodologias;
oportunizar conhecimentos e discussões sobre a aprendizagem e desenvolvimento para o
contexto das Ciências Exatas num repensar do fazer pedagógico para um aprender
significativo do acadêmico; abordar temas e questões acerca da psicologia do
desenvolvimento cognitivo, natureza, construção e processos de produção do conhecimento e
saber matemático; repensar a forma de avaliação curricular adequando-a à perspectiva do ser
humano em processo contínuo de desenvolvimento.
Neste contexto de ações educativas, visando à melhoria da aprendizagem,
consideramos oportuno registrar e referenciar, como reflexo dessa pesquisa, a iniciativa
ocorrida na instituição pesquisada, especificamente no curso de Pré-Cálculo. O instrumento
utilizado na referida pesquisa para Análise do Conteúdo Matemático foi utilizado pelos
148
professores especialistas da área da matemática (idealizadores desse instrumento) no Curso de
Pré-Calculo do 2º Sem/2014. O referido instrumento foi aplicado aos participantes, buscando
subsidiar futuras ações para melhoria do desempenho dos educandos, tanto no curso quanto
na disciplina de Cálculo Diferencial Integral.
A Avaliação do Conteúdo Matemático, aplicada no momento do início do curso de
Pré-Calculo, teve sua aplicação estendida também ao término do curso de Pré-Cálculo,
buscando verificar se houve desenvolvimento e aprendizagem desses conceitos ao longo do
processo, durante o semestre letivo. A análise comparativa servirá de subsídio para
reestruturação do curso para o ano seguinte, tanto em nível curricular quanto pedagógico. Isso
corrobora nas propostas anteriores apresentadas em conformidade com a dinâmica
construtivista, cuja concepção de ensino estabelece uma prática que promove o avanço
cognitivo e que epistemologicamente favoreça a construção do conhecimento.
Consideramos que qualquer ação realizada no sistema de ensino e que reconheça o
estudante como ser ativo no processo de construção do conhecimento e o professor como
orientador, mediador e investigador em ação trará resultados mais eficientes em nível de
aprendizagem. As instituições de ensino, de forma geral, precisam compreender que a
inteligência é construída a partir de processos criativos e que ambas caminham juntas.
As questões referentes às dificuldades de aprendizagem não se esgotam no ensino
básico e, portanto, devem ser debatidas na Universidade, buscando-se respostas a questões
essenciais, bem como alternativas de superação das defasagens apresentadas pelo acadêmico.
Neste sentido, suscitamos vários questionamentos: Quais os caminhos, ações e práticas
educativas podem levar a um verdadeiro saber da matemática, efetivando um aprendizado
pleno? Que mudanças são emergentes na disciplina de Cálculo Diferencial Integral para uma
sintonia e coerência epistemológica?
Dessa forma se considerarmos os resultados desse estudo, alguns questionamentos
permeiam o nosso pensamento: Obteríamos os mesmos resultados com outros instrumentos
de coleta de dados ou com um universo maior de acadêmicos envolvidos? A aplicação dos
instrumentos no início e final do semestre, revelaria progressos comparativamente? Outros
fatores, além dos aspectos cognitivos e de noções e conceitos prévios, estariam interferindo
na aprendizagem? O sistema de ensino da Universidade favorece a construção de estruturas
cognitivas ao longo do processo? Os professores envolvidos na disciplina de Cálculo
Diferencial Integral têm conhecimento sobre o processo cognitivo e os levam em conta na
prática docente?
149
Concluímos, assim, que todas as questões apresentadas propõem e suscitam uma
nova abertura e ponto de partida para outras investigações e pesquisas em torno de
problemáticas relacionadas e que possam contribuir para o progresso cognitivo. As discussões
não se findam nas propostas apresentadas, aliás, às mesmas podem ser agregados novos
elementos em futuras pesquisas, enriquecendo e viabilizando o processo de construção do
conhecimento matemático.
Faz-se necessário, portanto, desenvolver novos estudos, sobre novos temas e em
novas circunstâncias, para verificar outros resultados que corroborem a hipótese de trabalho
ora defendida nessa dissertação.
150
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, C. S. Dificuldades de aprendizagem em Matemática e a percepção dos
professores em relação a fatores associados ao insucesso nesta área. Revista de Economia,
Brasília, DF, v. 2, p. 43-53, 2006. Disponível em:
<http://www.poseconomia.ucb.br/sites/100/103/TCC/ 12006/CinthiaSoaresdeAlmeida.pdf>.
Acesso em: 4 jun. 2014.
ANTUNES, C. Matemática e didática. Petrópolis: Vozes, 2010.
ARAÚJO, E. A. O perfil de alunos da área de ciências exatas e Engenharia e a qualidade de
ensino. Revista de Educação, Campinas, n. 12, p. 61-76, jun. 2002.
ARAÚJO, R.; MOREIRA, L. F. N. Monitoria da disciplina de Cálculo. In: CONGRESSO
BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 33, 2005, Campina Grande. Anais...
Campina Grande: UFPB, 2005. 1 CD-ROM.
ASSIS, O. Z. M. Direito a educação e prática pedagógica. In: ASSIS, O. Z. M.; ASSIS, M.
C. PROEPRE: fundamentos teóricos para a Educação Infantil. Campinas: UNICAMP, LPG,
2002. p. 17-36.
ASSIS, O. Z. M. Epistemologia genética, trajetórias acadêmicas, interpretações e concepções.
Schéme: revista eletrônica de psicologia e epistemologia genética, Marília, v. 5, n. 1, p. 188,
ago./dez. 2012. Disponível em:
<http://www2.marilia.unesp.br/revistas/index.php/scheme/article/viewFile/3181/2513>.
Acesso em: 18 jun. 2013.
BALDINO, Roberto R. Como integral disciplinas sob o ponto de vista epistemológico,
Encontro Setorial dos Cursos de Graduação da Da Unesp, 1̊ , In: Anais, Águas de Lindóia,
São Paulo, 1995, p. 30-47.
BARBOSA, A. C. C.; CONCORDIDO, C. F. R.; CARVALHAES, C. G. Uma proposta de
Pré-Cálculo com ensino colaborativo. In: COLÓQUIO DE HISTÓRIA E TECNOLOGIA
DO ENSINO DA MATEMÁTICA, 2., 2004, Rio de Janeiro. Anais... Rio de Janeiro: UERJ,
2004. 1 CD-ROM.
151
BARBOSA, G. O. Raciocínio lógico formal e aprendizagem em cálculo diferencial
integral: o caso da Universidade do Ceará. 1994. 100 f. Dissertação (Mestrado em
Educação)-Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 1994.
BARBOSA, G.O; NETO, H.B. Raciocínio lógico formal e aprendizaagem em cálculo
diferenciale integral: o caso da Universidade Federal do Ceará, in: Temas e Debates, n.6, v.8,
1995, p.60-70
BARBOSA, M. A. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina de cálculo
Diferencial Integral. 2001. 101 f. Dissertação (Mestrado em Educação)-Pontifícia
Universidade Católica do Paraná, Curitiba, 2004.
BARTOLOMEI, R. Re-significar o erro: em busca da melhoria da qualidade no ensino. In:
CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 35., 2007, Curitiba.
Anais... Curitiba: UnicenP, 2007. 1 CD-ROM.
BARUFI, M.C.B. A construção/negociação de significados no curso universitário inicial de
Cálculo Diferencial e Integral. Tese de Doutorado. São Paulo, USP, 1999.
BECKER, F. A epistemologia do professor: o cotidiano da escola. 13. ed. Petrópolis: Vozes,
2008.
BECKER, F.A origem do conhecimento e a aprendizagem escolar. Porto Alegre: Artmed,
2003.
BECKER, F. Educação e construção do conhecimento. Porto Alegre: Artmed, 2001.
BECKER, F. Epistemologia genética e conhecimento numérico. In: BECKER, F.; FRANCO,
S. R. K. (Orgs.). Revisitando Piaget. Porto Alegre: Mediação, 1998.
BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São
Paulo: Editora UNESP, 1999.
CAMARGO DE ASSIS, M.; MANTOVANI DE ASSIS, O. Z. (Orgs.). In:ENCONTRO
NACIONAL DE PROFESSORES DO PROEPRE, 20., 2003, Campinas. Anais... Campinas:
UNICAMP, Faculdade de Educação, LPG, 2003. p. 449.
152
CANTELLI, V. C. B; BORGES, R. R.; ASSIS, M. O. Z. Avaliação do desenvolvimento
intelectual de alunos da educação de jovens e adultos brasileiros numa perspectiva
piagetiana. Campinas: UNICAMP, Faculdade de Educação, Laboratório de Psicologia
Genética, 2005. Disponível em:
<http://www.educacion.udc.es/grupos/gipdae/documentos/congreso/viiicongreso
/pdfs/96.pdf>. Acesso em: 18 maio 2014.
CARDOSO, M. C. Os estágios de desenvolvimento e as representações semióticas no
contexto do processo ensino-aprendizagem da matemática. 2003 122 f. Dissertação
(Mestrado em Ciências da Linguagem)-Universidade do Sul de Santa Catarina,
Florianópolis, 2003. Disponível em: <http://busca.unisul.br/pdf/69872_Marleide.pdf>.
Acesso em: 31 jan. 2014.
CATAPANI, E. C. Cálculo em serviço: um estudo exploratório. Bolema, Rio Claro, v. 14, n.
16, p. 48-62, 2001.
CHIAROTTINO, Z. R. Piaget: modelo e estrutura. Rio de Janeiro: J. Olympio, 1972.
CURI, S. R. C.; LIMA, J. S. Repetência no inicio do curso de Engenharia: causas e possíveis
soluções. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 33., 2005,
Campina Grande. Anais... Brasília, DF: ABENGE, 2001. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2008/artigos/2371.pdf>. Acesso em: 18 mar.
2013.
CURY, H. N. Análise de erros em cálculo diferencial integral: resultados de investigações
em cursos de engenharia. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE
ENGENHARIA, 31., 2003, São José do Rio Preto. Anais... São José do Rio Preto: UNESP,
2003. 1 CD-ROM.
CURY, H. N. et al. Formação crítica em matemática: uma questão curricular. BOLEMA,
São Paulo, v. 14, n. 16, p. 29-47, 1. Sem. 2001.
DELVAL, J. Crescer e pensar: a construção do conhecimento na escola. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1998.
DELVAL, J. Introdução a prática do método clínico: descobrindo o pensamento das
crianças. Tradução Fátima Murad. Porto Alegre: ArtMed, 2002.
153
DEMO, P. Professor do futuro e reconstrução do conhecimento. 6. ed. Petrópolis: Vozes,
2004.
DOERING, C. I.; NÁCUL, L. B. C.; DOERING, L. R. O programa Pró-Cálculo da UFRGS.
In: CURY, H. N. Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos,
propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2004. p. 201-223.
DOLLE, J. M. Para compreender Jean Piaget: uma iniciação a Psicologia Genética. Rio de
Janeiro: Zahar Editores, 1987.
FERMIANO, M. A. B. Nível cognitivo de alunos do curso de magistério. 2000.
Dissertação (Mestrado em Educação)-Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de
Educação, Campinas, 2000.
FERNANDES FILHO, O. P. Determinantes qualitativos do ensino-aprendizado e da
docência no ensino superior. Campinas: PUC, 1997. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/1999/st/t/t034.pdf>. Acesso em: 30 abr.
2014.
FERNANDES FILHO, O. P. O desenvolvimento cognitivo e a reprovação no curso de
engenharia.In: XXIX CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2001,
Porto Alegre. Anais... Porto Alegre: ABENGE, 2001. p. 15-22. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2001/trabalhos/MTE006.pdf>. Acesso em: 14
mar. 2013.
FLAVELL, J. H. A psicologia do desenvolvimento de Jean Piaget. Tradução de Maria
Helena Souza Patto.Pioneira, 1975.
FLAVELL, J. H.; MILLER,P. H.; MILLER,S. A. Desenvolvimento cognitivo. 3. ed.
Tradução de Cláudia Dornelles. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.
FLEMMING, D. M.; LUZ, E. F.; COELHO, C. Dificuldades em conceitos básicos de
matemática: diagnóstico e análise dos alunos ingressantes na UNISUL. Revista Brasileira
de Ensino de Engenharia, Brasília, DF, v. 19, n. 2, p. 35-39, dez. 2000.
FRANCO, S. R. K. O construtivismo e a educação. 7. ed. Porto Alegre: Mediação, 1998.
154
FRANCHI, Regina Helena O. A modelagem como estratégio de aprendizagem do cálculo
diferencial e integral nos cursos de engenharia. 1993. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). UNESP. RC.
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo:
Paz e Terra, 1999.
GASPARIN, P.P.; WEBER, P.E.; HELLMANN, L. et al . O impacto do cálculo diferencial
e integral nos alunos ingressantes dos cursos de engenharia. COBENGE (no prelo), 2014
GOMES, E. Ensino e aprendizagem do cálculo na Engenharia: um mapeamento das
publicações nos Anais dos COBENGES. Disponível em:
<http://matematica.ulbra.br/ocs/index.php/ebrapem2012/xviebrapem/paper/viewFile>.
Acesso em: 9 mai 2014.
GOMES, G. H.; LOPES, C. M. C.; SANTOS NIETO, S. Cálculo zero: uma experiência
pedagógica com calouros nos cursos de engenharia. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE
ENSINO DE ENGENHARIA, 33., 2005, Campina Grande. Anais... Campina Grande: UFPB,
2005. 1 CD-ROM.
GROSSMAN, S. Desenvolvimento das estruturas lógicas e desempenho escolar. 1988.
273 f. Dissertação (Mestrado em Educação)-Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
1988.
IGLIORI, S. B. C. Considerações sobre o ensino de cálculo e um estudo sobre números reais.
In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Orgs.). Educação matemática no ensino superior:
pesquisas e debates. Recife: SBEM, 2009. p. 11-26.
INHELDER, B. Aprendizagem e estruturas do conhecimento. São Paulo: Saraiva, 1974.
INHELDER, B.; PIAGET, J. Da lógica da criança a lógica do adolescente: ensaio sobre a
construção das estruturas operatórias formais. São Paulo: Pioneira, 1976.
JABOUR, D. C. O método hipotético-dedutivo e as operações formais. 1977. 74 f.
Dissertação (Mestrado em Psicologia)-Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro, 1977.
155
LACAZ, T. M. V. S; CARVALHO, M. L. Implicações das dificuldades dos aluno na
aprendizagem da disciplina de Cálculo Diferencial Integral da FEG/UNESP para as práticas
pedagógicas. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 25.,
2007, Curitiba. Anais... Brasília, DF: ABENGE, 2007. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2007/artigos/231T%C3%A2nia%20Maria%2
0Vilela%20Salgado%20Lacaz.pdf>. Acesso em: 30 jan. 2014.
LACAZ, T. M.; CARVALHO, M. T. Implicações das dificuldades dos alunos na
aprendizagem da disciplina de cálculo diferencial e integral I da FEG/UNESP para as
práticas pedagógicas. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM
ENGENHARIA, 25., 2007, Curitiba. Anais... Brasília, DF: ABENGE, 2007. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2007/artigos/231T%C3%A2nia%20Maria%20Vilela%20Salgado%20Lacaz.pdf>. Acesso em: 6 jul. 2013.
LEGENDRE, M. Contribuição do modelo da equilibração para o estudo da aprendizagem no
adulto. In: DANIS, C.; SOLAR, C. (Org.) Aprendizagem e desenvolvimento dos adultos.
Lisboa: Horizontes Pedagógicos, 1998. p. 155-216.
LOPES, A. Algumas reflexões sobre a questão do alto índice de reprovação nos cursos da
cálculo da UFRGS. Matemática Universitária, Porto Alegre, n. 26/27, p.123-146, jun./dez.
1999.
MACEDO, Lino de. A questão da inteligência: todos podem aprender? Disponível em:
<http://maratavarespsictics.pbworks.com/w/file/fetch/74460722/A%20quest%C3%A3o%20d
a%20inteligencia.pdf>. Acesso em: 22 out. 2014.
MONTANGERO, J.; NAVILLE, D. M. Piaget ou a inteligência em evolução. Tradução
Beatriz Iwaszko Marques e Fernando Becker. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
MURTA, J. L. B.; MÁXIMO, G. C. Cálculo Diferencial Integral nos cursos de Engenharia da
UFOP: estratégias e desafios no ensino aprendizagem. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE
ENSINO DE ENGENHARIA, 32., 2004, Brasília, DF. Anais... Brasília, DF: UNB, 2004. 1
CD-ROM.
NASCIMENTO, J. L.; NASER, L. A reprovação em Cálculo I: investigação de causas. In.
CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA, 2., 1997, Salvador. Anais...
Salvador: ABENGE, 1997. v. 2.
156
NASSER, L. Uma pesquisa sobre o desempenho de alunos de cálculo no traçado de gráficos.
In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Orgs.). Educação matemática no ensino superior:
pesquisas e debates. Recife: SBEM, 2009. p. 43-58.
PASCUAL, J. G; NASCIMENTO, N. A. Estruturas cognitivas formais: reflexões sobre o
acesso a universidade. Revista Metáfora Educacional, Salvador, n. 8, p. 15-29, jun. 2010.
Disponível em: <http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3741895>. Acesso em: 1
mar. 2013.
PEDROSO, C. M. Estratégias para retenção e recuperação de estudantes com deficiência em
fundamentos de matemática. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM
ENGENHARIA, 38., 2010, Fortaleza. Anais... Brasília, DF: ABENGE, 2010. Disponível
em: <http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2010/artigos/748.pdf>. Acesso em: 14
jun. 2013.
PIAGET, J; INHELDER, B. A origem da idéia do acaso na criança. Tradução Ana Maria
Coelho. Rio de Janeiro: Record, [1951], 1951.
PIAGET, J. Psicologia da inteligência. Tradução Nathanael C. Caixeiro. Rio de Janeiro:
Zahar Editores, [1967], 1956.
PIAGET, J. O estruturalismo. São Paulo: Difusão Européia do Livro, [1968], 1970.
PIAGET, J. A epistemologia genética. Petrópolis: Vozes, [1971], 1972. v. 51. (Os
Pensadores).
PIAGET, J. Biologia e conhecimento: ensaio sobre as relações orgânicas e os processos
cognoscitivos. Tradução de Francisco M. Guimaraes. Petrópolis: Vozes, [1967], 1973a.
PIAGET, J. Estudos sociológicos. Rio de Janeiro: Forense, [1973], 1973b.
PIAGET, J.; GRÉCO, P. Aprendizagem e conhecimento. Rio de Janeiro: Freitas Bastos,
[1959], 1974.
157
PIAGET, J. O nascimento da inteligência na criança. Tradução Alvaro Cabral. 4. ed. Rio de
Janeiro: Guanabara, [1936], 1975a.
PIAGET, J. A formação do símbolo na criança: imitação, jogo e sonho, imagem e
representação. Rio de Janeiro: Zahar, [1945], 1975b
PIAGET, J. A equilibração das estruturas cognitivas: problema central do
desenvolvimento. Tradução Marion Merlone Penna. Rio de Janeiro: Zahar Editores, [1975],
1976.
PIAGET, J. A tomada de consciência.São Paulo: Melhoramentos; EdUSP, [1974], 1977a.
PIAGET, J. A epistemologia genética: sabedoria e ilusões da filosofia e problemas de
psicologia genética. São Paulo: Abril Cultura, [1970], 1978a. (Os Pensadores).
PIAGET, J. Problemas de psicologia genética. São Paulo: Abril Cultural, [1972], 1978b.
(Coleção Os Pensadores).
PIAGET, J. Psicologia e epistemologia: por uma teoria do conhecimento. Tradução Agnes
Cretella. 2. ed. Rio de Janeiro: Forense, [1973], 1978c.
PIAGET, J. A representação do mundo na criança. Rio de Janeiro.Editora Record. [1926],
1979. 318 p.
PIAGET, J. et al. Lógica e conhecimento científico. Porto: Civilização, [1967], 1980a.
PIAGET, J. Seis estudos de psicologia. Rio de Janeiro: Forense Universitária, [1964], 1980b.
PIAGET, J. Para onde vai a educação. Rio de Janeiro: José Olympio Editora, [1948], 1984.
PIAGET, J. et al. Abstração reflexionante: relações lógico-aritméticas e ordem das relações
espaciais. Tradução Fernando Becker e Petronilha Beatriz G. da Silva. Porto Alegre: Artes
Médicas, [1977], 1995.
158
PIAGET, J. Psicologia e pedagogia. Rio de Janeiro: Forense Universitária, [1969], 1998.
PEREIRA, V.M.C. Cálculo no Ensino Médio: Uma proposta para o problema da
variabiliade. 2009. Dissertação (Mestrado em Matemática)-Universidade Federal do Rio de
Janeiro (UFRJ). 2009.
POZZOBON, C.; CAMPOS, M. Curso preparatório de matemática para Engenharia: a
experiência da Unijuí. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM
ENGENHARIA, 31., 2003, Rio de Janeiro. Anais... Brasília, DF: ABENGE, 2003. v. 4, p.
106-120. Disponível em:
<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2003/artigos/CBE802.pdf>. Acesso em: 14
abr. 2013.
REIS, C. C.; PEREIRA, R. Os desafios de matemática no séc. In: SIMPÓSIO
INTERNACIONAL DE CIÊNCIAS INTEGRADAS UNAERP, 21., 2010, Ribeirão Preto.
Anais... Ribeirão Preto: UNAERP, 2010. Disponível em:
<http://www.unaerp.br/index.php/sici-unaerp/edicoes-anteriores/2010/secao-4-6/1225-osdesafios-de-mate-matica-no-seculo-xxi/file>. Acesso em: 24 abr. 2013
REIS, E.M.; MATOS, M.G.O. A avaliação da aprendizagem e as concepções do curso de
Licenciatura em Matemática: um estudo de caso na Universidade Estadual do Sudoeste da
Bahia-Jequiá. Revista Eventos Pedagógicos. V.3, n.3, p.284-309, Ago.-Dez.2012. Disponível
em <http://sinop.unemat.br/projetos/revista/index.php/eventos/article/view/928/669. Acesso
em 08 abr.2013
REZENDE, W.M. O Ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica. Tese de
doutorado. São Paulo: USP, 2003.
ROSSETTI, C. B. et al. Aspectos cognitivos e metacognitivos do raciocínio de universitários
com queixa de dificuldades de aprendizagem. Revista Eletrônica de Psicologia e
Epistemologia Genética, São Paulo, v. 4, n. 2, p. 91-128, ago./dez. 2012.
SAD, Ligia A. Cálculo Diferencial e Integral: uma abordagem epistemológica de alguns
aspectos. 1998. Tese (Doutorado em Educação Matemática).UNESP. RC.
SAMPAIO, S. Manual do diagnóstico psicopedagógico clínico. Rio de Janeiro: Wak,
2010.
SANCHEZ, J. N. G. Dificuldades de aprendizagem e intervenção psicopedagógica. Porto
Alegre: Artmed, 2004.
159
SANTOS, R. M; BORGES NETO, H. Avaliação do desempenho no processo de ensinoaprendizagem de cálculo diferencial integral: o caso da UFC. Ceará: UFC, [1991].
Disponível em <http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-avaliacao-dodesempenho-no-processo-de-ensino-aprendizagem.pdf>. Acesso em: 10 abr. 2013.
SANTOS, S. P.; MATOS, M. G. O. O ensino de cálculo I no curso de Licenciatura em
Matemática: obstáculos na aprendizagem. Revista Eventos Pedagógicos, Sinop, v. 3, n. 3, p.
458-473, ago. 2012. Disponível em:
<http://sinop.unemat.br/projetos/revista/index.php/eventos/article/view/923/682>. Acesso
em: 2 jul.2013
SARAVALI, E. G. A psicopedagogia na educação superior: contribuições da teoria
piagetiana. Revista da Associação Brasileira de Psicopedagogia, São Paulo, v. 22, n. 69, p.
243-253, 2005b. Disponível em: <file:///C:/Users/Marlene/AppData/Local/Temp/1491-44511-PB.pdf>. Acesso em: 2 jul. 2013.
SARAVALI, E. G. B. Dificuldades de aprendizagem no ensino superior: reflexões a partir da
perspectiva piagetiana. ETD Educação Temática Digital, Campinas, v. 6, n. 2, p. 99-127,
2005a. Disponível em:
<http://www.fae.unicamp.br/revista/index.php/etd/article/view/1660>. Acesso em: 2 jul.
2013.
SOUSA, G. M. C. Desenvolvimento cognitivo na construção do raciocínio matemático e
reprovação nos cursos de Engenharia da Univasf. 2012. Tese (Doutorado em Psicologia)Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, 2012.
VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
YIN, R. K. Estudo de caso: planejamento e métodos. Tradução Daniel Grassi. 4. ed. Porto
Alegre: Bookman, 2010.
160
APÊNDICE A – Termo de consentimento livre e esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Eu,__________________________________________portador do RG_________________
responsável
pelo
(a)
acadêmico(a)
_______________________________________________ autorizo a participação na
pesquisa intitulada “Aprendizagem em Cálculo e a relação com o Raciocínio Lógico
Formal - Uma Análise no Ensino Superior a ser realizada nesta universidade. Declaro que
estou ciente de todas as informações referentes ao estudo proposto e de que fui devidamente
esclarecido(a) quanto aos objetivos e procedimentos desta pesquisa. Tenho ciência de que
todas as informações apresentadas por mim têm a garantia de sigilo e absoluta privacidade.
A minha adesão e participação é voluntária, com liberdade de retirar o meu consentimento
em qualquer fase da pesquisa sem penalização alguma. Tenho o conhecimento de que
receberei resposta a qualquer duvida sobre os procedimentos e outros assuntos
relacionados a esta pesquisa. Concordo em participar deste estudo e pela garantia do
caráter confidencial e privativo das informações coletadas autorizo a divulgação de dados
para fins exclusivamente científicos
______________________________
___________________________________
Assinatura do participante
Assinatura do responsável
(caso for menor de idade)
Data:_____/____/_____
Nós, pesquisadores responsáveis, declaramos ter disponibilizado as informações
necessárias para compreensão da pesquisa, ao participante acima assinado, explicando-lhe a
natureza, propósito, benefícios associados à sua participação. Além disso, respondemos todas
as questões que nos foram feitas e testemunhamos a assinatura acima.
Assinatura do Pesquisador: __________________________________
Data: ___/___/__
Obs: Em qualquer etapa do estudo, você terá acesso aos profissionais responsáveis pela
pesquisa, para esclarecimento de eventuais dúvidas. Nesse caso, entre em contato com a
pesquisadora Marlene Lucia Donel, pelo telefone (0xx45) 32408084, ou email:
[email protected] ou Shiderlene Vieira de Almeida (Professora Co-Orientadora) pelo
telefone: (0xx45) (32408084) ou email: [email protected] ou Eliane Giachetto
Saravali (Professora Orientadora) pelo telefone (0xx14) 34021371 ou
e-mail:
[email protected]
161
APÊNDICE B – Instrumento de avaliação de conhecimento matemático
INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTO MATEMÁTICOS- ACM 4
Parte 01
NOME:___________________________________________________Data:____/____/____
Nasc.____/____/____Idade:_____Procedência:Cidade_______________________Estado:__
1.
Calcule:
a) 34
b)  5 
5
c)  
8
2
2
d) 4 2
e(  3 
1
f)  
3
1
1
g) 4 81
h) 3 8
 1 
i)  a 2 


j)
2.
4
3
49
9
Calcule o valor das expressões numéricas e simplifique o resultado quando possível:
Instrumento elaborado pelos professores especialistas da área da matemática Priscila Pigatto Gasparin, Pedro Elton Weber,
Liliane Hellmann e André Sandmann
162
a)
32  23
b)
52  2 4.4 1
c)
35  34 : 37
d)
106 10
10 4 103
e)
1 1

3 5
f)
1 5 3
 
6 2 4
2
3
4
g)
m :m
h)
1 2
.
4 5
i)
3b b
:
2a a
j)
2
1

a b a b
3.
Escreva V para verdadeiro e F para falso justificando as respostas falsas.
( ) Todo número decimal que pode ser escrito na forma a é um número racional.
b
( ) Um número inteiro é também um número real.
( ) Todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é chamado de número
irracional.
( ) As raízes quadradas não exatas são números racionais.
( ) Os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais são números reais.
( ) Os conjuntos dos números racionais e dos números irracionais possuem elementos
comuns.
( ) Todo número inteiro é natural.
( ) - 3 ∈ℕ.
( ) 9 ∉ℚ.
( )ℤ⊂ℚ
4.
Os números x e y são tais que 5  x  10 e 20  y  30 . O maior valor possível de x
é?
5.
Determine x sabendo que a área do muro a seguir é 32 m2:
6.
Qual o valor de x sabendo
4 que o perímetro da figura é 56 cm?
x+6
y
163
X+
6
X+
6
7.
3
2
2
2
Dados os polinômios A  4x  2x  x  1 B  2x  2x  3 e C  2x  1 . Determine:
a) A+B+C
b) (A+B) – (B-C)
c) A . C
d) A:C
e) (A.C):B
8. Para determinar a altura de uma torre, um topografo colocou o teodolito (aparelho para
medir ângulos) a 100m da base e obteve um ângulo de 30o. Sabendo que a luneta do teodolito
estava a 1,70m do solo, qual era aproximadamente a altura da torre? (Dados sen 30 o =0,5 ; cos
30o =0,87 ; tg 30o =0,58). Faça o esboço do desenho para facilitar a interpretação.
9.
O nível N de óleo em um reservatório varia com o tempo t, contando em horas, conforme
a lei: N  0,6t 2  0,25t  0,70 . Em quanto tempo o nível de óleo chegará a zero?
10. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades
juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes têm a cidade B?
11. Qual é a distância percorrida pela bolinha?
12. Determine a área das seguintes figuras (em cm²).
164
13. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: R$ 1.000 a parte
fixa, e uma parte variável que corresponde a uma comissão de 18% do total de vendas que ele
fez durante o mês.
a) Expressar a função que representa seu salário mensal.
b) Calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se que vendeu R$ 10.000 em
produtos.
14. A função quadrática y  x2  8x  m tem ponto mínimo, cujas coordenadas são  4; 6 .
Nessas condições, o valor de m é?
15. Um copo cheio de água pesa 300g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para
180g. O peso do copo vazio é?
Parte 2
1) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo
período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo
período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do
período pré estabelecido.
Vamos determinar:
a) A função correspondente a cada plano.
165
b) Em qual situação o plano A é mais econômico?
c) Em qual situação o plano B é mais econômico?
d) Em qual situação os dois planos se equivalem?
2) Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, e atinge uma altura máxima
de 20 m. Considerando aceleração da gravidade g=10 m/s², a velocidade inicial de lançamento
e o tempo de subida da bola são?
3) De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de médicos pesquisadores, 500
tinham sintomas de uma doença A, 200 tinham sintomas de outra doença B e 130 tinham
sintomas das duas doenças. Quantas não tinham sintomas nem da doença A nem da B?
4) Dados os conjuntos:
A = {2, 4, 5, 6, 8}
B = {1, 4, 5, 9}
C   x  Z , 2  x  5
Determine:
a) A  B
b) A  C
c) A  B
5) Determine o conjunto solução em cada uma das desigualdades:
a) 3  x  5  3x
b) 2  3  3x  7
c)
x
4
x3
6) Sabendo que em condições adequadas, uma colônia de bactérias cresce a uma razão
proporcional ao número de bactérias presentes. Levando-se em consideração que o número de
bactérias duplica a cada hora, quantas horas serão necessárias para que as bactérias aumentem
em 100 vezes a sua quantidade original? (use log2=0.301)
166
7) Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 3) = log 6 são?
8) Calcule os seguintes logaritmos:
a)
b)
c)
9) Esboce o gráfico da função a seguir e expresse seu domínio e imagem:
f(x) = | x2 - 4 |
10) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 8x = 0,25
b) 4x – 5. 2x + 4 = 0
c)
d)
11) Dado sen x 
12) Mostre que
3
com
4
0 x

. Calcular
2
cosx.
cos x
sen x

1
sec x cos sec x
13) Determine o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisão de A( x)  x 4  1por B( x)  x  1
14) Decompor em fatores os polinômios:
a) A( x)  x 2  4
b) B( x)  x 2  2 x  1
c) C ( x)  x 2  5x  6
4
3
2
15) Sabendo-se que -1 é raiz dupla da equação x  3x  3x  7 x  6  0 . Determine o seu
conjunto solução.
167
ANEXO A – Parecer do projeto
PARECER DO PROJETO
168
169
ANEXO B – Protocolo da prova operatória da combinatória
PROTOCOLO DA PROVA OPERATÓRIA DA COMBINATÓRIA
Descrição da Prova: Essa prova iniciou-se com as apresentação de 4 fichas de cores
diferentes as quais deveriam representar pessoas que foram convidadas a fazer um passeio e
que poderiam ou não aceitar o convite. Solicitou-se ao sujeito descobrir de quantas maneiras
ou formas esse passeio poderia acontecer e quantas combinações de passeio seriam possíveis
de serem feitas.
O sujeito deveria encontrar um sistema que possibilita a formação de 16 combinações
sendo 6 em pares, 4 em trios, 4 sozinhos, 1 quarteto e 1 possibilidade que pode ser
considerada é o não passear
Material: Conjunto de fichas de 4 cores diferentes
Procedimentos: Apresentação do material: Apresentamos ao sujeito quatro fichas de cores
diferentes:
Introdução:
-Imagine que essas 4 fichas representam pessoas que querem passear.
-De quantas formas diferentes elas podem fazer isto? No entanto considere que elas
podem sair ou não. Que podem ir juntas ou separadas. Portanto, quais são as possibilidades de
passeio.
- Você entendeu?! Repita o que eu disse.
Após o sujeito fazer alguma combinação (exemplo pares) questiona-se:
- Quantos pares você fez?
-Quantas fichas você usou de cada cor? ou Quantas vezes cada pessoa foi passear
-Tem outra idéia de forma/maneira de passeio além de ser dupla.
170
Ao fazer os trios, proceder da mesma forma anterior, para descobrir se ela sabe quantos trios
fez e quantas fichas de cada cor utilizou
- Quanto trio você fez? Quantas vezes os trios foram passear?
- Quantas vezes cada cor/pessoa foi passear?
- Tem mais alguma forma dessas pessoas irem passear?
Questionar outras possibilidades: Ao esgotar todas as possibilidades certificar se são todas
as formas de passeio que ele acha possível.
-Essas são realmente todas as maneiras/formas que você capaz de se fazer os
passeios? São todas as que se pode fazer? Tem certeza? Por quê?
Retrospectiva/resumo: Quando o sujeito esgotar todas as maneiras/jeitos/formas por ele
possíveis, questionar:
-Me diga então de quantas formas diferentes as pessoas puderam ir passear?
-Qual a quantidade total de passeios que foram realizados/ao todo?
O importante em cada uma das etapas também é avaliar se a forma com que o sujeito faz as
combinações é aleatória ou se utiliza alguma forma de sistematização.
Perguntas gerais durante os procedimentos
-Explique como você faz para saber? (jeito/forma/maneira/método)
-Existe um jeito diferente de fazer isso? Outra maneira ou jeito de fazer essas combinações?
Explique-me como pensa em fazer.
-Teve uma pessoa que conseguiu começando pela mesma cor? O que você acha disso? É
possível fazer dessa forma?
-Essas são todas as maneiras/formas de passeio (dupla/trio...) que consegue fazer?
-Como você pode garantir isso ou ter certeza? Por quê? Explique-me
Resultados
FORMAS
NÚMERO PASSEIOS
PASSEIO POR PESSOA
Dupla
6
3
Trios
4
3
Quádruplos
1
1
171
Diagnóstico
NÍVEL I – (até os 6 anos) – pré-operatório
A criança não consegue encontrar todas as combinações, mesmo por tateio. Tem dificuldade
de fazer todos os pares. Não faz os trios, nem tampouco o quádruplo.
NÍVEL IIA – (6-7 anos) – início do operatório concreto
A criança consegue fazer os pares aleatoriamente, mas não sabe contar quantas fichas de cada
cor usou, nem tampouco, quantos pares fizeram. Faz trios incompletos (aleatoriamente).
Podem fazer o quádruplo.
NÍVEL IIB – (7-9 anos) – operatório concreto
Faz todos os pares, mesmo aleatoriamente (sem sistema) e sabe dizer quantos pares fez,
apesar de poder não saber quantas fichas de cada cor utilizou. Faz os trios aleatoriamente e
completos, mas não sabe dizer quantos trios fez, nem quanta ficha de cada cor utilizou nos
trios. São capazes de fazer os quádruplos. Não sabe dizer quantas possibilidades de
combinações ou “de pessoas que foram passear” ao todo.
NÍVEL IIIA – (9-11 anos) – início do formal
Encontra um sistema para fazer os pares e consegue fazer todas as combinações, sabendo
quantas fez e ainda quantas fichas de cada cor utilizou. Faz os trios aleatoriamente, mas sabe
informar quantos trios fez, no entanto não consegue chegar ao número de fichas de cada cor
utilizada nos trios. Não sabe dizer quantas possibilidades de combinações ou “de pessoas que
foram passear” ao todo.
NÍVEL IIIB – (12 anos em diante) – operatório formal
Faz pares e trios por meio de um sistema lógico. Sabe quantos pares e quantos trios fez e
ainda a quantidade de fichas de cada cor que utilizou em cada uma dessas combinações. Além
disso, sabe quantas possibilidades de combinações de fichas são possíveis ou “de pessoas indo
passear” são possíveis, ou seja, sabe que são 15 possibilidades. Dificilmente irão considerar a
negação para que o total seja 16.
172
ANEXO C – Protocolo da prova operatória de relações entre superfícies de perímetros
dos retângulos
PROTOCOLO DA PROVA OPERATÓRIA DE RELAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE
PERÍMETROS DOS RETÂNGULOS5
Descrição
Para análise das conservações existentes nas transformações de um quadrado em
retângulos cada vez mais estreitos, é necessária a utilização de dois instrumentos: A e B.
Em A, podemos observar a conservação do perímetro e transformação da superfície e em
B, a conservação da superfície e transformação do perímetro.
Materiais
5
Retirado de MANO, A.M.P. (2013). Idéias de estudantes sobre a origem da terra e da vida e das suas relações com o
desenvolvimento cognitivo: Um estudo psicogenético. Dissertação. Unesp-SP.
173
O instrumento A é constituído por uma prancha retangular com 14 pinos, definindo os
quatro cantos de um quadrado de 15 cm de lado (Q) e retângulos de 20 x 10 cm. (R1) e 25 x 5
cm (R2) e, finalmente, dois pinos constituindo as extremidades de uma reta de 30 cm. (R3),
ou seja, todas as figuras apresentando 60 cm de perímetro, definido por um barbante fechado,
deste comprimento.
Q inicial
T1
T2
T3
O instrumento B é formado por oito tiras de madeira, de 16 x 2 cm. As tiras colocadas
em diferentes posições podem formar: um quadrado de 16 cm. de lado (Q); um retângulo de
32 x 8 cm. (T1’), colocando-se 2 colunas de 4 placas; outro de 64 x 4 cm. (T2’) com 4 colunas
de 2 placas e, finalmente, um de 128 x 2 cm. (T3’), com 8 colunas de 1 placa, possibilitando a
observação da conservação da superfície e transformação do perímetro.
Q
T1`
T2`
Procedimento
O próprio sujeito deve realizar as transformações no material. A interferência do
adulto deve ser apenas no sentido de orientar a manipulação do mesmo e de fazer contraargumentações.
O sujeito deve tatear a corda e a madeira, assim como nomeá-los para que o
vocabulário da aplicação possa ser adaptado ao sujeito. Podemos contar a seguinte história
no dispositivo A: Uma formiga caminha por cima do barbante enquanto um cupim se
alimenta da madeira que está dentro do limite do barbante. No dispositivo B: a formiga
caminha na beirada das madeiras enquanto um cupim se alimenta da madeira que está
dentro do limite onde a formiga passeia. Sendo assim: perímetro/formiga e cupim/área.
174
Instrumento A
Fase I - Depois de cada transformação, perguntamos ao sujeito qual o seu efeito sobre a
superfície e o perímetro: A superfície ficou maior, menor ou igual? OU “o cupim vai
comer menos, mais ou o mesmo tanto?”
Após a primeira transformação (T1) feita pelo sujeito (se necessário, com ajuda
eventual do experimentador), diz-se:
- “Essa transformação (ou mudança) que você acabou de fazer aumentou, diminuiu
ou manteve igual o contorno do retângulo, com relação ao do quadrado que estava
antes? E a quantidade dentro?” OU
- “A formiga anda mais, menos ou o mesmo tanto que antes? Dentro há mais,
ou menos madeira ou a mesma coisa? o cupim come mais, menos ou o mesmo
tanto?”
O mesmo para as transformações seguintes (T2 e T3). Ou contra argumentar: Eu
acrescentei algo?
- "Outro aluno me disse que era diferente... que você acha disso?"
Fase II – Reconstituição mental das ações e transformações
Após o sujeito efetuar todas as transformações em A, pede-se que resuma o que acaba
de fazer e o que aconteceu com as superfícies e os perímetros.
- “O que aconteceu com o perímetro ou contorno após as transformações? E com a
superfície?” OU
- “O que aconteceu com a formiga após as transformações? E com o
cupim?”.
Instrumento B
Fase I - Depois de cada transformação, perguntamos ao sujeito qual o seu efeito sobre a
superfície e o perímetro:
- “A superfície ficou maior, menor ou igual? E o perímetro?” OU
- “O cupim come mais, menos ou o mesmo tanto que antes? e a formiga, anda mais,
menos ou o mesmo tanto?
175
Fase II – Reconstituição mental das ações e das transformações: depois do sujeito
efetuar todas as transformações em B, pede-se que resuma o que acaba de fazer e o que
aconteceu com as superfícies e os perímetros.
- “O que aconteceu com o perímetro ou contorno após as transformações? E com a
superfície?” OU
- “O que aconteceu com a formiga após as transformações? E com o cupim?
Instrumentos A e B
Fase III
 Depois das manipulações em A e B, pede-se um resumo geral. “Você pode fazer
um resumo do que aconteceu nas duas situações?”
 Por último pergunta-se se existem características comuns nas variações
quantitativas das superfícies e perímetros em A e em B. Propõem-se comparações
entre as manipulações: Trata-se de "jogos" parecidos ou diferentes? Por quê? A
superfície e o perímetro variaram o mesmo tanto nas mudanças na prancha e
com as placas de madeira? Como aconteceu? No limite com o barbante... nos dois
jogos era a mesma coisa?.
Diagnóstico
Nível IA
As mudanças perceptivas das figuras fazem acreditar nos aumentos e diminuições
simultâneos das superfícies e dos perímetros. Não há busca em ser coerente. Podem-se
encontrar respostas na transformação T3 do instrumento A com diminuição da superfície e
aumento do perímetro.
Nível IB
Os sujeitos apresentam soluções com dúvidas entre aumentos e diminuições. Não
intervém a idéia de compensação (o que se retira de um lado é acrescentado em outro).
Prendem-se ao comprimento do fio e acreditam que ficou menor/maior a cada
transformação.
176
Nível IIA
Ocorre a descoberta da invariabilidade do barbante (perímetro). As respostas
corretas começam a se impor e quando tratam de comparar os dispositivos, elaboram
resumos corretos para cada uma das experiências. No entanto, nitidamente, mostram que
quando são feitas as comparações, ainda estão presos ao material.
Nível IIB
Os sujeitos acreditam nas duplas conservações, ou seja, tanto o perímetro quanto
a área se conservam, ainda que em alguns casos na transformação T3 do dispositivo A, essa
dupla conservação não se aplique. Como já conquistaram a invariabilidade do perímetro no
estágio IIA, tentam explicar a conservação da área em função dessa primeira conservação.
O pensamento apresenta certa comutatividade (o que é tirado de um ponto é
acrescentado em
outro).
As respostas são mais coerentes, entretanto, como se apóiam na ideia de dupla
conservação, são induzidas ao erro.
Nível III
As respostas são corretas. Existe um raciocínio lógico que embasa o
pensamento, embora alguns sujeitos possam permanecer com algumas dúvidas,
principalmente no momento de entrada desse nível. As dúvidas desaparecem no período de
equilíbrio.
177
ANEXO D – Protocolo da prova operatória equilíbrio da balança
PROTOCOLO DA PROVA OPERATÓRIA EQUILÍBRIO DA BALANÇA6
Descrição da Prova: Essa prova operatória permite acompanhar os processos
cognitivos que se desenvolvem na construção desse conceito do equilíbrio. Mediante
situações apresentadas são propiciadas oportunidades de estabelecimento e restabelecimento
de equilíbrio, estabelecendo compensação entre pesos e distâncias. Nas diferentes situações
criadas, os sujeitos precisaram não apenas usar o esquema de proporcionalidade, mas
descobrir que distâncias e pesos se compensariam , sendo necessário compreenderem que a
distancia que deveria ser considerada seria a distância entre o peso e o centro da balança e não
entre o peso e a extremidade dos braços. A identificação e a relação das variáveis peso e
distância são fundamentais para a resolução do problema. A colocação de um peso num dos
braços implica no desequilíbrio por influência do peso nela colocado. O restabelecimento do
equilíbrio é possível com a retirada do peso ou colocação de peso igual no outro braço da
balança e à mesma distância do centro (eixo) da balança. Outra forma de estabelecer o
equilíbrio e a colocação de peso diferente no outro lado do braço da balança de tal forma que
a distância e peso se compensem.
Material
Consiste de um aparelho simples: uma balança de dois braços, formados por uma
barra transversal apoiada sobre um suporte central. Os braços, ao longo dos quais são
deslocados os pesos, apresentam marcas a intervalos regulares. Os pesos variam de 5 a 60
gramas e apenas alguns constituem pares.
Problema
6
5g
5g
10g 10g 15g 15g 20g 25g 30g
(Adaptação por Lia L. Zaia e M. A. B. Fermiano), INHELDER, Bärbel, PIAGET, Jean. 1976. O Equilíbrio da Balança. In:
________Da lógica da criança à lógica do adolescente. 2. ed. Tradução Dante Moreira Leite. São Paulo: Pioneira.
178
Predizer o equilíbrio em função dos pesos e distâncias do eixo.
Procedimento
Solicita-se, inicialmente, que o sujeito escolha quaisquer pesos e coloque nos braços
da balança, equilibrando-a. Quando consegue o equilíbrio, solicitam-se explicações. Na
medida em que descobre as possibilidades de equilíbrio, solicita-se que experimente
diferentes pesos e situações para descobrir as leis que regem o equilíbrio ou uma regra que
sirva para equilibrar quaisquer pesos. Após cada resposta, sugere-se que experimente com
outros pesos para confirmar ou invalidar a regra levantada.
Avaliação
Nível I A: Há indiferenciação entre ação pessoal e o processo exterior. Geralmente, por
questões de simetria, a criança suspende um boneco de cada lado, mas assimila os processos
em jogo à sua própria ação, intervindo diretamente no aparelho, levantando o braço que
desceu, por exemplo, sem modificar os pesos. Ainda não pensa que o equilíbrio da balança se
deve ao equilíbrio dos pesos, assim pode colocar dois pesos ou dois bonecos de um lado e
nenhum do outro, esperando equilibrar. Para ela, o lado mais pesado pode ir para cima e o
mais leve descer, podendo acrescentar vários pesos ao braço mais pesado para corrigir um
desequilíbrio. Repete os mesmos procedimentos que acabou de experimentar sem sucesso.
Não se importa com as distâncias e não procura coordenar distâncias e pesos.
Nível IB: A criança compreende que para equilibrar há necessidade de um peso de cada lado
e de pesos aproximadamente iguais, mas coloca e tira pesos por ensaio e erro, não por
igualizações exatas. Quanto às distâncias, tende a manter uma simetria, procurando colocar os
bonecos ou os pesos a distâncias iguais; não apenas nas extremidades, mas em regiões
próximas. Ainda não existe a correspondência, mais distante fica mais pesado.
Nível IIA: Há equalização exata dos pesos e simetria exata das distâncias. Ma só coordena
pesos e distâncias por regulações intuitivas, descobrindo por ensaio e erro como equilibrar
pesos diferentes, sem tirar correspondências gerais. É capaz de seriar os pesos, verificar as
igualdades, somar e comparar corretamente duas reuniões de pesos. Diante de dois pesos que
não se equilibram substitui, acrescenta ou retira pesos, procedendo por tentativas ou
regulações.
179
Nível IIB: Estabelece relações qualitativas como – “quanto mais pesado mais perto do
meio”. Diante do desequilíbrio da balança, procura o melhor lugar para equilibrar, orientandose pela hipótese de que o mesmo objeto pesará mais quanto mais longe do eixo.
Para equilibrar é capaz de estabelecer uma seriação dupla de pesos e distâncias:
A<B<C ...
↕ ↕ ↕
L>L2>L3
Mas, essas operações qualitativas não são suficientes para estabelecer a lei e o sujeito procede
por adições e subtrações de pesos.
Nível IIIA: O sujeito passa rapidamente da correspondência qualitativa à proporção métrica,
indicando a presença de um esquema antecipador. As proporções qualitativas baseiam-se na
noção de produto lógico: “Quanto maior a distancia menor deve ser o peso” isto é, um peso
pequeno a uma grande distância equivale a um peso grande a pequena distancia. Essas
relações não são generalizadas para todos os casos possíveis.
Nível IIIB: As relações qualitativas cedem lugar às quantitativas e o sujeito estabelece
proporções métricas multiplicativas entre a distância e o peso de ambos os lados. Procura
explicações para o equilíbrio, chegando à quantificação numérica da proporção.